ESERCIZI E COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA: primo foglio

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MATEMATICA: primo foglio

A. Fig`a Talamanca

3 ottobre 2010

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0.1 Numeri reali

Diamo per scontato che gli studenti conoscano i numeri razionali. Questi sono i numeri che possono essere espressi con una frazione cio`e come quoziente di due numeri interi.

Se, come `e usuale nei testi di matematica, indichiamo con il simbolo Q l’insieme dei numeri razionali e con il simbolo Z l’insieme dei numeri interi, nella notazione della teoria degli insiemi si pu`o scrivere

Q = { n

m : n, m ∈ Z, m 6= 0}.

Sappiamo che ogni frazione definisce univocamente (basta svolgere la divi- sione) un decimale, che può essere finito o periodico. Viceversa non è difficile dimostrare che ogni espressione decimale finita o periodica può scriversi come il quoziente tra due numeri interi. Ricordiamo che i numeri interi sono cos- tituiti dai naturali, cioè i numeri 1, 2, 3, . . . , il cui insieme si indica con N, e inoltre dal numero 0 e dai numeri interi negativi, −1, −2, −3, . . . .

Possiamo ricordare che è ben definita la somma ed il prodotto di due numeri razionali (basta saper sommare e moltiplicare due frazioni) e che è altrettanto ben definita la relazione d’ordine. Cioè siamo in grado di dire quando due frazioni n/m e k/h sono l’una maggiore dell’altra.

Esercizio 1 . Mettere in ordine decrescente le seguenti frazioni:

4/5, 5/4, 51/37, 49/31, 37/29

Esercizio 2 Date due frazioni n/m e k/h come si fa a stabilire quale è più grande e quale è più piccola?

E’ noto che in matematica e specialmente nello studio dell’analisi matem- atica si considerano numeri cosiddetti irrazionali che non possono essere espressi come quoziente di due numeri interi. In un certo senso, come ve- dremo, i numeri razionali non bastano per descrivere tutte le grandezze alle quali vorremmo associare un numero.

Il caso più semplice di inadeguatezza dei numeri razionali per descri- vere grandezze si è presentato circa venticinque secoli fa, quando si cercò di calcolare la lunghezza della diagonale di un quadrato di lato uno.

Un caso particolare del teorema di Pitagora ci dice che se d `e la lunghezza della diagonale di un quadrato di lato uno, allora d

²

= 2.

Possiamo chiederci allora se esiste un numero razionale il cui quadrato `e proprio due. In altre parole possiamo chiederci se esistono numeri interi m ed n che soddisfino all’equazione

m

²

= 2n

²

.

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Se questi numeri esistessero potremmo supporre che siano positivi e non ambedue pari (perch´e?). Osserviamo ora che il quadrato di un numero pari

è pari ed il quadrato di un numero dispari è dispari (perché?). Ne segue che m non può essere dispari perché il suo quadrato è pari. Ma se m è pari allora m = 2k per qualche intero k. Dall’equazione precedente segue allora che

4k

²

= 2n

²

, e quindi

2k

²

= n

²

.

Ma allora il quadrato di n `e pari, da cui segue che n `e pari. Quindi sia n che m sono pari il che contraddice la nostra ipotesi.

Abbiamo cos`ı dimostrato che nessun numero razionale pu`o avere come quadrato 2.

Esercizio 3 Rispondere ai ”perch´e?” indicati in parentesi nella dimostrazione che precede.

Furono quindi gli antichi greci a scoprire che non tutte le ”grandezze” che si presentavano naturalmente nello studio della geometria potevano essere espresse attraverso rapporti tra numeri interi. Fu sviluppata allora la teoria delle grandezze cosiddette incommensurabili, che prefigura, almeno dal punto di vista concettuale, la moderna teoria dei numeri reali.

Nelle trattazioni ”moderne”, anzich´e partire dallo studio delle grandezze geometriche si preferisce partire dall’insieme Q dei numeri razionali cer- cando di ”completarlo” con l’aggiunta di una congrua quantit`a di numeri irrazionali.

Un modo apparentemente semplice di operare questa integrazione del- l’insieme Q `e quello di partire dalla forma decimale dei numeri razionali ed aggiungere tutti i decimali infiniti che non sono periodici e che quindi non corrispondono a numeri razionali.

Questa scorciatoia, adottata anche da molti libri di testo, risulta alla fine impervia, perché non è affatto chiaro come possano essere definite la somma, il prodotto ed il quoziente di decimali infiniti non periodici. Nel caso di decimali finiti o periodici lo sappiamo fare riducendoli prima a quozienti di due interi. In mancanza di questa possibilità di riduzione anche la definizione della somma di due decimali infiniti non periodici diviene difficile.

Noi, come il libro di testo, prenderemo un’altra strada, e cio`e la strada della definizione assiomatica dei numeri reali.

Definire assiomaticamente un oggetto matematico significa elencare le

propriet`a che si vuole che questo oggetto abbia e quindi definire l’ogget-

to come quella cosa (se esiste) che soddisfa a queste propriet`a. Sono pro-

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prio queste propriet`a, che vengono chiamate assiomi, a definire l’oggetto in questione.

Un esempio elementare di definizione assiomatica `e fornito dalla definizione di un pezzo del gioco degli scacchi. Si definisce, ad esempio, il re, come il pezzo che pu`o muoversi in ogni direzione di un solo passo. Sono le regole del gioco a definire re, regina, alfiere, cavallo, torre e pedone, e non la particolare forma che i pezzi possono avere.

Le definizioni assiomatiche hanno però un limite, quello che le proprietà indicate come assiomi non devono essere contraddittorie. Quando si intro- duce per via assiomatica un concetto nuovo in matematica, bisognerebbe accertarsi che non si sono introdotte proprietà contraddittorie.

Uso il condizionale perch´e noi introdurremo per via assiomatica i numeri reali, ma non faremo l’ulteriore passo di dimostrare, che questi assiomi non introducono contraddizioni. Questo passo ulteriore pu`o essere fatto, ma non

è un argomento che può essere affrontato in un insegnamento del primo anno diretto ad allievi ingegneri. Mi limiterò a fornire una indicazione bibliografi- ca. Gli interessati potranno consultare il libro di Walter Rudin ”Principi di Analisi Matematica”, McGraw-Hill Libri Italia, 1991, ed in particolare l’appendice al Capitolo I.

Ecco quindi la definizione assiomatica dei numeri reali.

I numeri reali, indicati con R sono un insieme nel quale sono definite due operazioni: la somma indicata come x + y ed il prodotto, indicato con x · y, ed una relazione indicata con x < y, che soddisfano alle seguenti propriet`a

ASSIOMI ALGEBRICI.

a) Propriet`a associativa.

Per ogni x, y, z ∈ R,

(x + y) + z = x + (y + z), x · (y · z) = (x · y) · z.

b) Propriet`a commutativa Per ogni x, y ∈ R,

x + y = y + x, x · y = y · x.

c) Propriet`a distributiva Per ogni x, y, z ∈ R,

x · (y + z) = x · y + x · z

d) Esistenza dello zero

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Esiste un elemento 0 tale che, per ogni x ∈ R, x + 0 = x.

e) Esistenza dell’unit`a

Esiste un elemento 1 tale che, per ogni x ∈ R, 1 · x = x.

f) Esistenza dell’opposto.

Per ogni x ∈ R esiste un elemento −x tale che

−x + x = 0.

g) Esistenza dell’inverso.

Per ogni x 6= 0 esiste un elemento x

⁻¹

tale che x · x

⁻¹

= 1.

ASSIOMI DELL’ORDINE

E’ definita in R una relazione x < y che soddisfa alle seguenti propriet`a a) Propriet`a transitiva

Se x < y e y < z allora x < y b) Propriet`a di tricotomia

Se x, y ∈ R allora si verifica una ad una sola delle seguenti tre relazioni:

x = y, x < y, y < x.

ASSIOMI DI COLLEGAMENTO TRA OPERAZIONI E ORDINE a) Se x < y allora per ogni z ∈ R x + z < y + z.

b) Se x < y e 0 < z, allora x · z < y · z.

Osserviamo che tutti gli assiomi finora elencati sono soddistatti dai nu- meri razionali Q con le operazioni di somma e prodotto e la relazione di ordine ben definite in questo insieme. Sar`a necessario quindi aggiungere un altro assioma per ottenere un sistema pi`u ampio.

Prima di enunciare questo assioma dobbiamo introdurre (come fa il libro di testo) il concetto di insieme limitato e di maggiorante.

Introduciamo prima una notazione particolarmente comoda. Diremo che x ≤ y se x < y o x = y. Dire che x ≤ y equivale quindi a dire che non `e vero che x < y. Similmente introduciamo la notazione x ≥ y per significare che non `e vero che x < y.

Supponiamo di avere un sistema che soddisfa agli assiomi gi`a enunciati.

Diremo che un elemento M `e un maggiorante di un insieme E se per ogni ele-

mento x ∈ E si verifica che x ≤ M. Un insieme che ammette un maggiorante

si dice superiormente limitato

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Esercizio 4 Definire che cosa si intende per minorante di un insieme e definire che cosa si intende per insieme inferiormente limitato.

ASSIOMA DI COMPLETEZZA

Se E è un insieme non vuoto superiormente limitato allora esiste un elemento sup E che è il più piccolo dei suoi maggioranti.

Possiamo ora definire il sistema R dei numeri reali come un insieme dotato di operazioni di somma e prodotto che soddisfano agli assiomi algebrici sopra elencati, sul quale `e definita una relazione di ordine che soddisfa agli assiomi sopra elencati e che infine soddisfa all’assioma di completezza.

Possiamo ora osservare che R contiene i numeri razionali, o meglio con- tiene un sottoinsieme ”isomorfo” ai numeri razionali.

Partiamo dagli elementi 0 e 1 la cui esistenza ci `e assicurata dagli assiomi e consideriamo tutti gli elementi di R ottenibili attraverso somme, prodotti, opposti e inversi (quando leciti) a partire da questi elementi. Otteniamo quindi con le somme e gli opposti un insieme che possiamo dire isomorfo ai numeri interi Z e considerando i quozienti (se leciti) un insieme isomorfo ai numeri razionali Q.

Esercizio 5 Dimostrare che esiste un sottoinsieme dei numeri razionali lim- itato superiormente che per`o non possiede nei razionali un estremo superiore (minimo dei maggioranti). Suggerimento: considerare l’insieme E = {x ∈ Q : x

²

< 2}.

Esercizio 6 Dimostrare che se x ∈ R allora x = sup{q ∈ Q : q ≤ x}.

Esercizio 7 Dimostrare che per ogni numero reale non negativo x ≥ 0 esiste uno ed un solo numero reale non negativo √

x (detto la radice quadrata di x,) tale che ( √

x)

²

= x.

Esercizio 8 Trovare sottoinsiemi dei numeri reali E che soddisfino alle seguen- ti propriet`a

1) E `e limitato superiormente, ma non inferiormente 2) E `e limitato inferiormente ma non superiormente

3) E `e limitato superiormente ma non ha un massimo elemento.

Esercizio 9 Trovare massimi e minimi, se esistono, estremi inferiori e su-

periori (se esistono) di un intervallo di estremi a e b e cio`e degli intervalli

[a, b], (a, b], (a, b), [a, b).

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Esercizio 10 Dimostrare che l’insieme dei numeri naturali considerato come sottoinsieme dei numeri reali non `e limitato.

Esercizio 11 Dimostrare che tra due numeri reali x < y esiste un numero razionale r tale che x < r < y

Esercizio 12 Dimostrare che se x `e un numero reale tale che 0 ≤ x e tale che per ogni numero reale ε positivo risulta x < ε, allora x = 0.

Ricordiamo che il valore assoluto o modulo di x ∈ R, indicato con |x| si pu`o definire in diversi modi equivalenti:

1. |x| = x, se x ≥ 0, e |x| = −x se x < 0,

2. |x| = max{x, −x} è il più grande dei due numeri x e −x, 3. |x| è la distanza tra x e 0 sulla retta reale.

Esercizio 13 Dimostrare che le tre precedenti definizioni sono equivalenti Esercizio 14 Dimostrare che

|x + y| ≤ |x| + |y|,

|x · y| = |x| · |y|.

Esercizio 15 Dimostrare, utilizzando il precedente esercizio che

||x| − |y|| ≤ |x − y| ≤ |x| + |y|.

Esercizio 16 Dimostrare che

√ x

²

= |x|,

Esercizio 17 Dimostrare che

|x

ⁿ

| = |x|

ⁿ

,

per ogni numero intero n. (Se n `e negativo si deve per`o supporre x 6= 0.)

Esercizio 18 Osservare che la distanza tra due numeri, x ed y nella retta

reale `e data da |x − y|. Disegnare quindi sulla retta reale gli insiemi seguen-