La distribuzione di Gauss

La distribuzione di Gauss

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Metodo della massima verosimiglianza :

giustificazione del valor medio Σxi/N (come miglior valore di X vero) X _best = Σx _i /N (5.5 Taylor e 9.3 Carnelli)

Siano dati i valori delle n misure x ₁ , …., x _n ripetute e indipendenti della stessa grandezza fisica. Si suppone che la distribuzione di probabilità sia gaussiana i cui parametri X _vero e σ non sono noti a priori. Poiché le misure sono indipendenti la probabilità di aver osservato queste n misure è data dal prodotto delle singole osservato queste n misure è data dal prodotto delle singole

probabilità

P _X , _σ (x ₁ , ..,x _N ) = P _X , _σ (x ₁ )· P _X , _σ (x ₂ ) ·.. P _X , _σ (x _N ) =

= 1/((2) ^N 1/(σ ^N )) · e -Σ(xi - X)2/ 2σ ²

Le miglior stime dei parametri X e σ si possono ottenere utilizzando un principio variazionale della statistica noto come il principio di

massima verosimiglianza.

Questo plausibile principio afferma che i migliori valori dei parametri sono quelli che rendono massima la funzione di probabilità P _X , _σ (x ₁ , ..,x _N ) che dipende dai parametri X = X _vero e

 =  _vera e si indica con F(X, ).

La funzione è a due variabili e per trovare i massimi si calcolano le derivate parziali della funzione, detta di massima verosimiglianza

F(X, σ) = 1/(2) ^N 1/σ ^N · e -Σ(xi - X)2 /2σ ² = 1/(2) ^N σ- ^N · e -Σ(xi - X)2 /2σ ²

rispetto ai parametri X e 

ovvero imponendo dF/dX = 0 e dF/dσ = 0

Nota: nella dimostrazione da qui in avanti si omette il fattore costante 1

(2)

ininfluente nella dimostrazione

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Miglior valore di X

dF/dX = σ ^-N . (e -Σ(xi - X)2 /2σ ² ) · d(-Σ(x _i - X) ² /2σ ² )/dX =

= σ ^-N · (e -Σ(xi - X)2 /2σ ² ) · (-2Σ(x _i - X)/2σ ² ) = 0

da cui Σ(x _i - X) = 0 X _best = Σx _i /N

ovvero:

il miglior valore di X (secondo il principio di massima verosimiglianza), che si indica con X _best , è il valore medio

Σx _i /N

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Miglior valore della varianza σ ² _best = Σ(x _i −X) ² /N

dF/dσ = -Nσ ^-N-1 e -Σ(xi - X)2 / 2 σ ² + σ ^-N (e −Σ(xi - X)2 / 2 σ ² ) . d(-Σ(x _i - X) ² / 2 σ ² )/d

= -Nσ ^-N-1 e -Σ(xi - X)2 / 2 σ ² + σ ^-N (e −Σ(xi - X)2 / 2 σ ² ) · (-Σ(x _i - X) ² ) (-2σ ^-3 /2) =

= -Nσ ^-N-1 e -Σ(xi - X)2 / 2 σ ² + σ ^-N (e −Σ(xi - X)2 / 2 σ ² ) · (-Σ(x - X) ² ) (-σ ^-3 ) =

= -Nσ ^-N-1 e -Σ(xi - X)2 / 2 σ ² + σ ^-N (e −Σ(xi - X)2 / 2 σ ² ) · (-Σ(x _i - X) ² ) (-σ ^-3 ) =

= σ ^-N e -Σ(xi - X)2 / 2 σ ² (-Nσ ^-1 + Σ(x _i - X) ² σ ^-3 ) = 0 da cui (-N ^-1 + Σ(x _i - X) ² σ ^-3 ) = 0

ovvero

σ ² _best = Σ(x _i - X) ² /N

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Giustificazione della deviazione standard

σ _x =  Σ(x _i - X _medio ) ² /(N - 1) come miglior valore di 

(9.4 Carnelli)

Dimostrazione della relazione ^Σ(x _i ^{- X) 2 /N = Σ(x} _i ^{- X} _medio ^{) 2 /(N - 1)}

σ ² _best = Σ(x _i - X) ² /N = Σ(x _i - X _medio + X _medio - X) ² /N = in cui ho aggiunto e tolto X _{medio medio} = Σx _{i i} /N

= Σ(x _i - X _medio ) ² /N + Σ(X _medio - X) ² /N + 2Σ(x _i - X _medio )(X _medio - X)/N = poiché Σ(x _i - X _medio )/N = Σ(x _i )/N - NX _medio /N = 0

l'ultimo termine è nullo e quindi si ha

σ ² _best = Σ(x _i - X) ² /N = Σ(x _i - X _medio ) ² /N + N(X _medio - X) ² /N

= Σ(x _i - X _medio ) ² /N + (Σx _i /N - X) ²

in cui ho sostituito X _medio con Σx _i /N

la relazione diventa

σ ² _best = Σ(x _i - X) ² /N = Σ(x _i - X _medio ) ² /N + (Σx _i - NX) ² /N ² =

= Σ(x _i - X _medio ) ² /N + (Σx _i - ΣX) ² /N ² =

= Σ(x _i - X _medio ) ² /N + (Σ(x _i - X)) ² /N ²

l’ultimo termine può essere riscritto come Σ _i (x _i - X)·Σ _j (x _j - X)/N ² e riscriviamo di seguito σ ² _best separando i termini diagonali del prodotto delle due sommatorie dai termini non diagonali

prodotto delle due sommatorie dai termini non diagonali si ottiene la relazione

σ ² _best = Σ(x _i - X) ² /N =

= Σ(x _i - X _medio ) ² /N + Σ(x _i - X) ² /N ² + Σ _i (x _i - X) · Σ _j≠i (x _j - X)/N ² Il termine diagonale Σ(x _i - X) ² /N ² è sempre positivo, mentre il termine non diagonale Σ _i (x _i - X) · Σ _j≠i (x _j - X)/N ² non ha segno definito e per n molto grande si può trascurare rispetto al termine diagonale.

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Con questa approssimazione, la relazione risulta:

σ ² _best = Σ(x _i - X) ² /N = Σ(x _i - X _medio ) ² /N + Σ(x _i - X) ² /N ² da cui si può scrivere che

Σ(x _i - X) ² /N = Σ(x _i - X _medio ) ² /N + Σ(x _i - X) ² /N ² Σ(x _i - X) ² /N - Σ(x _i - X) ² /N ² = Σ(x _i - X _medio ) ² /N Risolvendo rispetto a Σ(x _i - X) ² /N si ha

Σ(x - X) /N = Σ(x - X ) /(N - 1) Σ(x _i - X) ² /N = Σ(x _i - X _medio ) ² /(N - 1)

Sostituendo nella σ ² _best = Σ(x _i - X) ² /N si ha che il miglior valore della  ² è

σ ² _best = Σ(x _i - x _medio ) ² /(N - 1) e il miglior valore di 

σ _x =  Σ(x _i - X _medio ) ² /(N - 1)

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