ESERCIZI E COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA: terzo foglio

ESERCIZI E COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA: terzo foglio

A. Fig`a Talamanca

7 ottobre 2010

2

0.1 Funzioni reali di variabile reale

Esercizio 1 Sia f la funzione f : R 7→ R definita da f (x) = x

+ 4 per x ∈ R, mostrare che:

f (0) = 4, f (3) = 13, f (−5) = 29, f (10) = 104.

Esercizio 2 Sia f definita come nel precedente esercizio, e sia a un numero reale, mostrare che

f (−a) = a

+4, f (a+1) = a

+2a+5, f (a−3) = a

−6a+13, f (a

+1) = a

+2a

+5.

Esercizio 3 Tracciare il grafico delle seguenti funzioni:

f (x) = |x|, g(x) = |x − 1|, h(x) = |x| − 1.

Ricordiamo che se f e g due funzioni a valori reali definite sullo stesso insieme A ⊂ R. La funzione f + g `e la corrispondenza x 7→ f (x) + f (y) definita per tutti gli x ∈ A. Similmente sono definite le funzioni f − g, f · g,ed f /g (che risulta definita solo per gli x ∈ A per i quali risulta g(x) 6= 0),

Esercizio 4 Siano f (x) = x

+ 2 e g(x) = x − 3, definite su tutta la retta reale. Mostrare che

(f + g)(x) = x

+ x − 1, (f · g)(x) = x

− 3x

+ 2x − 6,

(f − g)(x) = x

− x + 5, (1/f )(x) = 1

x

+ 2 , (g/f )(x) = x − 3

x

+ 2 .

Verificare che non `e possibile definire f /g su tutta la linea reale.

Esercizio 5 Per x ∈ R sia [x] il pi`u grande intero minore o uguale ad x, cio`e la cosiddetta parte intera di x. Tracciare il grafico della funzione f (x) = [x].

Tracciare il grafico della funzione f (x) = x − [x].

Esercizio 6 Stabilire quali dei seguenti sottoinsiemi del piano cartesiano sono grafici di funzioni. Trovare, se possibile, le funzioni (con relativo do- minio) delle quali sono i grafici

{(1, y) : y ∈ R},

0.1. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 3 {(x, y) : x

+ y

= 1}

{(x, y) : 2x + y + 1 = 0}

{(x, y) : x

− 2x + 3y = 0}

{(x, y) : xy = 1}

Esercizio 7 Mostrare che l’unione di due intervalli non `e sempre un inter- vallo, e che l’intersezione di due intervalli, se non `e vuota `e un interval- lo, oppure un singolo punto. (Possiamo indicare l’insieme costituito da un singolo punto a ∈ R con la notazione {a}. Un tale insieme pu`o essere an- che considerato un intervallo degenere, cio`e un intervallo del tipo [a, b], con a = b.)

Ricordiamo che una funzione definita su un sottoinsieme A ⊂ R si dice pari se A contiene l’opposto di ogni suo elemento e f (−x) = f (x). La fun- zione si dice dispari se A contiene l’opposto di ogni suo elemento e f (−x) =

−f (x).

Esercizio 8 Dimostrare che la funzione f (x) = x

`e pari se n `e pari ed `e dispari se n `e dispari.

Esercizio 9 Dimostrare che se f e g sono funzioni pari definite sullo stesso dominio, allora anche f + g, f − g, f g sono pari. Se invece f e g sono dispari, allora f + g ed f − g sono dispari, ma f g `e pari.

Ricordiamo che se f `e una funzione definita su un insieme A ed a valori in un insieme B e g `e una funzione il cui dominio di definizione comprende B, possiamo considerare g(f (x)), la composizione di f e g che si indica talvolta con g ◦ f .

Esercizio 10 Mostrare con esempi che, in generale, f ◦ g 6= g ◦ f .

Esercizio 11 Mostrare che se f e g sono polinomi (pi`u correttamente, fun- zioni polinomiali) allora f ◦ g `e un polinomio.

Esercizio 12 Ricordiamo che una funzione di dice iniettiva se x

6= x

implica che f (x

) 6= f (x

). Una funzione definita su un intervallo che

`e (strettamente) crescente oppure (strettamente) decrescente risulta auto-

maticamente iniettiva. Se f `e una funzione iniettiva definita sull’insieme

A possiamo definire la sua funzione inversa che sar`a definita sull’insieme

{f (x) : x ∈ A} = f (A). La funzione inversa f

`e la funzione che assume il

valore x nel punto f (x). In altre parole f

(f (x)) = x. Da quanto abbiamo

detto risulta che ogni funzione (strettamente) crescente oppure (strettamente)

decrescente ammette una funzione inversa.

4

Esercizio 13 Trovare la funzione inversa della funzione (definita su R) f (x) = x

+ 1.

Esercizio 14 Trovare un intervallo sul quale la funzione f (x) = x

− 1 `e

crescente e determinarne la funzione inversa su tale intervallo