Successioni e Limiti di Successioni
Raul Paolo Serapioni
Analisi Matematica 1 Analisi Matematica A – Primo modulo Corsi di Laurea in Fisica e Matematica
Università di Trento
ottobre 2019
Limiti di funzioni: Cap 4: par 1.1, 1.2, 1.3, 2.1, 2.2
Esempi che conducono naturalmente alla nozione di limite:
1
trovare la retta tangente ad una curva in un suo punto;
2
definire la velocità istantanea di punto materiale in moto;
3
calcolare l’area di una regione con bordo curvilineo;
4
calcolare la somma di infiniti addendi;
Limiti di successioni: Cap 4 par 3.1.
Definizioni
Una funzione (s
n)
n: N → R si dice successione (a valori reali).
Una successione è monotona crescente (decrescente) se, per ogni n ∈ N, s
n≤ s
n+1(alternativamente s
n≥ s
n+1).
Una successione è limitata se
−∞ < inf
n∈Ns
n≤ sup
n∈N
s
n< +∞
cioè se è limitata la sua immagine
Definizione
Se (s
n)
n: N → R è una successione diciamo che
n→+∞
lim s
n= ℓ ∈ R
se per ogni ε > 0 esiste ¯ n ∈ N tale che |s
n− ℓ| < ε per n ≥ ¯n;
n→+∞
lim s
n= +∞
se per ogni α ∈ R esiste ¯n ∈ N tale che s
n> α per n ≥ ¯n;
n→+∞
lim s
n= −∞
se per ogni α ∈ R esiste ¯n ∈ N tale che s
n< α per n ≥ ¯n.
Definizione
Se (s
n)
n: N → R(C) è una successione diciamo che (s
n)
nsi dice convergente se
n→+∞
lim s
n= ℓ ∈ R;
(s
n)
nsi dice divergente (divergente a ±∞) se
n→+∞
lim s
n= ±∞
(s
n)
nsi dice irregolare in tutti gli altri casi.
Example
0 10 20 30 40 50
0.05 0.10 0.15 0.20
Figure: s
n:=
1n; lim
n→+∞
1 n = 0
0 10 20 30 40 50
0.5 1.0 1.5 2.0
Figure: s
n:=
n+1n;
n→+∞
lim n + 1
n = 1
Example
0 10 20 30 40 50
2 4 6 8 10
Figure: s
n:= √ n
n→+∞
lim
√ n = +∞
10 20 30 40 50
-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5
Figure: s
n:= sin n lim
n→+∞
sin n
non esiste
Example
0 10 20 30 40 50
0
0
10 1
1
0 20 40 60 80 100
0 200 400 600 800 1000
n→+∞
lim
n + sin n
n = 1
Notazione comune
Una proprietà P(n) si dice
vera definitivamente (per n → +∞) se esiste ¯ n tale che P(n) è vera per ogni n ≥ ¯n.
Osservazione
Una proprietà P(n) è vera definitivamente se e solo se
P(n) è vera tranne che per (al più) un insieme finito di indici n.
Definizione alternativa
Se per ogni ε > 0, |s
n− ℓ| < ε definitivamente per n → +∞
diciamo che
n→+∞
lim s
n= ℓ
se per ogni α ∈ R, s
n> α definitivamente per n → +∞
diciamo che
n→+∞
lim s
n= +∞
Teorema di unicità del limite Se lim
n→+∞
s
n= ℓ
1e lim
n→+∞
s
n= ℓ
2allora ℓ
1= ℓ
2.
Cenno di prova: Se ℓ
16= ℓ
2si può scegliere ε positivo e ε < |ℓ
1− ℓ
2|/2. Con questa scelta di ε le disuguaglianze
ℓ
1− ε ≤ s
n≤ ℓ
1+ ε, ℓ
2− ε ≤ s
n≤ ℓ
2+ ε
sono incompatibili. Non è possibile che valgano entrambe
definitivamente per n → +∞.
Teorema di permanenza del segno Se lim
n→+∞
s
n= ℓ > 0 allora s
n> 0 definitivamente per n → +∞;
se lim
n→+∞
