104 Prove d’Esame di Analisi Matematica – Versione 2006 Universit`a di Pisa - Corso di Laurea in Informatica
Scritto d’esame di Analisi Matematica
Pisa, 15 Gennaio 2004
1. Calcolare
x→0lim
arctan x − sin x log(1 + x3) .
2. Studiare, al variare di λ ∈ R, il numero di soluzioni dell’equazione
√x2+ 3 x + 1 = λ.
3. Si consideri la successione definita per ricorrenza da
xn+1 = x3n+ x2n, x0 = 1.
(a) Mostrare che xn≥ 1 per ogni n ∈ N.
(b) Calcolare il limite della successione xn. (c) Calcolare il limite della successione xn/n.
4. Calcolare
Z 1 0
x log(1 + x) dx.
Scritto d’esame Informatica 2004 1
Capitolo 2: Scritti d’esame 105 Universit`a di Pisa - Corso di Laurea in Informatica
Scritto d’esame di Analisi Matematica
Pisa, 12 Febbraio 2004
1. Calcolare
x→0lim
log(1 + x) − sin(x + x4)
x2 .
2. Calcolare l’estremo inferiore e superiore della funzione arctan x + 1
x − 1
− x
al variare di x in [0, +∞[\{1}, precisando se si tratta, rispettivamente, di minimo e massimo.
3. (a) Mostrare che la serie
+∞
X
n=0
n2 n3+ 2n converge
(b) Determinare per quali valori del parametro a > 0 si ha che la serie
+∞
X
n=0
n2 n3+ an converge.
4. Sia
D = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x}.
Calcolare
Z
D
x sin y dx dy.
Scritto d’esame Informatica 2004 2
106 Prove d’Esame di Analisi Matematica – Versione 2006 Universit`a di Pisa - Corso di Laurea in Informatica
Scritto d’esame di Analisi Matematica
Pisa, 19 Luglio 2004
1. Se esiste, calcolare
n→+∞lim
√
n4+ n + 1 −√
n4+ 2
(n + sin n).
2. Studiare, al variare del parametro λ ∈ R, il numero di soluzioni reali dell’equazione x2+ 2x = λ(x + 1)2.
3. Sia xn la successione definita per ricorrenza da xn+1 =p3
x2n+ 2xn, x0 = 8.
Mostrare che la successione xn ammette limite finito e calcolarlo.
4. Si consideri l’equazione differenziale
y00+ 5y0+ 6y = 0.
(a) Trovare la soluzione generale dell’equazione.
(b) Trovare la soluzione che verifica le condizioni y(0) = 0, y0(0) = 1.
(c) Trovare tutte le soluzioni y(x) per cui si ha che
x→+∞lim e3xy(x) = 1.
Scritto d’esame Informatica 2004 3
