ESERCIZI E COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA: settimo foglio

ESERCIZI E COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA: settimo foglio

A. Fig`a Talamanca

24 ottobre 2010

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0.1 Ancora sui limiti

Esercizio 1 Trovare funzioni f definite su tutta la retta reale e tali che:

1. f non `e identicamente nulla ma ha limite zero a +∞, 2. f non `e costante, ed ha limite uguale ad uno a −∞, 3. f ha limite 0 a +∞ ed ha limite 1 a −∞,

4. f ha limite 1 a +∞ e −1 a −∞

5. f non ha limite a +∞ ed ha limite 2 a −∞

Esercizio 2 Definire il significato delle seguenti espressioni e trovare fun- zioni che le verificano

1.

x→+∞

lim f (x) = 3, 2.

x→−∞

lim f (x) = 1/2, 3.

x→+∞

lim f (x) = +∞, 4.

x→+∞

lim f (x) = −∞, 5.

x→−∞

lim f (x) = +∞, Esercizio 3 Calcolare i limiti:

1.

x→+∞

lim x sin(1/x), 2.

x→+∞

lim x

(1 − cos(1/x)), 3.

x→+∞

lim x(1 − cos(1/x))

0.2. ALCUNI GRAFICI DI FUNZIONI 3

0.2 Alcuni grafici di funzioni

Esercizio 4 Studiare il comportamento della funzione f (x) =

p |x|

1 + x

, determinandone

1. i limiti all’infinito,

2. gli eventuali punti di massimo e di minimo relativi e assoluti 3. gli intervalli di crescenza e decrescenza

4. gli intervalli di concavit`a e convessit`a

Sulla base di quanto avete trovato tracciate il grafico della funzione.

Esercizio 5 Studiare il comportamento, della funzione

f (x) = | sin x|,

nell’intervallo [0, 2π], determinandone eventuali punti di massimo e di min- imo relativi e assoluti, gli intervalli di crescenza e decrescenza, gli intervalli di convessit`a e concavit`a. Tracciare il grafico della funzione.

Esercizio 6 Studiare il comportamento della funzione f (x) =

p |x + 1|

x

+ 2x + 2 , determinandone

1. i limiti all’infinito,

2. gli eventuali punti di massimo e di minimo relativi e assoluti 3. gli intervalli di crescenza e decrescenza

4. gli intervalli di convessit`a e concavit`a

Sulla base di quanto avete trovato tracciate il grafico della funzione.

4

Esercizio 7 Studiare il comportamento, della funzione

f (x) = sin(|x|),

nell’intervallo [−π, +π], determinandone eventuali punti di massimo e di minimo relativi e assoluti, gli intervalli di crescenza e decrescenza e gli in- tervalli di concavit`a e convessit`a. Tracciare il grafico della funzione.

Esercizio 8 Studiare il comportamento della funzione

f (x) = sin(x

), nell’intervallo [0, + √

2π], determinandone eventuali punti di massimo e min-

imo relativi e assoluti, gli intervalli di crescenza e decrescensa e gli intervalli

di convessit`a e concavit`a. Tracciare il grafico della funzione.