ESERCIZI E COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA: quinto foglio

MATEMATICA: quinto foglio

A. Fig`a Talamanca

14 ottobre 2010

2

0.1 Ancora limiti di funzioni di variabile reale

Esercizio 1 Sia f (x) = [sin x] definita nell’insieme [0, 2π]. In altre parole f (x) `e il pi`u grande intero minore o uguale a sin x. Disegnare il grafico di f e determinare per quali a ∈ [0, 2π] esiste il limite,

x→a lim f (x), e se esiste calcolarlo.

Definizione 1 Sia f una funzione definita su un insieme A che `e l’unione di un numero finito di intervalli. Supponiamo che a ∈ A, oppure che a sia un estremo degli intervalli che costituiscono A. Allora l’espressione

x→a lim f (x) = +∞,

significa che per ogni M ∈ R esiste δ > 0 tale che se 0 < |x − a| < δ allora f (x) > M .

L’espressione

x→a lim f (x) = −∞,

significa che per ogni M ∈ R esiste δ > 0 tale che se 0 < |x − a| < δ allora f (x) < M .

Esercizio 2 Dimostrare che

x→0 lim 1

x ² = +∞.

Dobbiamo osservare che se consideriamo la funzione f (x) = _x ¹ definita nel-

l’insieme A = (−∞, 0) ∪ (0, +∞), il lim _{x→0 x} ¹ non esiste, perch´e in ogni

intervallo aperto che contiene 0, la funzione assume valori opposti arbitraria-

mente grandi. Se invece consideriamo la stessa funzione definita nell’insieme

A ⁺ = (0, +∞), risulta che il limite per x → 0 esiste ed `e +∞. Simil-

mente se consideriamo la stessa funzione definita nell’insieme A ⁻ = (−∞, 0)

il limite per x → 0 esiste ed `e −∞. Ma anche per i limiti finiti si pre-

senta una situazione analoga. Abbiamo visto che lim _x→0 f (x) = _|x| ^x , non

esiste se questa funzione `e considerata una funzione definita sull’insieme

A = (−∞, 0) ∪ (0, +∞), mentre invece i limiti esistono e sono, rispetti-

vamente +1 e −1, se il dominio di questa funzione `e limitato agli insiemi

A ⁺ e A ⁻ indicati sopra. Questo ci conduce a parlare dei limiti a destra e a

sinistra come faremo nella sezione che segue.

0.2 Limiti a destra e limiti a sinistra

Definizione 2 Sia f una funzione definita su un insieme A che `e unione di un numero finito di intervalli. Sia a un elemento di A oppure un estremo sinistro di uno degli intervalli che compongono A. Diremo che

x→a+ lim f (x) = L,

se per ogni ε > 0 esiste δ > 0, tale che se a < x < a + δ allora |f (x) − L| < ε.

Si dice allora che il limite per x che tende ad a da destra esiste ed `e uguale ad L.

Esercizio 3 Definite che cosa si intende per limite per x che tende ad a da sinistra.

Esercizio 4 Dimostrare che la funzione f (x) = [x] (parte intera di x am- mette sempre limiti da destra e da sinistra e che tali limiti sono diversi se e solo se a `e un numero intero.

Esercizio 5 Discutere l’esistenza dei limiti da destra e da sinistra della funzione f (x) = [sin x] definita su tutto R.

0.3 Limiti all’infinito

Definizione 3 1. Se f `e una funzione definita su una semiretta [a, +∞) e L `e un numero reale l’espressione

x→+∞ lim f (x) = L,

significa che per ogni ε > 0 esiste M ∈ R tale che, per ogni x > M risulta |f (x) − L| < ε

2. Se f `e una funzione definita su una semiretta [a, +∞) l’espressione

x→+∞ lim f (x) = +∞,

significa che per ogni b ∈ R esiste M ∈ R tale che se x > M allora f (x) > b.

Esercizio 6 Definire che cosa si intende per

x→+∞ lim f (x) = −∞

4

x→−∞ lim f (x) = L ∈ R,

x→−∞ lim f (x) = +∞,

x→−∞ lim f (x) = −∞

0.4 Ancora sulle funzioni continue e discon- tinue

L’esercizio che segue `e veramente difficile. Nessuno deve scoraggiarsi se non riesce a svolgerlo. Per i pi`u bravi vale per`o la pena di tentare.

Esercizio 7 Sia f la funzione cos`ı definita nell’intervallo [0, 1]:

f (x) = 0 se x `e irrazionale f (0) = f (1) = 1

f (x) = 1/q se 0 < x < 1 `e un razionale della forma x = p/q con p e q interi primi tra loro.

Dimostrare che f `e continua in tutti i numeri irrazionali ed `e discontinua in tutti i numeri razionali.

Esercizio 8 Trovare intervalli di lunghezza non pi`u grande di 1/2 in cui si annullano i polinomi

1.

x ³ + x ² + x + 1, 2.

x ³ − x ² + x − 1 3.

x ³ + x ² − x + 1

Esercizio 9 Sia f (x) = a _n x ⁿ + a _n−1 x ⁿ⁻¹ + · · · + a ₁ x + a ₀ un polinomio di grado n. Dimostrare che se n `e pari

x→∞ lim f (x) = lim

x→−∞ f (x), e che se n `e dispari

x→∞ lim f (x) = − lim

x→−∞ f (x).

(Si tratta di limiti infiniti in ambedue i casi)

Esercizio 10 Dimostrare che se un polinomio di grado pari assume un valore negativo ed un valore positivo, allora assume il valore zero in almeno due punti distinti.

Esercizio 11 Utilizzando il teorema dei valori intermedi dimostrare che, se n `e un numero intero positivo, la funzione f (x) = x <sup>n</sup> definita in [0, +∞) assume tutti i valori reali positivi. Utilizzando la crescenza di questa funzione dimostrare che ogni valore `e assunto una sola volta, e che pertanto per x > 0

`e ben definita la funzione f ⁻¹ (x) = √

x

Esercizio 12 Trovare una funzione definita e continua in tutti i punti del- l’intervallo (0, 1) che non `e limitata superiormente, ma `e limitata inferior- mente.

Esercizio 13 Trovare una funzione definita e continua in tutti i punti del- l’intervallo (0, 1) che non `e limitata n´e superiormente n´e inferiormente.

Esercizio 14 Trovare una funzione continua in tutti i punti dell’intervallo (0, 1) che `e superiormente limitata ma che non ammette un punto di massimo assoluto

Esercizio 15 Sia E = [1, 2]. Trovare funzioni f a valori reali definite su E con le propriet`a seguenti

1. f `e continua in tutti i punti di E tranne un punto.

2. f ha solo una discontinuit`a eliminabile in E

3. f ha esattamente due discontinuit`a di cui una eliminabile e l’altra di prima specie

4. f ha esattamente tre discontinuit`a di prima specie.

5. f ha una sola discontinit`a che `e di seconda specie.