ESERCIZI E COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA: quarto foglio

ESERCIZI E COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA: quarto foglio

A. Fig`a Talamanca 11 ottobre 2010

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0.1 Limiti di funzioni di variabile reale

Quale `e il significato della espressione

x→alimf (x) = L?

(che si legge ”il limite di f (x) per x che tende ad a `e L”)

Proviamo a rispondere a questa domanda con una definizione formale.

Dobbiamo supporre che f sia una funzione definita su un insieme A ⊂ R.

Definizione 1 Supponiamo che il dominio A della funzione f sia un inter- vallo o l’unione finita di intervalli (generalizzati). Supponiamo che a ∈ A oppure che a sia un estremo degli intervalli che compongono A. L’espressione

x→alimf (x) = L, significa allora che:

Per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che se x ∈ A, e 0 < |x − a| < δ, allora |f (x) − L| < ε,

Questa definizione completa, precisa e rigorosa non ci aiuta molto nel calcolo dei limiti delle funzioni elementari. In pratica per il calcolo dei limiti si utilizzano ”regole” deducibili dalla definizione. Possiamo quindi, per il momento, dare per acquisite le regole seguenti:

1. Se f (x) = c per ogni x ∈ A, cio`e se f `e costante, allora lim_x→af (x) = c.

2. lim_x→ax = a

3. Se lim_x→af (x) = L₁ e lim_x→ag(x) = L₂, allora lim_x→a(f + g)(x) = L₁+ L₂.

4. Se lim_x→af (x) = L₁ e lim_x→ag(x) = L₂, allora lim_x→a(f g)(x) = L₁L₂. 5. Se limx→af (x) = L ed L 6= 0 allora limx→a(1/f )(x) = 1/L.

6. Se h(x) ≤ f (x) ≤ g(x) e limx→ah(x) = limx→ag(x) = L, allora lim_x→af (x) = L.

Esercizio 1 Partendo dalla definizione formale di limite dimostrare che val- gono le regole appena enunciate.

Esercizio 2 Dimostrare che lim_x→0|x| = 0.

0.1. LIMITI DI FUNZIONI DI VARIABILE REALE 3 Esercizio 3 Partendo dalla definizione della funzione sin x, dimostrare che

| sin x| ≤ |x| e dedurne che lim_x→0sin x = 0.

Esercizio 4 Dimostrare che lim_x→0cos x = 1.

Esercizio 5 Dimostrare che se 0 < x < π/2, allora sin x < x < tan x Esercizio 6 Dedurre dal precedente esercizio che se 0 < x < π/2, allora 1 < _{sin x}^x < cos x.

Esercizio 7 Dedurre dal precedente esercizio che se 0 < x < π/2 allora

1

cos x < ^{sin x}_x < 1.

Esercizio 8 Utilizzando il fatto che le funzioni cos x e ^{sin x}_x sono pari ed il precedente esercisio dimostrare che, se −π/2 < x < π/2 allora _{cos x}¹ < ^{sin x}_x <

1, e dedurne che lim_x→0^{sin x}_x = 1.

Esercizio 9 Utilizzando la formula 1 − cos²x = (1 − cos x)(1 + cos x) di- mostrare che

x→0lim

1 − cos x

x² = 1/2 Esercizio 10 Dimostrare che lim_x→0^{1−cos x}_x = 0.

C’`e un’altra regola elementare che ci pu`o essere utile nel calcolare i limiti.

E’ la regola che si applica alle funzioni composte. Sostanzialmente ci dice che se lim_x→ag(x) = L e lim_y→Lf (y) = L⁰ allora lim_x→af (g(x)) = L⁰. Esercizio 11 Calcolare i seguenti limiti:

1.

limx→1

x²− 1 x − 1. 2.

x→0lim sin 3x

2x 3.

x→0lim sin x²

x² 4. Se α `e un numero reale qualsiasi,

x→αlim sin x

4 5.

x→αlimcos x.

Pu`o succedere che lim<sub>x→a</sub>f (x) non esista? Certamente. Se si analizza la definizione rigorosa si pu`o constatare che il limite non esiste quando la funzione f (x) assume valori molto diversi tra loro in ogni intervallo aperto che contiene a.

Prendiamo, ad esempio, la funzione f (x) = _|x|^x definita per tutti i valori di x eccetto 0. Questa funzione vale uno se x > 0 e vale −1 se x < 0. Non

`e definita in zero mam poich´e zero `e un punto estremo degli intervalli che compongono l’insieme di definizione, ha senso chiederci se esiste limx→0f (x).

La risposta `e no perch´e in ogni intervallo aperto che contiene 0 ci sono numeri positivi e numeri negativi sui quali la funzione assume rispettivamente il valore uno ed il valore meno uno. I valori della funzione non possono quindi avvicinarsi ad un valore limite L quando x si avvicina a 0.

Esercizio 12 Dimostrare che la funzione f (x) = [x] (parte intera di x) soddisfa alla condizione

x→alimf (x) = f (a), se a /∈ Z, mentre

x→alimf (x) non esiste se a ∈ Z.

Esercizio 13 Dimostrare che non esiste il limite

x→0limsin(1 x).

Esercizio 14 Dimostrare che

x→0limx sin(1 x) = 0.

C’`e un altro caso importante nel quale la funzione potrebbe non ammet- tere limite: quando in ogni intervallo aperto (a − δ, a + δ) la funzione assume valori arbitrariamente grandi in valore assoluto, Consideriamo ad esempio la funzione f (x) = 1/x<sup>2</sup> definita nell’insieme (−∞, 0) ∪ (0, +∞). Avrebbe senso considerare il limite di questa funzione per x → 0 perch´e 0 `e un punto estremo degli intervalli che compongono l’insieme di definizione. Ma il limite non esiste perch´e f (x) assume valori sempre pi`u grandi quando x si avvicina allo zero, non pu`o quindi avvicinarsi ad alcun numero finito L.