Svolgere i primi tre esercizi, ed al pi` u tre altri a scelta fra i rimanenti. Questo foglio deve essere consegnato assieme all’elaborato.

SCUOLA GALILEIANA DI STUDI SUPERIORI – CLASSE DI SCIENZE NATURALI ESAME DI AMMISSIONE – 16 SETTEMBRE 2009

Svolgere i primi tre esercizi, ed al pi` u tre altri a scelta fra i rimanenti. Questo foglio deve essere consegnato assieme all’elaborato.

Parte obbligatoria

Esercizio 1. Lancillotto e Parsifal si sfidano ad un torneo medievale. Partono simultaneamente dalle estremit` a opposte di un percorso rettilineo di torneo AB e muovono con velocit` a costanti e diverse tra loro. Parsifal `e partito dall’estremit`a A; l’incontro con Lancillotto avviene ad una distanza da A pari ad a = 720piedi. Entrambe le lance sbagliano il bersaglio. Appena i due contendenti raggiungono la loro opposta estremit` a, ripartono immediatamente muovendo con le loro rispettive precedenti velocit` a: ora l’incontro avviene ad una distanza da B pari a b = 400piedi. Non `e dato sapere l’esito dello scontro, comunque: qual `e la lunghezza ℓ = |AB| del campo di gara?

Esercizio 2. Siamo in un piano Π. Ricordiamo che la direzione di una retta di Π `e, per definizione, l’insieme di tutte le rette a lei parallele. Dato un sottoinsieme S di punti di Π, una direzione si dice trasversa per S se ogni retta di quella direzione interseca S in al pi` u un punto.

(i) Dimostrare che se S `e finito allora tutte le direzioni del piano, salvo al pi` u un insieme finito, sono trasverse per S.

D’ora in poi supponiamo che S ⊂ Π sia finito, con un numero pari di punti.

(ii) Dimostrare che in ogni direzione trasversa per S esiste una retta tale che ciascuno dei due semipiani originati da essa contiene lo stesso numero di elementi di S.

(iii) Mostrare che esistono infinite coppie di direzioni ortogonali entrambe trasverse per S, e che in Π esiste un sistema di coordinate ortogonali tale che il primo ed il terzo quadrante contengono lo stesso numero di punti di S, come anche il secondo ed il quarto.

Esercizio 3. Si hanno n numeri a ¹ , . . . , a n in progressione aritmetica, si sa cio`e che la differenza tra un termine ed il precedente `e sempre la stessa. Esprimere la somma a ¹ + · · · + a ⁿ mediante a ¹ , a n , n.

Dimostrare poi che per ogni intero positivo n ed ogni p ≥ 2 intero la potenza n ^p si pu` o esprimere come somma di n numeri dispari (positivi) consecutivi.

Parte a scelta

Il candidato deve chiaramente indicare quali esercizi fra quelli a scelta ha svolto; non ne saranno considerati altri. Indicare sotto con una crocetta quelli svolti fra i successivi esercizi a scelta (non pi` u di tre)

4 5 6 7 8 9 10

Esercizio 4. Supponiamo di sapere che esiste un polinomio p(x) = a ⁰ + a ¹ x + a ² x ² + a ³ x ³ + a ⁴ x ⁴

di quarto grado tale che si abbia 1 + 2 ³ + · · · + n ³ = p(n) per ogni intero positivo n. Determinare tale

polinomio.

Esercizio 5. Sull’insieme X =]0, +∞[= {x ∈ R : x > 0} dei reali strettamente positivi, per ogni reale a ∈ R `e definita la funzione potenza ad esponente a, che `e p ^a : X → X data dalla formula p ^a (x) = x ^a . Date due funzioni g, f : X → X ricordiamo che la loro composizione g ◦ f : X → X `e la funzione definita dalla formula g ◦ f(x) = g(f(x)).

(i) Se f (x) = 2 ^x , dare una formula per le composizioni f ◦ p ^a e p a ◦ f, per ogni a ∈ R.

(ii) Trovare p a ◦ p ^b e p b ◦ p ^a , per ogni a, b ∈ R.

(iii) Sia f : X → X tale che f ◦ p ^a = p a ◦ f per ogni a ∈ R. ` E vero che allora anche f `e una funzione potenza?

Esercizio 6. Sia M = {n ∈ N : n ≥ 2} l’insieme degli interi maggiori o uguali a due. Si considera la funzione f : M × M → M × M data da f(x, y) = (x MCD(x, y), y). Trovarne i punti uniti, cio`e le coppie (x, y) ∈ M × M tali che f(x, y) = (x, y). Dimostrare che f `e iniettiva. ` E f suriettiva?

Con MCD(x, y) si indica il massimo comun divisore positivo dei due interi x ed y.

Esercizio 7. Supponiamo che n sia intero maggiore di 1. Lanciando n monete, quale probabilit` a si ha di ottenere sia testa che croce? E quale di ottenere al pi` u una testa? Esiste n tale che questi due eventi siano indipendenti?

Ricordiamo che due eventi si dicono indipendenti quando la probabilit` a che si verifichino insieme `e pari al prodotto delle probabilit` a dei singoli eventi.

Esercizio 8. In uno stabilimento un robot dispone lattine di pomodori pelati su un piano. Un giorno il robot impazzisce ed anzich´e disporre le lattine sul piano con la base orizzontale le poggia con la base inclinata in modo casuale rispetto al piano di appoggio; alcune si raddrizzano, altre no. Dopo che

`e stato deposto un grandissimo numero di lattine, si scopre che almeno 2/3 di esse si sono raddrizzate.

Schematizzando una lattina come un cilindro omogeneo di raggio di base r ed altezza h, quanto dev’essere almeno il rapporto r/h?

Esercizio 9. Due specchi piani formano fra loro un angolo diedro di ampiezza α minore di un angolo retto. Un raggio laser parte da un punto interno al diedro, si riflette su uno specchio e sull’altro, e torna dove `e partito. Quando accade ci` o? Precisiamo la domanda; prendiamo in un piano perpendicolare alla costola del diedro un sistema cartesiano ortonormale in cui il semiasse positivo delle ascisse `e l’intersezione di questo piano con uno specchio; l’ intersezione con l’altro specchio `e quindi una semiretta dall’origine che fa un angolo α < π/2 con l’asse delle ascisse; la sorgente laser `e in un punto di coordinate (a, b) entro l’angolo di queste due semirette. Verso quale punto (ξ, 0) del primo specchio si deve dirigere il laser perch´e il raggio torni su (a, b) (vedi figura)?

(a, b)

(ξ, 0) α

Figura 1. Raggio che si chiude.

Esercizio 10. Dimostrare che per ogni intero n ≥ 2 valgono le disuguaglianze 0 < log(n!) − (n log n − n + 1) < log n, (considerare R n

1 log x dx ... ) e servirsene per calcolare

n→∞ lim

√

n!

n

(log indica il logaritmo naturale, a base e).