102 Prove d’Esame di Analisi Matematica – Versione 2006 Universit`a di Pisa - Corso di Laurea in Informatica
Scritto d’esame di Analisi Matematica
Pisa, 9 Gennaio 2003
1. Calcolare
limx→0
(x + x3)2− sin x2 log(1 + x4) .
2. Studiare al variare di λ ∈ R il numero di soluzioni dell’equazione e−2x(x3− x2) = λ.
3. Si consideri la successione xn definita per ricorrenza da xn+1= arctan xn
3n + 1 , x0 = 4.
(a) Dimostrare che la successione xn ha limite 0.
(b) Determinare se la serie
∞
X
n=0
n2xn converge.
4. Calcolare
Z π 0
x2sin(2x) dx.
Scritto d’esame Informatica 2003 1
Capitolo 2: Scritti d’esame 103 Universit`a di Pisa - Corso di Laurea in Informatica
Scritto d’esame di Analisi Matematica
Pisa, 6 Febbraio 2003
1. Calcolare
x→0lim
x − (1 + x2) sin x
x3 .
2. Calcolare l’estremo inferiore e superiore della funzione f (x) = arctan x −x2
4
al variare di x in R, specificando se si tratta, rispettivamente, di minimo e massimo.
3. Determinare la soluzione del problema di Cauchy y0 = y2ex, y(1) = 2.
4. (a) Mostrare che
Z +∞
0
sin2x x2+ x4 dx converge.
(b) Determinare per quali valori del parametro α > 0 si ha che l’integrale improprio Z +∞
0
sin2x xα+ x4 dx converge.
Scritto d’esame Informatica 2003 2
