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ESERCIZI E COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA: secondo foglio

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(1)

ESERCIZI E COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA: secondo foglio

A. Fig`a Talamanca

6 ottobre 2010

(2)

2

0.1 Induzione matematica

Esercizio 1 Dimostrare per induzione le seguenti formule

1. n(n + 1)

2 = 1 + 2 + · · · + n

2. n(n + 1)(2n + 1)

6 = 1 + 2

2

+ 3

2

+ · · · + n

2

3.

2 + 4 + · · · + 2n = n(n + 1) 4.

1 + 3 + · · · + (2n − 1) = n

2

Esercizio 2 Dimostrare per induzione che un insieme di n elementi ha esat- tamente 2

n

sottoinsiemi (compresi l’insieme stesso e l’insieme vuoto)

Esercizio 3 Dimostrare che un sottoinsieme E non vuoto dei numeri nat- urali ha un elemento pi`u piccolo.(Suggerimento: Sia P (n) la proposizione

”Tutti i numeri naturali fino ad n compreso sono pi`u piccoli di tutti gli ele-

menti di E”. Si puo’ dimostrare (per induzione) che se E non avesse un ele-

mento pi`u piccolo la proposizione P (n) sarebbe vera per tutti gli n. Pertanto

E sarebbe vuoto contrariamente all’ipotesi.

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