1 Integrazione su domini non limitati

Paola Rubbioni

1 Integrazione su domini non limitati

Definizione 1.1 Una funzione continua f : [a, +∞[→ R si dice integrabile in senso generalizzato (brevemente, G-integrabile) su [a, +∞[ se esiste finito il limite

ω→+∞lim Z ω

a

f (x) dx ed il valore del limite si indica con il simbolo

Z +∞

a

f (x) dx ;

analogamente, una funzione continua f : ] − ∞, b] → R si dice integrabile in senso generalizzato (brevemente, G-integrabile) su ] − ∞, b] se esiste finito il limite

ω→−∞lim Z b

ω

f (x) dx

ed il valore del limite si indica con il simbolo Z b

−∞

f (x) dx .

Esempio 1.1 La funzione f : ] − ∞, 0] → R definita da

f (x) = e^x, x ≤ 0 è G-integrabile. Infatti si ha

ω→−∞lim Z 0

ω

e^xdx = lim

ω→−∞[e^x]⁰_ω = lim

ω→−∞(1 − e^ω) = 1 . 1

Dunque

Z 0

−∞

e^xdx = 1 .

Osservazione 1.1 Si noti che, affinché esista l’integrale in senso generalizzato, è necessario che la funzione integranda sia infinitesima per x → +∞.

L’esempio che segue è di particolare interesse.

Esempio 1.2 Studiamo al variare del parametro α > 0 l’integrabilità in senso generalizzato della funzione f : [1, +∞[→ R, definita da

f (x) = 1

x^α , x ≥ 1 . Se α = 1 si ha

ω→+∞lim Z ω

1

1

xdx = lim

ω→+∞[log x]^ω₁ = lim

ω→+∞log ω = +∞ , quindi la funzione f (x) = _x¹ non è G-integrabile;

se α 6= 1 si ha invece

ω→+∞lim Z ω

1

x^−αdx = lim

ω→+∞

 x^1−α 1 − α

ω 1

=

= lim

ω→+∞

ω^1−α

1 − α − 1 1 − α =

( ₁

α−1 , α > 1 +∞ , α < 1 .

Allora la funzione f (x) = _x¹α , x ≥ 0, è G-integrabile se e solo se α > 1 ed in tal caso Z +∞

1

1

x^α dx = 1 α − 1 .

Per lo studio della G-integrabilità abbiamo a disposizione i teoremi che seguono.

Teorema 1.1 (Criterio del confronto) Siano f, g : [a, +∞[→ R due funzioni continue ed infinitesime per x → +∞. Supponiamo che le due funzioni siano non negative e che f (x) ≤ g(x) per ogni x ≥ a. Allora: se g è G-integrabile anche f lo è; se f non è G-integrabile, nemmeno g lo è.

Dimostrazione. Dalle ipotesi abbiamo

0 ≤ f (x) ≤ g(x) , per ogni x ≥ a ;

quindi, per la monotonia dell’integrale, si ha 0 ≤

Z ω a

f (x) dx ≤ Z ω

a

g(x) dx , per ogni ω ≥ a .

Ora, poiché f e g sono non negative, le corrispondenti funzioni integrali F (ω) = Rω

a f (x) dx e G(ω) =Rω

a g(x) dx , ω ≥ a, risultano essere monotone non decrescenti, pertanto

ω→+∞lim Z ω

a

f (x) dx = sup

ω≥a

Z ω a

f (x) dx ≤ sup

ω≥a

Z ω a

G(x) dx ≤ lim

ω→+∞

Z ω a

g(x) dx .

La tesi segue allora immediatamente. 

Teorema 1.2 (Criterio del confronto asintotico) Siano f, g : [a, +∞[→ R due funzioni continue ed infinitesime per x → +∞. Supponiamo che le due funzioni siano non negative e che lim_x→+∞ ^{f (x)}_g(x) = k 6= 0. Allora f è G-integrabile se e solo se g è G-integrabile.

Ovviamente, come accade per le serie, se una funzione risulta G-integrabile dal confronto con un’altra G-integrabile, il valore numerico dei due integrali potrà essere diverso.

Teorema 1.3 Sia f : [a, +∞[→ R una funzione continua. Se |f | è G-integrabile, allora anche f è G-integrabile. Inoltre si ha

Z +∞

a

f (x) dx    

≤ Z +∞

a

|f (x)| dx .

Osservazione 1.2 E’ facile vedere che gli integrali in senso generalizzato verificano le proprietà di additività e linearità.

Esempio 1.3 La funzione f : R → R, f (x) = _1+x¹², è G-integrabile e si ha Z +∞

−∞

1

1 + x² dx = π . Infatti, per l’additività dell’integrale e per la simmetria di f è

Z +∞

−∞

1

1 + x² dx = Z 0

−∞

1

1 + x² dx + Z +∞

0

1

1 + x² dx = 2 Z +∞

0

1

1 + x² dx =

= 2 lim

ω→+∞

Z ω 0

1

1 + x² dx = 2 lim

ω→+∞arctg ω = π .

Diamo infine un teorema che lega gli integrali che stiamo trattando alla teoria sulle serie numeriche.

Teorema 1.4 Sia f : [0, +∞[→ R una funzione continua, infinitesima per x → +∞ e non cres- cente. Allora la serieP+∞

n=0f (n) e la successione Rn

0 f (x) dx

n∈Nhanno lo stesso comportamento.

Inoltre, in caso di convergenza, si ha

n→+∞lim Z n

0

f (x) dx ≤

+∞

X

n=0

f (n) ≤ f (0) + lim

n→+∞

Z n 0

f (x) dx .

Dimostrazione. Fissiamo n ∈ N e consideriamo la divisione D = {0, 1, . . . , n} dell’intervallo [0, n].

Per tale divisione, dalla definizione di integrale di Riemann, si ha

n

X

k=1

inf f (]k − 1, k[) ≤ Z n

0

f (x) dx ≤

n

X

k=1

sup f (]k − 1, k[) ;

tale stima, essendo la funzione non crescente e continua, si riscrive

n

X

k=1

f (k) ≤ Z n

0

f (x) dx ≤

n

X

k=1

f (k − 1)

ovvero

n

X

k=0

f (k) − f (0) ≤ Z n

0

f (x) dx ≤

n−1

X

k=0

f (k) .

Passando ora al limite per n che tende a +∞ si ha la tesi. 

2 Integrazione di funzioni non limitate

Definizione 2.1 Una funzione continua f : [a, b[→ R che sia illimitata in prossimità di b, ovvero tale che lim_x→b⁻f (x) = +∞ oppure lim_x→b⁻f (x) = −∞, si dice integrabile in senso generalizzato (brevemente, G-integrabile) se esiste finito il limite

lim

ε→0⁺

Z b−ε a

f (x) dx ;

analogamente, una funzione continua f :]a, b] → R che sia illimitata in prossimità di a, ovvero tale che lim_x→a⁺f (x) = +∞ oppure lim_x→a⁺f (x) = −∞, si dice integrabile in senso generalizzato (brevemente, G-integrabile) se esiste finito il limite

lim

ε→0⁺

Z b a−ε

f (x) dx .

In entrambi i casi il valore del limite si indica con il simbolo Z b

a

f (x) dx .

Esempio 2.1 La funzione f : [0, 1[→ R definita da f (x) = 1

√1 − x² , x ∈ [0, 1[

è G-integrabile. Infatti

lim

ε→0⁺

Z 1−ε 0

√ 1

1 − x² dx = lim

ε→0⁺[arcsen x]^1−ε₀ = lim

ε→0⁺arcsen (1 − ε) = π 2 . Dunque

Z 1 0

√ 1

1 − x² dx = π 2 . Diamo ora un esempio di notevole importanza.

Esempio 2.2 Studiamo al variare del parametro α > 0 l’integrabilità in senso generalizzato della funzione f : ]0, 1] → R, definita da

f (x) = 1

x^α , x ∈]0, 1] . Per α = 1 si ha

lim

ε→0⁺

Z 1 ε

1

xdx = lim

ε→0⁺[log x]¹_ε = lim

ε→0⁺−log ε = +∞ ,

quindi la funzione f (x) = _x¹ non è integrabile in senso generalizzato neppure in ]0, 1];

per α 6= 1 si ha invece

lim

ε→0⁺

Z 1 ε

x^−αdx = lim

ε→0⁺

 x^1−α 1 − α

1 ε

=

= lim

ε→0⁺

1

1 − α − ε^1−α 1 − α =

( 1

1−α , α < 1 +∞ , α > 1 .

Possiamo allora concludere che la funzione f (x) = _x¹α , x ∈]0, 1], è G-integrabile se e solo se 0 < α < 1 ed in tal caso

Z 1 0

1

x^αdx = 1 1 − α .

Osservazione 2.1 Notiamo che l’esempio precedente studia completamente anche le funzioni f (x) = 1

(x − x₀)^α , x ∈]x₀, b] , f (x) = 1

(x₀− x)^α , x ∈ [a, x₀[ ,

sempre per α > 0. Basta infatti effettuare rispettivamente le sostituzioni t = x − x₀ e t = x₀− x.

Per lo studio della G-integrabilità delle funzioni non limitate si possono dare teoremi analoghi a quelli per la G-integrabilità delle funzioni definite su domini non limitati.

Teorema 2.1 (Criterio del confronto) Siano f, g : [a, b[→ R due funzioni continue illimitate in prossim- ità di b. Supponiamo che le due funzioni siano non negative e che f (x) ≤ g(x) per ogni x ∈ [a, b[.

Allora: se g è G-integrabile anche f lo è; se f non è G-integrabile, nemmeno g lo è.

Teorema 2.2 (Criterio del confronto asintotico) Siano f, g : [a, b[→ R due funzioni continue illimitate in prossimità di b. Supponiamo che le due funzioni siano non negative e che limx→b⁻ f (x)

g(x) = k 6= 0.

Allora f è G-integrabile se e solo se g è G-integrabile.

Teorema 2.3 Sia f : [a, b[→ R una funzione continua illimitata in prossimità di b. Se |f | è G- integrabile, allora anche f è G-integrabile. Inoltre si ha

Z b a

f (x) dx    

≤ Z b

a

|f (x)| dx .

Esempio 2.3 La funzione f : ]0, 1] → R definita da f (x) = 1

√xsen 1

√x , x ∈]0, 1]

è G-integrabile. Infatti

|f (x)| ≤ 1

√x , x ∈]0, 1]

quindi |f | è G-integrabile per il criterio del confronto (^√1_x è G-integrabile). Allora f è G-integrabile per il teorema precedente.

Facciamo infine osservare che le proprietà di additività e linearità continuano a valere anche in questo caso.

Esempio 2.4 La funzione f : ]0, 1[→ R definita da f (x) = 1

px(1 − x) , x ∈]0, 1[

è integrabile in senso generalizzato nel suo dominio.

Osserviamo che essa è illimitata sia in prossimità di 0 che di 1, quindi la studiamo separatamente sui due intervalli ]0, 1/2] e [1/2, 1[.

Ora, f è G-integrabile su ]0, 1/2] per confronto asintotico con la funzione g(x) = ^√1_x quando x → 0⁺. D’altra parte f è anche G-integrabile su [1/2, 1[ per confronto asintotico con la funzione h(x) = ^√_1−x¹ quando x → 1⁻.

Per l’additività dell’integrale possiamo concludere che f è G-integrabile su ]0, 1[.

3 Esercizi

3.1 Calcolare l’integrale Z 1

0

log x dx

3.2 Studiare l’integrabilità in senso generalizzato delle seguenti funzioni:

1) f (x) = x

√1 − x² , x ∈ [0, 1[ 2) f (x) = sen x

√1 − x , x ∈ [0, 1[

3) f (x) = 1 + cos x

√3

1 − x , x ∈ [0, 1[ 4) f (x) = 1 + 2x

1 − x² , x ∈ [0, 1[

5) f (x) = 1

e^x(1 + x²) , x ≥ 0 6) f (x) = 1

(1 + x²)² , x ≥ 0

7) f (x) = sen x

x² , x ≥ 1 8) f (x) = 1

xsen1

x , x ≥ 1