Analisi Matematica 1, Scritto 2-B. Durata della prova: 2 ore 24.2.10

Analisi Matematica 1, Scritto 2-B. Durata della prova: 2 ore 24.2.10

Domanda 1 [3+2

punti]

(i) Dare la definizione di derivata direzionale per una funzione

f :

]R2 ---? R

(ii)

Enunciare ilTeorema del gradiente.

Risposta

(i)---cfr. Ce-.-M'\-t> 2. " A

(ii) _

Domanda 2 [2+3

punti]

(i) Enunciare il teorema di derivabilità della funzione inversa.

(ii) Calcolare (f-l),(y) per y = lave f(x) =x:3

+

2:c

+

1.

Risposta

(i) ~---

---~. ~~\-.

( -F ^--l J le ~J ^-::L - _{3 Xl.-i~} ^d LVL ^{. <j ~ .f2-t-;() -}

(ii) ~

- _ftL~) -

\/d,k, s: _'1~ ^{1....~ .c- to) k~}

(~_\) ~( ~) #(0)' ^{-. ~}

~

Esercizio 1

[3 punti]

Sia

A ç

IRe sia

f : A

---+ IR continua. Allora quale delle seguenti affermazioni é vem

o

^se

^A

^{é limitato,}

^f(A)

^{é limitato}

~ se

A

^é un intervallo chiuso e limitato,

f(A)

é un intervallo chiuso e limitato

o

^se

^A

^é un intervallo aperto,

f(A)

=(inf

t,

^sup

f)

A A

GJ ^{f(A) ç}

^(inf

^t,

^{sup f)}

^.

A A

Risoluzione

b)

Esercizio 2

[3 punti]

Sia a^{n rv}bn per

n

---+ 00e lim ^Cn = 1. Allora per n ---+ +00

71.-++00

r-(;l ab'Il,Cn f",.J ab-n

~ n n

Risoluzione

D,,- f2.:....-.. ~::::-

"'~ i:<l>

Esercizio 3

^[3 punti]

Dato E =

{;J~21 :

^{n =}

0,1,2,3,

..

j,

allora

o

^inf

^E

^{=0, sup}

^E

⁼⁺⁰⁰

o

^{inf E =-00, sup}

^E

⁼²

[li]

^infE

⁼

^{0, maxE}

⁼

²

fdl inf E

=

O sup E

= -

3

~ , 2

Risoluzione

lim\---::----r;-:---,---:---;;/

x~o

[4punti]

Esercizio 4

Calcolare

Risoluzione

4'..-.-0 ~(r..~'f"t ,{ ~~ ~"'-o ~ ^{'t'O ~N.-!}

'\

)<"1)0 -

-

Esercizio 5

[4punti]

Provare attraverso il principio di induzione che 2n

+

l

<

n² per ogni n

2:

3.

Risoluzione

Esercizio 6

[5 punti]

Disegnare il dominio D= {(x, y) E ~2 :

x2 +

y2

:::;

l, -y

:::;x :::;

y} e calcolare

II

D y dx dy.

:::::.:I.

Risoluzione

'<l

, c