ISTITUZIONI DI MATEMATICA I (8 crediti in 2 moduli di 4) Corso di laurea in Scienze Ambientali
(Prof. Maria Pia Cavaliere)
PROGRAMMA a.a 2007-2008 I semestre
1. Elementi di teoria degli insiemi: Insiemi e relazioni. Concetto di funzione. Fun-zioni iniettive, surgettive, bigettive. Composizione di funFun-zioni e funFun-zioni inverse. I principali insiemi numerici: i numeri naturali e il principio di induzione, i numeri inte-ri, razionali, reali. Estremo inferiore, estremo superiore, massimo e minimo.
2. Funzioni e limiti: Funzioni reali di una variabile reale. Funzioni monotone. Calco-lo di funzioni inverse e rispettivi grafici. Intervalli. Funzioni limitate e illimitate. Fun-zioni potenza, esponenziale, logaritmo. FunFun-zioni circolari. Limite di una funzione in un punto. Limiti all'infinito. Esempi. Operazioni con i limiti.
3. Continuità: Funzioni continue. Esempi di discontinuità. Continuità delle funzioni composte e inverse. Teorema della permanenza del segno. Teorema dell'esistenza de-gli zeri. Teoremi dell'esistenza dei valori intermedi. Teorema di Weierstrass (senza dimostrazione).
3. Derivate: Definizione di derivata. Significato geometrico, retta tangente. Operazio-ni con le derivate. Derivate delle funzioOperazio-ni composte e inverse. Derivate delle funzioOperazio-ni elementari. Massimi e minimi relativi e assoluti. Teoremi di Fermat, di Rolle e di La-grange. Crescenza e decrescenza. Derivate successive, concavità e convessità. Studio del grafico di una funzione. Il teorema di de l'Hôpital. La formula di Taylor.
5. Integrali: Primitive di una funzione. Integrali di funzioni "costanti a tratti". Integra-li definiti e loro proprietà. Teorema della media. La funzione integrale. Teorema fon-damentale del calcolo integrale e formula fonfon-damentale. Integrale indefinito. Integra-zione per decomposiIntegra-zione in somma, per parti, per sostituIntegra-zione. IntegraIntegra-zione delle funzioni razionali.
II semestre
6. I numeri complessi: Forma algebrica e trigonometrica. Operazioni tra numeri complessi. Radici complesse dell'equazione Xn = z. Teorema fondamentale dell'alge-bra e sue conseguenze. Cenni sulle equazioni algebriche.
7. Elementi di geometria analitica: Richiami di geometria analitica piana. Coordina-te carCoordina-tesiane, vettori applicati e vettori liberi, prodotto scalare, ortogonalità tra vettori. Rette e piani nello spazio. Parallelismo e perpendicolarità. Distanze. Circonferenza e sfera.
8. Elementi di algebra lineare: Il concetto di spazio vettoriale e di sottospazio. Lo spazio vettoriale Rn. Generatori, elementi linearmente indipendenti, basi. Applicazioni lineari. Nucleo e Immagine. Teorema di nullità e del rango. Matrici e determinanti.
Operazioni con le matrici. Matrici inverse. Caratteristica di una matrice e teorema di Kronecker (senza dimostrazione). Sistemi lineari: teoremi di Cramer, di Rouché-Capelli; sistemi omogenei.
TESTI CONSIGLIATI:
M. Bertsch, Istituzioni di Matematica, Bollati Boringhieri, Torino (questo è con-sigliato anche per il corso di Complementi di matematica generale del II anno) oppure P. Marcellini - C. Sbordone, Calcolo, Liguori Editore, Napoli oppure G. Pellacani – G. Pettini – C. Vettori, Istituzioni di Matematica, Clueb, Bologna oppure un qualsiasi testo di Istituzioni di Matematiche (o di Analisi Matematica e di Algebra-Geometria) in cui siano trattati gli argomenti elencati.
Inoltre le dispense al sito internet http://www.dima.unige.it/~cavalier/
Per la parte di Algebra Lineare e Geometria si possono anche consultare le dispense di G. Niesi al sito internet http://www.dima.unige.it/~niesi/old_did.html
Possono essere di aiuto anche le “Lezioni di Matematica” di S. Console, M. Roggero, D. Romagnoli al sito internet
http://www2.dm.unito.it/paginepersonali/roggero/OMAppunti.pdf
REGOLE D'ESAME
L'esame consiste in una prova scritta e una successiva prova orale.
Chi vuole potrà dare separatamente l’esame del primo modulo e del secondo modulo. Lo scritto, salvo decisione insindacabile della commissione sarà tenuto solo per l’orale di quell’appello (questo per evitare che si venga a tentare lo scritto senza essere prepa-rati).
