PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE. INTEGRALE INDEFINITO.
INTEGRALI IMMEDIATI O RICONDUCIBILI AD IMMEDIATI.
DEF. Una funzione F(x) si dice primitiva di una funzione y = f(x) definita nell’intervallo [a;b] se
1) F(x) è derivabile in [a;b]
2) F ’(x) = f(x) (la sua derivata è f(x))
Attenzione!!! La primitiva di una funzione non è unica!!!
2
1
x
y
2
x
y
3
x
y
2 2 2 2+
=
−
=
−
=
+
=
x
2
y
=
Operatore derivataOsservazione: Se una funzione ammette primitive, allora ammette infinite primitive del tipo F(x) + c, con c numero reale, (differiscono tutte per una costante).
Infatti (F(x) + c)’ = F’(x) = f(x), in quanto la derivata di una costante è nulla. Inoltre: se F(x) e G(x) sono primitive di f(x), allora
[F(x)-G(x)]’= F’(x)-G’(x) = f(x) – f(x) = 0, ossia F(x) – G(x) = costante
Le funzioni y = F(x) + c sono tutte e sole le primitive della funzione y = f(x) e rappresentano tutte le funzioni ottenute dalla primitiva y = F(x) mediante traslazioni verticali. 2
=
5
x
y
3
x
y
2
1
x
y
2
x
y
x
y
3 3 3 3 3−
=
−
=
−
=
+
=
=
La primitiva che si ottiene con c = 0 è detta primitiva fondamentale. DEFINIZIONE DI INTEGRALE INDEFINITO
Si chiama integrale indefinito della funzione y = f(x) e si indica con il simbolo
∫
f
(
x
)
dx
l’insieme di tutte le infinite primitive F(x) + c della funzione f(x), dove c è un numero reale qualunque.∫
f
(
x
)
dx
=
F
(
x
)
+
c
tale che(
F
(
x
)
+
c
)'
=
f
(
x
)
f (x) è detta FUNZIONE INTEGRANDA
x è detta VARIABILE d’INTEGRAZIONE y = F(x) F’(x) = f(x)
derivazione
INTEGRALI INDEFINITI IMMEDIATI 1)
∫
+
α
∈
−
−
+
α
=
α+ αc
,
R
{
1
}
1
x
dx
x
1 In particolare:∫
dx
=
x
+
c
∫
=
+
c
2
x
xdx
2x
c
3
2
dx
x
=
3+
∫
2)∫
dx
=
ln
|
x
|
+
c
x
1
3)∫
=
a
+
c
a
ln
1
dx
a
x x In particolare:∫
e
xdx
=
e
x+
c
4)
∫
senx
dx
=
−
cos
x
+
c
5)∫
cos
x
dx
=
senx
+
c
6)
∫
dx
=
tgx
+
c
x
cos
1
2 7)∫
dx
=
−
cot
gx
+
c
x
sen
1
28)
∫
=
+
=
−
+
−
x
dx
arcsin
x
c
arccos
x
c
1
1
2 9)∫
=
+
+
x
dx
arctgx
c
1
1
2PROPRIETA’ DEGLI INTEGRALI INDEFINITI 1)
∫
k
⋅
f
(
x
)
dx
=
k
⋅
∫
f
(
x
)
dx
2)
∫
[
f
(
x
)
+
g
(
x
)]
dx
=
∫
f
(
x
)
dx
+
∫
g
(
x
)
dx
3)
∫
[
k
⋅
f
(
x
)
+
h
⋅
g
(
x
)]
dx
=
k
∫
f
(
x
)
dx
+
h
∫
g
(
x
)
dx
NOTA: Non esistono proprietà degli integrali su prodotti o quozienti, pertanto tali casi andranno analizzati mediante opportuni metodi risolutivi.
Esempi: •
∫
+
=
∫
+
∫
=
+
senx
+
c
=
x
+
senx
+
c
3
x
3
xdx
cos
dx
x
3
dx
)
x
cos
x
3
(
3 3 2 2 •∫
∫
+
=
−
+
=
−
+
+
−
=
=
− − + −c
x
1
c
x
c
1
2
x
dx
x
dx
x
1
2 2 1 1 2 •c
2
x
c
2
1
x
c
1
2
1
x
dx
)
x
(
dx
x
1
2 1 1 2 1 2 1+
=
+
=
+
+
−
=
=
+ − −∫
∫
•∫
∫
=
∫
+
∫
=
∫
+
∫
=
+
=
+
dx
x
1
2
xdx
3
dx
x
2
xdx
3
dx
x
2
x
3
dx
x
2
x
3
23
x
2
ln
|
x
|
c
2+
+
=
•
∫
∫
∫
=
−
+
+
=
−
+
+
1
x
dx
1
5
dx
x
1
1
3
dx
x
1
5
x
1
3
2 2 2 2=
3
arctgx
+
5
arcsin
x
+
c
•dx
4
cos
x
5
tgx
c
x
cos
5
senx
4
2
=
−
−
+
−
∫
•∫
=
+
+
+
dx
6
e
3
ln
|
x
|
c
x
3
e
6
x xINTEGRALI INDEFINITI DI FUNZIONI LA CUI PRIMITIVA E’ UNA FUNZIONE COMPOSTA
Esempi.
c
9
)
5
x
(
c
3
)
5
x
(
3
1
dx
)
5
x
(
x
3
3
1
dx
)
5
x
(
x
3 3 3 3 2 3 2 2 3 2+
=
+
=
⋅
+
+
=
+
+
∫
∫
∫
=
∫
=
−
∫
−
dx
=
−
ln
|
cos
x
|
+
c
x
cos
senx
dx
x
cos
senx
tgxdx
∫
∫
∫
=
+
+
=
+
=
+
2
arctg
(
2
x
)
c
1
dx
)
x
2
(
1
2
2
1
dx
)
x
2
(
1
1
dx
x
4
1
1
2 2 2∫
∫
=
+
−
+
−
+
+
=
−
+
+
c
|
3
x
2
x
|
ln
2
1
dx
3
x
2
x
2
x
2
2
1
dx
3
x
2
x
1
x
2 2 2Esercizi.
∫
+=
∫
⋅
=
∫
⋅
=
∫
=
+
c
2
ln
2
4
dx
2
4
dx
2
2
4
dx
2
4
4
dx
8
4
x x x 3 x 4 x 3 x 2 x x 2 1∫
∫
∫
+
=
+
=
+
=
+
+
c
2
3
)
1
x
(
2
1
dx
)
1
x
(
x
2
2
1
dx
)
1
x
(
x
dx
1
x
x
2 3 2 2 1 2 2 1 2 2 =(
x
1
)
c
3
1
2 3+
+
∫
dx
=
−
cos(ln
x
)
+
c
x
)
x
(ln
sen
∫
∫
=
+
+
+
+
=
+
+
c
)
x
4
x
(
tg
2
1
dx
)
x
4
x
(
cos
4
x
2
2
1
dx
)
x
4
x
(
cos
2
x
2 2 2 2 2∫
∫
=
+
+
=
+
1
(
e
)
dx
arctg
(
e
)
c
e
dx
e
1
e
x 2 x x x 2 x∫
∫
=
+
−
=
−
1
(
e
)
dx
arcsen
(
e
)
c
e
dx
e
1
e
x 2 x x x 2 x∫
∫
∫
=
+
=
+
=
+
dx
x
4
3
1
1
16
1
dx
x
16
3
1
16
1
dx
x
3
16
1
2 2 2∫
=
+
=
+
⋅
=
4
dx
1
arctg
3
x
c
3
arctg
3
x
c
3
4
1
INTEGRAZIONE DELLE FUNZIONI RAZIONALI FRATTE 1° CASO: IL NUMERATORE È RICONDUCIBILE ALLA DERIVATA DEL DENOMINATORE
∫
=
−
−
+
−
+
dx
1
x
4
x
3
x
2
2
x
3
x
3
2 3 2a meno della costante 2 il numeratore è la derivata del denominatore
∫
=
−
−
+
−
+
=
dx
1
x
4
x
3
x
2
4
x
6
x
6
2
1
2 3 2 RICORDO:∫
dx
=
ln
|
f
(
x
)
|
+
c
)
x
(
f
)
x
(
'
f
c
|
1
x
4
x
3
x
2
|
ln
2
1
3 2+
−
−
+
=
2° CASO: IL DENOMINATORE E’ DI PRIMO GRADO
∫
+
+
+
dx
1
x
2
1
x
5
x
2
2 (Esame 19/06/12) Effettuo la divisione tra polinomi:Ricordo:
)
x
(
B
)
x
(
R
)
x
(
Q
)
x
(
B
)
x
(
A
+
=
1
x
2
1
2
x
1
x
2
1
x
5
x
2
2+
−
+
=
+
+
+
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
=
+
−
+
=
+
−
+
=
+
+
+
dx
1
x
2
2
2
1
dx
2
xdx
dx
1
x
2
1
dx
2
xdx
dx
1
x
2
1
x
5
x
2
2 2x2 + 5x +1 2x + 1 -2x2 - x x+2 // 4x +1 -4x -2 // -13° CASO: IL DENOMINATORE E’ DI SECONDO GRADO (e non posso ricondurmi al primo caso in maniera immediata)
- sottocaso 1:
∆
>
0
(si riconduce ad integrali di tipo logaritmo)∫
+
+
−
dx
6
x
5
x
1
x
2 1) Calcolo il discriminante∆
=
b
2−
4
ac
=
25
−
24
=
1
>
0
2) Scompongo il polinomio al denominatore nella forma
ax
2+
bx
+
c
=
a
(
x
−
x
1)(
x
−
x
2)
con x1 e x2 radici o zeri dell’equazioneassociata.
2
1
5
x
=
−
±
x
1=
−
3
x
2=
−
2
x
2+
5
x
+
6
=
(
x
+
3
)(
x
+
2
)
3) Riscrivo la frazione algebrica nella forma
2 1
x
x
B
)
x
x
(
a
A
)
x
(
G
)
x
(
F
−
+
−
=
In questo casox
1
A
B
+
+
+
=
−
4) Cerco i parametri A e B in modo che sia verificata l’uguaglianza:
)
2
x
)(
3
x
(
)
3
x
(
B
)
2
x
(
A
6
x
5
x
1
x
2+
+
+
+
+
=
+
+
−
)
2
x
)(
3
x
(
B
3
Bx
A
2
Ax
6
x
5
x
1
x
2+
+
+
+
+
=
+
+
−
)
2
x
)(
3
x
(
B
3
A
2
x
)
B
A
(
6
x
5
x
1
x
2+
+
+
+
+
=
+
+
−
tale uguaglianza è vera se e solo se
−
=
=
⇒
−
=
−
=
⇒
−
=
+
=
+
3
B
4
A
3
B
B
1
A
1
B
3
A
2
1
B
A
5) Riscrivo l’integrale che ora si riconduce a due integrali quasi immediati di tipo logaritmo
∫
∫
∫
∫
+
−
+
=
+
−
+
=
+
+
−
dx
2
x
3
dx
3
x
4
dx
2
x
3
3
x
4
dx
6
x
5
x
1
x
2=
4
ln
|
x
+
3
|
−
3
ln
|
x
+
2
|
+
c
- sottocaso 2:
∆
=
0
(si riconduce ad integrali di tipo logaritmo e di tipo potenza)∫
+
+
+
dx
9
x
6
x
5
x
2 1) Calcolo il discriminante∆
=
b
2−
4
ac
=
36
−
36
=
0
2) Scompongo il polinomio al denominatore nella forma 2 1 2
)
x
x
(
a
c
bx
ax
+
+
=
−
In questo casox
2+
6
x
+
9
=
(
x
+
3
)
23) Riscrivo la frazione algebrica nella forma 2 1 1
(
x
x
)
B
)
x
x
(
a
A
)
x
(
G
)
x
(
F
−
+
−
=
In questo caso: 2 2)
3
x
(
B
)
3
x
(
A
9
x
6
x
5
x
+
+
+
=
+
+
+
4) Cerco i parametri A e B in modo che sia verificata l’uguaglianza:
2 2
)
3
x
(
B
)
3
x
(
A
9
x
6
x
5
x
+
+
+
=
+
+
+
2 2)
3
x
(
B
)
3
x
(
A
9
x
6
x
5
x
+
+
+
=
+
+
+
2 2)
3
x
(
B
A
3
Ax
9
x
6
x
5
x
+
+
+
=
+
+
+
tale uguaglianza è vera se e solo se
=
=
Pertanto:
2
2
)
3
x
(
2
)
3
x
(
1
9
x
6
x
5
x
+
+
+
=
+
+
+
5) Riscrivo l’integrale che ora si riconduce a due integrali quasi immediati di tipo logaritmo e di tipo potenza
∫
∫
∫
∫
+
+
−+
=
+
+
+
=
+
+
+
dx
)
3
x
(
2
dx
3
x
1
dx
)
3
x
(
2
)
3
x
(
1
dx
9
x
6
x
5
x
2 2 2c
3
x
2
|
3
x
|
ln
c
1
2
)
3
x
(
2
|
3
x
|
ln
1 2+
+
−
+
=
+
+
−
+
⋅
+
+
=
− +- sottocaso 3:
∆
<
0
a) il numeratore è di grado zero
∫
+
+
bx
c
dx
ax
1
2a
≠
0
E’ necessario effettuare il completamento del quadrato dei primi due termini al denominatore e poi ricondurre all’integrale immediato la cui primitiva è arcotangente.
∫
+
+
x
1
dx
x
1
2 • Calcolo il discriminante∆
=
1
−
4
=
−
3
<
0
• Bisogna riguardare i due termini x2 e x rispettivamente come il quadrato di x
e come il doppio prodotto del primo termine x per un secondo termine e sommare e sottrarre il termine mancante per completare il quadrato di binomio.
4
3
2
1
x
1
4
1
4
1
x
x
1
x
x
2 2 2
+
+
=
+
−
+
+
=
+
+
•∫
∫
=
+
+
+
+
=
+
+
c
2
3
2
1
x
arctg
2
3
1
dx
4
3
2
1
x
1
dx
1
x
x
1
2 2c
3
1
x
2
arctg
3
2
+
+
=
b) Il numeratore è un polinomio di primo grado e il denominatore di secondo con discriminante negativo
• Calcolo il discriminante
∆
=
1
−
4
=
−
3
<
0
• Trasformo il numeratore in modo da vederlo come somma di due parti, una che costituisce la derivata del denominatore e l’altra che ci permetterà di ricondurci all’arcotangente come nel caso precedente.
∫
∫
∫
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
dx
1
x
x
6
x
2
2
1
dx
1
x
x
)
3
x
(
2
2
1
dx
1
x
x
3
x
2 2 2∫
∫
∫
=
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
dx
1
x
x
5
2
1
dx
1
x
x
1
x
2
2
1
dx
1
x
x
5
1
x
2
2
1
2 2 2Il primo integrale si è riconduce ad integrali di tipo logaritmo, mentre il secondo è integrabile come arcotangente (caso precedente)
c
3
1
x
2
arctg
3
2
2
5
|
1
x
x
|
ln
2
1
2+
+
⋅
+
+
+
=
c
3
1
x
2
arctg
3
5
)
1
x
x
ln(
2
1
2+
+
+
+
+
=
Metodo di integrazione per sostituzione
∫
f
(
x
)
dx
1) Si pone x = g(t) (continua e invertibile) oppure t = g -1 (x)
2) Si calcola il differenziale
dx
=
g
'
(
t
)
dt
3) Si sostituisce
∫
f
(
x
)
dx
=
f
(
g
(
t
))
⋅
g
'
(
t
)
dt
4) Si scrive prima il risultato dell’integrale nella variabile t e successivamente nella variabile x. Esempi.
∫
=
+
x
dx
1
1
pongot
=
x
⇒
x
=
t
2⇒
dx
=
2
tdt
∫
∫
+
=
⋅
+
=
dt
t
1
t
2
tdt
2
t
1
1
Quindi ricordo che
)
x
(
B
)
x
(
R
)
x
(
Q
)
x
(
B
)
x
(
A
+
=
1
t
2
2
1
t
t
2
+
−
=
+
∫
∫
∫
=
−
+
+
=
+
−
=
+
−
=
dt
2
t
2
ln
|
t
1
|
c
t
1
1
2
dt
2
dt
1
t
2
2
c
)
1
x
ln(
2
x
2
c
|
1
x
|
ln
2
x
2
−
+
+
=
−
+
+
=
∫
+
dx
=
x
e
1
x pongot
=
x
⇒
x
=
t
2⇒
dx
=
2
tdt
(
)
∫
+
⋅
=
∫
+
=
∫
+
∫
=
+
+
=
=
1
e
2
tdt
2
2
e
tdt
2
dt
2
e
tdt
2
t
2
e
tc
t 2t t+1 2 -2t-2 -2∫
+
+
dx
1
e
e
e
x 2 x x 2 pongodt
t
1
dx
t
ln
x
e
t
=
x⇒
=
⇒
=
∫
∫
∫
∫
∫
∫
+
+
+
=
+
+
=
⋅
+
+
=
⋅
+
+
=
+
+
dt
1
t
1
dt
1
t
t
dt
1
t
1
t
dt
t
1
1
t
)
1
t
(
t
dt
t
1
1
t
t
t
dx
1
e
e
e
2 2 2 2 2 2 x 2 x x 2∫
∫
=
+
+
+
=
+
+
+
=
ln(
t
1
)
arctg
(
t
)
c
2
1
dt
1
t
1
dt
1
t
t
2
2
1
2 2 2c
)
e
(
arctg
)
1
e
ln(
2
1
2x x+
+
+
=
=
−
∫
e
x1
dx
pongot
=
e
x
−
1
⇒
t
2
=
e
x
−
1
e
x=
t
2+
1
⇒
x
=
ln(
t
2+
1
)
dt
1
t
t
2
dx
2
+
=
∫
∫
∫
∫
+
=
+
=
+
⋅
=
−
dt
1
t
t
2
dt
1
t
t
2
dt
1
t
t
2
t
dx
1
e
2 2 2 2 2 xdevo riscrivere il numeratore in modo da poter spezzare la frazione riconducendo ad integrali immediati
∫
∫
∫
=
−
+
+
−
+
+
=
+
−
+
=
dt
2
t
2
arctg
(
t
)
c
1
t
1
2
dt
1
t
1
t
2
dt
1
t
1
1
t
2
2 2 2 2 2c
)
1
e
(
arctg
2
1
e
2
x−
−
x−
+
=
Un particolare integrale risolubile con sostituzione
∫
1
−
x
2dx
pongox
=
sent
nell’intervallo
π
π
−
2
;
2
inmodo che la funzione seno risulti invertibile
t
=
arcsin(
x
)
Sostituisco
∫
1
−
x
2dx
=
∫
1
−
sen
2t
⋅
cos
t
dt
=
∫
cos
2t
⋅
cos
t
dt
=
Nell’intervallo di invertibilità della funzione seno, il coseno è sempre positivo, pertanto
∫
⋅
=
∫
=
∫
+
=
dt
2
t
2
cos
1
dt
t
cos
dt
t
cos
t
cos
2Attenzione: Abbiamo applicato la formula di bisezione del coseno
2
t
2
cos
1
t
cos
2
cos
1
2
cos
α
=
±
+
α
⇒
=
±
+
macos
t
>
0
quindi2
t
2
cos
1
t
cos
2
t
2
cos
1
t
cos
=
+
⇒
2=
+
Pertanto, ritornando all’integrale,
∫
+
∫
=
∫
+
⋅
∫
=
+
+
=
sen
2
t
c
4
1
2
t
dt
t
2
cos
2
2
1
2
1
dt
2
1
dt
2
t
2
cos
dt
2
1
c
t
cos
sent
2
4
1
2
t
+
⋅
+
=
Inoltre:
x
=
sent
quindit
=
arcsin(
x
)
ecos
t
=
1
−
sen
2t
=
1
−
x
2 Quindi:x
1
x
c
2
1
x
arcsin
2
1
dx
x
1
−
2=
+
−
2+
∫
Generalizzando tale integrale e svolgendo un procedimento analogo con la posizione
x
=
asent
si ottiene che:c
x
a
x
2
1
a
x
arcsin
2
a
dx
x
a
2 2 2 2 2−
=
+
−
+
∫
Esempio.c
x
9
x
2
1
3
x
arcsin
2
9
dx
x
9
−
2=
+
−
2+
∫
Metodo di integrazione per parti
Si considerino due funzioni f(x) e g(x) derivabili con derivata continua in un intervallo [a;b].
Se si considera la derivata del loro prodotto si ottiene:
)
x
(
'
g
)
x
(
f
)
x
(
g
)
x
(
'
f
)]'
x
(
g
)
x
(
f
[
⋅
=
+
Integrando ambo i membri si ha che:
dx
]
)
x
(
'
g
)
x
(
f
)
x
(
g
)
x
(
'
f
[
dx
)]'
x
(
g
)
x
(
f
[
∫
∫
⋅
=
+
dx
)
x
(
'
g
)
x
(
f
dx
)
x
(
g
)
x
(
'
f
dx
)]'
x
(
g
)
x
(
f
[
∫
∫
∫
⋅
=
+
Tale formula è utile nel caso in cui si possa pensare la funzione integranda come composta di due fattori, un fattore finito e un fattore differenziale.
∫
x
ln
x
dx
considero2
x
g
x
'
g
x
1
'
f
x
ln
f
2=
⇒
=
=
⇒
=
c
2
1
x
ln
2
x
c
2
x
2
1
x
ln
2
x
dx
x
x
1
2
1
c
x
ln
2
x
dx
x
ln
x
2 2 2 2 2+
−
=
+
−
=
⋅
−
+
=
∫
∫
∫
xsenx
dx
considerox
cos
g
senx
'
g
1
'
f
x
f
−
=
⇒
=
=
⇒
=
∫
Esercizi svolti in aula
∫
+
−
−
dx
3
x
2
x
1
x
2
2∫
x
3ln
xdx
∫
cos
x
dx
∫
e
2xln(
1
+
e
x)
dx
(Esame 19/07/12)∫
(
2
x
+
1
)
arctgx
dx
∫
(
x
−
1
)
2e
x+1dx
dx
senx
e
x∫
∫
+
−
dx
3
x
2
x
∫
+
+
2
)
2
x
3
x
(
dx
Esercizi consigliati per esercitazioni
