SUCCESSIONI e LIMITI DI SUCCESSIONI

(1)

SUCCESSIONI e

LIMITI DI SUCCESSIONI

(2)

Successioni

Def. Una successione `e una funzione reale (Y = R) a variabile naturale, ovvero X = N:

a : dom(a) ⊆ N → R : n 7→ y = a(n) = an.

Il dominio di una successione `e del tipo {n ∈ N, n ≥ n0} con n₀ un opportuno numero naturale.

Es. an= 1

n, in questo caso n0 = 1.

Es. a_n= n + 1

n − 2, in questo caso n₀ = 3.

Es. an= (−1)ⁿ, in questo caso n0 = 0.

Es. Il fattoriale di n: a_n= n!, n ∈ N.

0! := 1, n! := n · (n − 1)! = n · (n − 1) · (n − 2) . . . 2 · 1

©Paola Gervasio (UniBS) - Analisi Matematica 1 Successioni cap3c.pdf 2

(3)

Confronto tra f (x ) = 1/x e a_n= 1/n

−10 −5 0 5 10

−2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2

f(x)=1/x a(n)=1/n

dom(f ) = {x ∈ R, x 6= 0}, dom(a) = {n ∈ N, n ≥ 1}

(4)

Dove sono utili le successioni

Esempio: stima del costo computazionale di algoritmi.

Per risolvere Ax = b (con A ∈ R^n×n) servono:

oper. elementari metodo cn= 3(n + 1)! Cramer

g_n= ²₃n³+³₂n²−⁷₆n Eliminazione di Gauss Quale dei due metodi `e pi`u efficiente?

Come crescono i costi quando n cresce?

cn e gn sono due successioni,

n `e un numero intero positivo (cio`e un naturale) e NON ha senso parlare di dimensione del sistema n ∈ R

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(5)

Richiami

Ricordiamo la definizione diPunto di accumulazione.

Def. Sia A ⊆ R. Diciamo che x0∈ R `e un punto di

accumulazione per A se inogni intorno di x0 cade almeno un punto di A diverso da x0.

Se A ≡ R, allora un qualsiasi punto x₀ ∈ R (finito o infinito) `e di accumulazione per R.

ma se A = N, L’unico punto di accumulazione per N `e +∞

Ricordiamo che unasuccessione`e una funzione il cui dominio `e contenuto nell’insieme dei numeri naturali:

a : N → R : a : n 7→ y = a_n

In conclusione,l’unico limite che possiamo calcolare sulle successioni

`e per n → ∞

(6)

Successioni convergenti

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Def. La successione a : n 7→ an, definita per n ≥ n0, tende al limite

` ∈ R (o converge al limite ` ∈ R) e si scrive

n→∞lim a_n= `

se ∀I_ε(`), ∃I_n_ε(+∞): ∀n ≥ n₀, n ∈ I_n_ε(+∞)⇒a_n∈ I_ε(`)

(o se ∀ε > 0(ε reale), ∃nε∈ N: ∀n ≥ n0, n > nε⇒|a_n− `| < ε)

0 5 10 15 20 25

0 0.4 0.8 1.2

(7)

Successioni convergenti

n→∞lim a_n= `

0 0.4 0.8 1.2

(8)

Successioni convergenti

n→∞lim a_n= `

0 5 10 15 20 25

0 0.4 0.8 1.2

(9)

Def. Una successione convergente a ` = 0 si dice infinitesima.

Es. a_n= 1 n.

n→∞lim 1 n = 0

Questa `e una succ. infinitesima (= convergete a zero) Es. a_n= n

n + 1. Si ha

n→∞lim n n + 1 = 1

Questa `e una succ. convergente (ma non infinitesima) Es. a_n= 3n²+ 1

5n²+ 2n.

n→∞lim

3n²+ 1 5n²+ 2n = 3

5

(10)

Successioni divergenti positivamente

Def. La successione a : n 7→ an tende a +∞ (o diverge a +∞) e si scrive

n→∞lim an= +∞,

se ∀IA(+∞), ∃InA(+∞): ∀n ≥ n0, n ∈ InA(+∞)⇒an∈ I_A(+∞) (o se ∀A ∈ R+, ∃n_A∈ N: ∀n ≥ n0, n > n_A ⇒an> A)

0 5 10 15 20 25

0 20 40 60 80 100

0 5 10 15 20 25

0 20 40 60 80 100

(11)

Successioni divergenti negativamente

Def. La successione a : n 7→ an tende a −∞ (o diverge a −∞) e si scrive

n→∞lim an= −∞,

se ∀IA(−∞), ∃InA(+∞): ∀n ≥ n0, n ∈ InA(+∞)⇒an∈ I_A(−∞) (o se ∀A ∈ R+, ∃n_A∈ N: ∀n ≥ n0, n > n_A ⇒an< −A)

-100 -80 -60 -40 -20 0

(12)

Classificazione di successioni

Una successione pu`o essere:

CONVERGENTEse lim

n→∞a_n= ` con ` ∈ R finito DIVERGENTE POSITIVAMENTE se lim

n→∞an= +∞

DIVERGENTE NEGATIVAMENTEse lim

n→∞an= −∞

INDETERMINATA se 6 ∃ lim

n→∞an. Es. La successione

an= (−1)ⁿ=

−1 n dispari 1 n pari

`e indeterminata.

(13)

TEOREMI SUI LIMITI DI SUCCESSIONE

Valgono tutti i teoremi visti per i limiti di funzione, ovviamente adattati alle successioni.

Teorema di unicità del limite. Una successione non può avere più di un limite.

Teorema di permanenza del segno. Esista lim

n→∞an= ` ∈ R. Se

` > 0 allora esiste n ∈ N tale che an> 0 per ogni n ≥ n.

Corollario al teorema di permanenza del segno. Sia

n→∞lim an= ` ∈ R. Se esiste n ∈ N tale che an≥ 0 per ogni n ≥ n, allora ` ≥ 0.

(14)

TEOREMI SUI LIMITI DI SUCCESSIONE

Primo teorema del confronto. Siano a_n e b_n due successioni ed esistano lim

n→∞a_n= `₁∈ R e lim_n→∞b_n= `₂∈ R. Se esiste n ∈ N tale che an≤ b_n per ogni n ≥ n, allora `1 ≤ `₂.

Secondo teorema del confronto. (con dim.) Siano a_n, b_n e c_n tre successioni ed esistano lim

n→∞an= lim

n→∞cn= ` ∈ R. Se esiste n ∈ N tale che a_n≤ b_n≤ c_n per ogni n ≥ n, allora esiste lim

n→∞b_n e

n→∞lim b_n= `.

Teorema dell’algebra dei limiti. Quando tutti i limiti coinvolti esistono e le espressioni a destra dell’uguale hanno senso, si ha:

n→∞lim (an+ bn) = lim

n→∞an+ lim

n→∞bn n→∞lim (an− bn) = lim

n→∞an− lim

n→∞bn n→∞lim (anbn) = ( lim

n→∞an) · ( lim

n→∞bn)

n→∞lim an

b_n =

n→∞lim an n→∞lim b_n

(15)

Secondo Teorema del confronto

Siano an, bn e cn tre successioni ed esistano

n→∞lim a_n= lim

n→∞c_n= ` ∈ R. Se esiste n ∈ N tale che an ≤ b_n≤ c_n per ogni n ≥ n, allora esiste lim

n→∞b_n e lim

n→∞b_n= `.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0.5 1.5 2

(16)

Lemma di commutazione

(`E il teorema di sostituzione applicato alle successioni) Sia [a, b] un intervallo in R,

siax_n: N → [a, b]una successione di valori in [a, b] convergente a x^∗∈ [a, b] (cio`eesiste lim

n→∞xn= x^∗ ∈ [a, b]), siaf : [a, b] → R una funzione.

Sef `e continua in x^∗ allora

n→∞lim f(x_n) =f( lim

n→∞x_n) =f(x^∗) Osservazione

Quando f `e continua, f ed il limite commutano Esempio lim

n→∞sin(1/n²) =sin( lim

n→∞1/n²) =sin(0) = 0

(17)

Alcune successioni fondamentali

a_n= c con c numero reale costante. Converge a ` = c an= n diverge positivamente

an= n² diverge positivamente

a_n= n^α, ∀α ∈ R⁺ diverge positivamente a_n= n^α, ∀α ∈ R⁻ converge a ` = 0 a_n= n! diverge positivamente an= nⁿ diverge positivamente

an= (−n)ⁿ= (−1)ⁿ· nⁿ`e indeterminata

successioni costruite a partire dalle funzioni elementari:

cos(n), sin(n), tan(n) sono indeterminate, log(n), eⁿ, √

n divergono positivamente.

(18)

Successione superiormente limitata

Def. Una successione a_n si dicesuperiormente limitata se l’insieme immagineim(a_n)= {a_n, n ≥ n₀} `e un sottoinsieme di R

superiormente limitato, cio`e se

∃C > 0 : an≤ C ∀n ≥ n₀ (C `e un maggiorante per l’insieme im(a_n))

Es.

0 5 10 15 20

−300

−200

−100 0 100

n

an

a_n= n − n²,

A = im(a_n) = {0, −2, −6, −12, ...}

sup(A) = max(A) = 0.

(19)

Successione inferiormente limitata

Def. Una successione a_n si diceinferiormente limitata se l’insieme immagineim(a_n)= {a_n, n ≥ n₀} `e un sottoinsieme di R

inferiormente limitato, cio`e se

∃C > 0 : an≥ −C ∀n ≥ n₀ (C `e un minorante per l’insieme im(a_n))

Es.

0 5 10 15 20

0 0.5 1 1.5 2 2.5

n

an

an= log(n) A = im(an) =

{0, 0.693.., 1.098.., ...}

inf(A) = min(A) = 0

(20)

Successione limitata

La successione `e superiormente ed inferiormente limitata, quindi `e limitata.

Def. Una successione si dice limitata se `e sia superiormente che inferiormente limitata, cio`e se

∃C > 0 : |a_n| ≤ C ∀n ≥ n₀

Esempio. an= 7n − 2 n + 2 .

0 10 20 30 40 50 60

−1 0 1 2 3 4 5 6 7

n

an

a_n= 7n − 2 n + 2 , A = im(an)

inf(A) = min(A) = −1, sup A = 7

C = 7.

(21)

Limitatezza e convergenza

Teorema. Sia an una successione convergente. Allora an `e limitata.

Dim. Sia {a_n}_n≥n₀ e sia ` = lim

n→∞a_n. Per la definizione di limite:

∀ε > 0 ∃n_ε: ∀n ≥ n₀, n > n_ε ⇒ |a_n− `| < ε se prendo ε = 1, esiste nε tale che ∀n > nε si ha |an− `| < 1.

Per la disuguaglianza triangolare si ha:

|a_n| = |a_n− `+`| ≤ |a_n− `| + |`| < 1 + |`|, ∀n > n_ε. Si pone M = max{|an0|, |a_n₀₊₁|, . . . , |a_n_ε|, 1 + |`|}.

Per come ho definito M si ha |a_n| ≤ M per ogni valore di n, sia n ≤ n_ε, sia n > n_ε. Quindi la successione `e limitata.

(22)

N.B.Il viceversa del precedente teorema non `e vero, ovvero una successione limitata non `e detto che sia anche convergente.

Esempio. an= (−1)ⁿ `e limitata ma non `e convergente.

Esempio. an= sin(n), bn= cos(n) sono limitate ma non convergenti.

Esempio. a_n= arctan(n) `e limitata e convergente.

(23)

Corollario al secondo teorema del confronto

Sia an una successione limitata e bn una successione infinitesima.

Allora la successione prodotto cn= anbn `e infinitesima.

Es. lim

n→∞

sin(n)

n = 0 perché a_n= sin(n) è limitata, b_n= ¹_n è infinitesima.

(24)

Successioni monot` one

Def. Una successione si dice monotona crescente se an+1 ≥ a_n ∀n ≥ n₀,

si dice monotona decrescente se

an+1 ≤ a_n ∀n ≥ n₀, Es. an= n

n + 1, an= n! sono monotone crescenti per n ≥ n0 = 0.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

n

an

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10⁰ 10² 10⁴ 10⁶

n

an

(25)

Es. a_n= 1

n, a_n= n + 1

n sono monotone decrescenti per n ≥ n0= 1.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

n

an

an= 1 n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4

n

an

an= n + 1 n Es. a_n= (−1)ⁿ

n , a_n= cos(n) non sono monotone crescenti, n´e monotone decrescenti.

(26)

Limite di successioni monotone

TeoremaSia {an} una successione monotona, allora essa `e convergente o divergente (non pu`o essere indeterminata).

In particolare:

se {a_n} `e monotonacrescente, ⇒ lim

n→∞a_n= sup

n≥n0

a_n mentre:

se {a_n} `e monotonadecrescente, ⇒ lim

n→∞a_n= inf

n≥n0

a_n

(27)

Osservazione:

se {a_n} `e monotonacrescente⇒







n≥ninf0

a_n= min

n≥n0

a_n= a_n₀ sup

n≥n0

an= lim

n→∞an

Es. a_n= n²+ 3 = {3, 4, 7, 12, ....}.

n≥0inf an= min

n≥0an= a0= 3 sup

n≥0

an= lim

n→∞an= +∞.

(28)

Se {an} `e monotonadecrescente ⇒







n≥ninf0

an= lim

n→∞an

sup

n≥n0

a_n= max

n≥n0

a_n= a_n₀

Es. an= 2 n =

2, 1,2

3,1 2, ....

.

n≥1inf a_n= lim

n→∞a_n= 0 sup

n≥1

a_n= max

n≥1a_n= a₁ = 2.

(29)

Il numero e di Nepero.

Sia an=

1 +1

n

.

n an

1 2.00000000 50 2.69158803...

100 2.70481383...

150 2.70927591...

200 2.71151712...

250 2.71286512...

300 2.71376516...

350 2.71440871...

400 2.71489174...

450 2.71526765...

500 2.71556852...

550 2.71581477...

10000 2.71814592...

1 21 41 61 81 101 121 141 161 181 2

2.2 2.4 2.6 2.8 3

n

an

e

E’ possibile dimostrare che a_n `e strettamente crescente e che `e superiormente limitata.

Con queste ipotesi, il teorema precedente assicura che la successionea_n ha limite(ovveroa_n`e convergente) e si ha

lim

1 +1n

= sup

1 + 1n

= e

(30)

Principio di induzione

Sia n₀ ∈ N e sia P(n) un predicato definito per ogni numero naturale n ≥ n₀. Supponiamo che siano verificate le seguenti due condizioni:

1.- P(n₀) `e vera

2.- ∀n ∈ N con n ≥ n0, se P(n) `e vera allora P(n + 1) `e vera (P(n) ⇒ P(n + 1)).

Allora P(n) `e vera ∀n ∈ N con n ≥ n0.

n+1 n

n0

Se ci si trova su un gradino di una scala (quello di indice n₀),

e si `e capaci di salire un gradino alla volta (da n a n + 1, con n ≥ n0), allora si `e in grado di salire una scala di infiniti gradini.

(31)

La disuguaglianza di Bernoulli

(1 + r )ⁿ≥ 1 + rn ∀n ∈ N e r ∈ R⁺.

Dimostrazione. Applichiamo il principio di induzione con P(n) =⁰ (1 + r )ⁿ≥ 1 + rn⁰.

Verifichiamo le ipotesi del Principio di induzione con n₀ = 0.

1.- P(0) =⁰ (1 + r )⁰ = 1 ≥ 1 + r · 0 = 1⁰ (vera)

2.- Supponiamo P(n) =⁰(1 + r )ⁿ≥ 1 + rn⁰ vera, vediamo se `e vera anche P(n + 1) =⁰(1 + r )ⁿ⁺¹≥ 1 + r (n + 1)⁰.

Abbiamo: (1 + r )ⁿ⁺¹ = (1 + r ) · (1 + r )ⁿ≥ (poich´e P(n) `e vera) (1 + r )(1 + rn) = 1 + r (n + 1) + r²n ≥ 1 + r (n + 1) ovvero, P(n + 1) =⁰ (1 + r )ⁿ⁺¹≥ 1 + r (n + 1)⁰.

Siccome entrambe le ipotesi del Principio di induzione sono vere, allora segue immediatamente la tesi, cio`e:

(1 + r )ⁿ≥ 1 + rn, ∀n ∈ N.

(32)

La successione geometrica

Sia q ∈ R. La successione geometrica `e an= qⁿ. Teorema

n→∞lim qⁿ=











0 se |q| < 1 (−1 < q < 1)

1 se q = 1

+∞ se q > 1 non esiste se q ≤ −1 Esempio

n 2ⁿ (0.5)ⁿ (−2)ⁿ (−0.5)ⁿ

0 1 1 +1 +1

1 2 0.5 −2 −0.5

2 4 0.25 +4 +0.25

3 8 0.125 −8 −0.125

4 16 0.0625 +16 +0.0625

...

10 1024 0.00097656 +1024 +0.00097656 11 2048 0.00048828 −2048 −0.00048828

(33)

Dimostrazione di lim q

ⁿ

Caso 1q > 1. Posso scrivere q = 1 + r con r > 0. Per la disuguaglianza di Bernoulli si ha: qⁿ= (1 + r )ⁿ≥ 1 + rn.

Pongo: bn= qⁿ e an= 1 + rn. Grazie all’algebra dei limiti ho che

n→∞lim a_n= +∞.

b_n`e una succ. crescente, allora ammette limite per il teorema delle succ. monotone. Per il primo teorema del confronto si ha

n→∞lim b_n≥ lim

n→∞a_n= +∞ e quindi anche lim

n→∞b_n= +∞.

Caso 20 < q < 1. Posso scrivere q = 1/p con p > 1. Abbiamo:

n→∞lim qⁿ = lim

n→∞

1 p

n

= (per le propr. delle potenze)

= lim

n→∞

1

pⁿ = (per l’algebra dei limiti)

= 1

n→∞lim pⁿ = (per il Caso 1 di questo teorema) 1

(34)

Caso 3−1 < q < 0. Posso scrivere q = −|q|, ora 0 < |q| < 1.

Quindi, dal Caso 2 di questo teorema lim

n→∞|q|ⁿ= 0, ovvero |q|ⁿ`e infinitesima. Si ha:

n→∞(−|q|)ⁿ= (per le propr. delle potenze)

= lim

n→∞(−1)ⁿ|q|ⁿ= (succ. limitata per una infinitesima)

= 0

Caso 4q < −1. Posso scrivere q = −|q|, ora |q| > 1. Quindi, dal Caso 1 di questo teorema lim

n→∞|q|ⁿ= +∞. Si ha:

n→∞(−|q|)ⁿ= (per le propr. delle potenze)

= lim

n→∞(−1)ⁿ|q|ⁿ= (succ. limitata con segno alterno per una divergente)

=6 ∃

Caso 5q = 1, q = 0 e q = −1.

n→∞lim 1ⁿ= lim

n→∞1 = 1, lim

n→∞0ⁿ= lim

n→∞0 = 0, lim

n→∞(−1)ⁿ=6 ∃.

(35)

Ordini di infinito

Siano a_n e b_n due successioni divergenti. Si ha

n→∞lim an

b_n =







∞ an ha ordine di infinito > di quello di bn

` ∈ R, ` 6= 0 an e bn hanno lo stesso ordine di infinito 0 a_n ha ordine di infinito < di quello di b_n Esempi notevoli.

- nⁿ ha ordine di infinito maggiore di n!, infatti si dimostra che

n→∞lim nⁿ

n! = +∞,

- n^α ha ordine di infinito maggiore di n^β per ogni α > β > 0, si ha che lim

n→∞

n^α

n^β = lim

n→∞n^α−β = +∞

- n ha ordine di infinito maggiore di log(n), si dimostra che che

n→∞lim n

log(n) = +∞, o equivalentemente lim

n→∞

log(n)

n = 0

- pi`u in generale: lim (log (n))^β

= 0, ∀α, β ∈ R⁺

(36)

Confronto riassuntivo sugli ordini di infinito

Le seguenti successioni sono ordinate, in ordine crescente, da sinistra a destra riguardo al loro ordine di infinito.

(log n)^β n^α qⁿ n! nⁿ (β > 0) (α > 0) q > 1

10⁰ 10¹ 10²

10⁰ 10² 10⁴ 10⁶

n

a n

log(n) n 2ⁿ n!

nⁿ

(37)

Dal teorema di sostituzione

Vale la seguente identit`a:

(a

_n

)

^bⁿ

= e

^log(aⁿ⁾^bn

= e

^bⁿ^{·log a}ⁿ

Notazione: exp(n) = eⁿ n^1/n² = exp

log n^1/n²

= exp 1 n² log n

= exp log n n²

Quindi

n→∞lim n^1/n²= lim

n→∞exp log n n²

= exp

n→∞lim log n

n²

= e⁰= 1

(38)

Esercizi

n→∞lim

√n

n =

n→∞lim

√n

2ⁿ+ 3ⁿ=

n→∞lim

n^1/n²− 1 2n²· log(n + 7) =

(39)

Ordini di infinitesimo

Siano an e bn due successioni infinitesime. Si ha

n→∞lim an

bn

=







0 a_n ha ordine di infinitesimo > di quello di b_n

` ∈ R, ` 6= 0 an e bn hanno lo stesso ordine di infinitesimo

∞ a_n ha ordine di infinitesimo < di quello di b_n Esempi notevoli.

- an= (1/2)ⁿ ha ordine di infinitesimo maggiore di bn= 1/n, infatti si ha che lim

n→∞

(1/2)ⁿ

1/n = lim

n→∞

n 2ⁿ = 0

- a_n= 1/n ha ordine di infinitesimo minore di b_n= 1/n², infatti si ha che lim

n→∞

an

bn

= lim

n→∞

1/n

1/n² = lim

n→∞

n²

n = lim

n→∞n = +∞,

- an= sin(1/n) ha ordine di infinitesimo uguale a bn= 1/n, infatti si ha che lim

n→∞

an

bn

= lim

n→∞

sin(1/n)

1/n = lim

n→∞n sin(1/n) = 1

(40)

Sottosuccessioni

Def. Data una successione {an}, chiamiamo sottosuccessionedi {a_n} ogni successione estratta da questa, ossia ogni successione del tipo {a_n_k} con k = 0, ..., ∞, dove {n_k} `e una successione

monotona strettamente crescente di valori in N (nk : N → N, tale che n_k : k 7→ n_k).

Esempio 1. an= n − 1

n + 3, con n ≥ 0. nk = 2k, con k ≥ 0 (nk `e la successione dei soli numeri pari).

Ottengo la sottosuccessione:

ank = nk− 1

n_k+ 3 con nk = 2k e k ≥ 0.

(41)

Esempio 1. a_n= n − 1

n + 3 e a_n_k = n_k − 1

nk + 3 con n_k = 2k

0 5 10 15 20

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

n

an

successione

0 5 10 15 20

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

n

an

sottosuccessione con nk=2k

{a_n} = {a₀, a₁, a₂, a₃, ....} {a_n_k} = {a₀, a₂, a₄, a₆, ....}

(42)

Sottosuccessioni

Esempio 2. a_n= (−1)ⁿ7n − 2

n + 2 , con n ≥ 0.

ank = −7n_k − 2

nk + 2, per nk = 2k + 1 a_n_k = 7n_k − 2

n_k + 2, per n_k = 2k

−8

−6

−4

−2 0 2 4 6 8

n

an

0 5 10 15 20

successione

0 5 10 15 20

−8

−6

−4

−2 0 2 4 6 8

n

an

sottosuccessione dispari sottosuccessione pari

Ho estratto da a_n due sottosuccessioni.

(43)

Osservazione. Da una successione a_n posso estrarre infinite sottosuccessioni.

Teorema. Se una successione {a_n} `e convergente e lim

n→∞a_n= `, allora ogni sottosuccessione estratta da anconverge ad `, ovvero

lim

k→∞a_n_k = `, per ogni n_k. Es. Si veda l’Esempio 1.

Teorema. Se da una successione a_n estraggo due sottosuccessioni che convergono a due limiti diversi, allora a_n`e indeterminata, ovvero

6 ∃ lim

n→∞a_n.

Es. Si veda l’Esempio 2. Per n_k = 2k, lim_k→∞a_n_k = +7. Per n_k = 2k + 1, lim_k→∞a_n_k = −7, quindi 6 ∃ lim

n→∞a_n.

(44)

Teorema (di Bolzano - Weierstrass)

Da ogni successione limitata si pu`o estrarre una sottosuccessione convergente.

Es. Si veda l’Esempio 2. a_n `e limitata, si hainf a_n= −7esup a_n= 7.

Abbiamo gi`a trovato due sottosuccessioni di an che sono convergenti.

0 5 10 15 20

−8

−6

−4

−2 0 2 4 6 8

n

an

sottosuccessione dispari sottosuccessione pari

(45)

Successioni di Cauchy

Def. Una successione {a_n}_n≥n₀ `e di Cauchy se:

∀ε > 0 ∃n_ε∈ N : ∀n, m ≥ n0, n, m > nε ⇒ |a_n− a_m| < ε.

0 6 12 18 24

0 0.6 1.2

Sto dicendo che la distanza tra gli elementi della successione si riduce sempre pi`u quando n → ∞.

(46)

Il criterio di Cauchy

TeoremaSia an: N → R. an`e convergente ⇔ an`e di Cauchy.

In R:

succ. convergente succ. di Cauchy

succ. limitata

Esiste sottosucc. convergente

(per il Thm di Bolzano−Weierstrass)

(47)

N.B.Il criterio di Cauchy non vale se sostituiamo R con Q.

Prendiamo ad esempio la successione an= 1 + ¹_nn

.

∀n ∈ N, i valori an∈ Q.

Si riesce a dimostrare che anè una successione di Cauchy (questa proprietà è indipendente dall’insieme Q o R in cui cerchiamo il limite).

Sappiamo che lim

n→∞an= e ∈ R, ma e 6∈ Q,

Quindi a_n è una successione di valori in Q, è di Cauchy, ma non è convergente in Q, cioè ∃` = lim

n→∞an= e, ma questo limite non appartiene a Q.

Uno spazio in cui ogni successione di Cauchy `e anche convergente si dice COMPLETO.

(48)

Riferimenti Bibliografici: Canuto-Tabacco, Sez. 3.2, Sez. 5.4.

Esercizi: Studiare il comportamento delle seguenti successioni (monotona crescente, decrescente, oscillante), calcolarne inf, sup, max e min e lim

n→∞an:

an=3n − 4

2n + 1, an= n²+ 1

n²− 3n + 2, an= n³

√n, an= arctan(n) an= log(n), an= sin n

an= n + 7

8n + 2 an=(−1)ⁿ n Calcolare i seguenti limiti.

n→∞lim

7n²+ n

n + sin(n!)· nⁿ· n!

(n + 2)ⁿ· (n + 1)!=

n→∞lim

nⁿ⁺¹+ 7n!

(n + 2)ⁿ· (7n + sin(n)) =