La distribuzione di Gauss

La distribuzione di Gauss

Metodo della massima verosimiglianza ^:

giustificazione del valor medio x_medio come miglior valore di X vero

X_best = Σxi/N (5.5 Taylor)

Siano dati i valori delle n misure x₁, …., x_n ripetute e indipendenti della stessa grandezza fisica. Si suppone che la distribuzione di probabilità sia gaussiana i cui parametri X_vero e σ non sono noti a priori.

Poichè le misure sono indipendenti la probabilità di aver osservato queste n misure è dato dal prodotto delle singole probabilità

P_X,_σ(x₁, ..,x_N) = P_X,_σ(x₁)· P_X,_σ(x₂) ·.. P_X,_σ(x_N) =

=1/((2)ⁿ 1/(σⁿ))· e ^{−Σ(xi−X)2/}2 σ²

Le miglior stime dei parametri X e σ si possono ottenere utilizzando un principio variazionale della statistica noto come

il principio di massima verosimiglianza.

Questo plausibile principio afferma che i miglior valori dei parametri sono quelli che rendono massima la funzione di probabilità P_X,_σ(x₁, ..,x_N) che dipende dai parametri X_vero e σ e si indica con F(X, σ ).

La funzione è a due variabili e per trovare i massimi si calcolano le derivate parziali della funzione

F(X, σ) = 1/σ^N· e ^{−Σ(xi−X)2}/2 σ² = σ−^N· e ^{−Σ(xi−X)2}/2 σ²

rispetto ai parametri X e 

ovvero quei valori per cui le 2 derivate parziali dF/dX e dF/dσ sono = 0.

Giustificazione del valor medio x_medio come miglior valore di X vero

X_best = Σxi/n (5.5 Taylor)

Calcolo la dF/dX e impongo che sia = 0

dF/dX = σ−ⁿ (e ^{−Σ(xi−X)2} /2 σ²) · d(−Σ(x_i−X)² / 2 σ²)_/ dX = = σ−ⁿ· (e ^{−Σ(xi−X)2} /2 σ²) ·(−2Σ(x_i−X) / 2 σ²) = 0

da cui Σ(x_i−X) = 0 X_best = Σx_i/n

ovvero:

il miglior valore di X (secondo il principio di massima verosimiglianza) è il valore medio Σxi/n

e si indica con X_best

Giustificazione della deviazione standard σ_x come il miglior valore di σ

σ²_best=Σ(xi−x_medio)²/(n−1)

dF/dσ = -n σ⁻ⁿ⁻¹e^{−Σ(xi−X)2} / 2 σ² + σ-ⁿ(e^{−Σ(xi−X)2} /2 σ²) · d(-Σ(xi-X)2 / 2 σ²)/d =

= -n σ⁻ⁿ⁻¹e^{−Σ(xi−X)2} /2 σ² + σ-ⁿ(e^{−Σ(xi−X)2}/2 σ²) · (-Σ(xi-X)²) (-2σ-³ / 2) =

= -n σ⁻ⁿ⁻¹e^{−Σ(xi−X)2} / 2 σ² + σ-ⁿe^{−Σ(xi−X)2} / 2 σ²) · (-Σ(xi-X)²) (-σ-³) =

= σ⁻ⁿ ·e^{−Σ(xi−X)2} / 2 σ² (-n σ⁻¹ + Σ(xi-X)² σ⁻³) = 0 da cui

(-n⁻¹ +Σ(xi-X)² σ⁻³) = 0 ovvero

σ²_best = Σ(xi-X)²/n

Dimostrazione della formula

Σ(x_i−X)² / n = Σ(x_i−X_medio)²/(n−1)

Dimostrazione:

σ²_best = Σ(xi−X)² / n = Σ(xi− X_medio+ X_medio−X)² / n = in cui ho aggiunto e tolto X_medio

= Σ(xi− X_medio)² / n + Σ(X_medio−X)² / n + 2 Σ(xi− X_medio)(X_medio−X) / n =

Poiché Σ(xi− X_medio)/n = 0 l'ultimo termine è nullo

= Σ(xi− X_medio)² / n + n( X_medio −X)² / n = Σ(xi− X_medio)² / n + (Σx_i /n − X)² in cui ho sostituito X_medio con Σx_i / n

●

la relazione diventa

σ²_best = Σ(xi−X)² / n = Σ(xi− X_medio)² / n + (Σx_i −nX)² / n² = = Σ(xi− X_medio)² / n + (Σx_i −ΣX)² / n² = = Σ(xi− X_medio)² / n + (Σ(x_i −X))² / n²

l’ultimo termine può essere riscritto come Σ_i(x_i −X) ·Σ_j(x_j−X) / n² e riscriviamo di seguito σ²_best separando i termini diagonali del prodotto delle due sommatorie dai termini non diagonali

si ottiene la relazione

σ²_best = Σ(x_i −X)² / n = Σ(xi− X_medio)² / n + Σ(x_i −X)² / n² + Σ_i(x_i −X) · Σ _j≠i(x_j−X) / n²

Il termine diagonale Σ(x_i −X)² / n² è sempre positivo, mentre il termine non diagonale Σ_i(x_i −X) · Σ _j≠i(x_j−X) / n² non ha segno definito e per n molto grande si può trascurare rispetto al termine diagonale.

Con questa approssimazione la relazione risulta

σ²_best = Σ(x_i −X)² / n = Σ(xi− X_medio)² / n + Σ(x_i −X)² / n² da cui si può scrivere che

Σ(x_i −X)² / n = Σ(xi− X_medio)² / n + Σ(x_i −X)² / n²

Σ(x_i −X)² / n - Σ(x_i −X)² / n² = Σ(xi− X_medio)² / n

Risolvendo rispetto a Σ(x_i −X)² / n si ha

Σ(x_i −X)² / n = Σ(xi− X_medio)² / (n-1)

Resta così giustificata la formula della deviazione standard σ_x come il miglior valore di σ

σ²_best=Σ(x_i−x_medio)²/(n−1)