Sistemi Dinamici e Meccanica Classica A/A 2008—2009.
Esame del 18/6/2009
1 Meccanica Lagrangiana
Un sistema `e costituito da un anello A di raggio R e massa M , e da un punto materiale P , sempre di massa M .
L’anello A pu`o ruotare attorno ad un suo punto O saldato all’origine del piano verticale, Il punto P scorre lungo un supporto rettilineo (un’asta) S di massa trascurabile (cio`e di massa nulla, ai fini del problema), che possiamo supporre di lunghezza infinita. Il supporto `e saldato a O ed al punto Q, diametralmente opposto ad O.
P `e attratto dall’origine da una forza elastica di costante κ (ovvero `e collegato a O tramite una opportuna molla di lunghezza a riposo nulla, come in figura).
θ A
S g
O
Q P
1. Scrivere la Lagrangiana del sistema e le equazioni di Eulero-Lagrange.
2. Trovare le configurazioni di equilibrio del sistema, e discuterne la stabilit`a al variare del parametro λ = Rκ
M g, dove g `e l’accelerazione di gravit`a.
3. Calcolare le frequenze proprie ed i modi normali di oscillazione attorno al punto di equilibrio che `e stabile per ogni valore di λ.
4. Si ponga g = 0 (cio`e si disponga il sistema sul piano orizzontale) e si trovi una costante del moto addizionale per questo nuovo sistema; utilizzando questa, si riduca il problema ad un solo grado di libert`a.
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2 Sistemi Dinamici
Si consideri il sistema dinamico (definito per x 6= 0):
½ ˙x = y
˙y = −(2 + log(x2)) (1)
1. Si dimostri che il sistema `e conservativo.
2. Normalizzata l’energia potenziale come limx→0U(x) = 0, si traccino qualitativamente le curve di fase del sistema, individuando i punti di equilibrio e la separatrice. Si calcolino le tangenti della separatrice nel punto di equilibrio instabile.
3. Si consideri ora il sistema “deformato”
½ ˙x = y
˙y = −(2 + log(x2)) − a2(y + yx2) (2) e si dimostri che il punto di equilibrio stabile del sistema (1) rimane di equilibrio stabile anche per (2).
3 Meccanica Hamiltoniana
1. Mostrare che la trasformazione
Q1 = (q1)2−(q2)2 Q2 = q1+ q2
P1 = p1− p2
2(q1+ q2) P2 = p1q2+ p2q1
q1+ q2
(3)
`e canonica.
2. Determinare una funzione generatrice S(q1, q2, P1, P2) della trasformazione canonica (3).
3. Si consideri l’Hamiltoniana
H = 1
2p1(1 + q2) − 1
2p2(1 − q1).
Scrivere l’Hamiltoniana H nelle nuove coordinate (Q1, Q2, P1, P2) e mostrare che l’equa- zione di Hamilton-Jacobi associata ammette un integrale completo separato.
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Sistemi Dinamici e Meccanica Classica A/A 2008—2009.
Esame del 18/6/2009 Esercizio per gli studenti di Magri
Un sistema `e costituito da un anello A di raggio R e massa M , e da un punto materiale P , sempre di massa M .
L’anello A pu`o ruotare attorno ad un suo punto O saldato all’origine del piano verticale, Il punto P scorre lungo un supporto rettilineo (un’asta) S di massa trascurabile (cio`e di massa nulla, ai fini del problema), che possiamo supporre di lunghezza infinita. Il supporto `e saldato a O ed al punto Q, diametralmente opposto ad O.
P `e attratto dall’origine da una forza elastica di costante κ (ovvero `e collegato a O tramite una opportuna molla di lunghezza a riposo nulla, come in figura).
θ A
S g
O
Q P
1. Scrivere le equazioni di moto del sistema 2. Trovare le configurazioni di equilibrio.
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