Autorizzo la pubblicazione in rete del risultato dell’esame. Firma...

Esame di Geometria 1 — 15 Giugno 2018

NOME, COGNOME e MATRICOLA...

Autorizzo la pubblicazione in rete del risultato dell’esame. Firma...

1. Siano dati i polinomi

p

(x) = x

+ kx + (k − 1), p

(x) = x − k, p

(x) = x

+ x al variare di k in R, e W

⊂ R

[x] lo spazio vettoriale da loro generato.

Si consideri l’applicazione:

F

: R

[x] → R

[x]

p(x) 7→ p(0)p

(x) + p

(1)p

(x) + 1

2 p”(1)p

(x)

dove p

(1) e’il valore della derivata prima di p(x) in 1 e p”(1) il valore della sua derivata seconda in 1.

(a) Si calcoli la dimensione di KerF

al variare di k e per dim(kerF

) > 0 si esibisca una base di kerF

.

(b) Si calcoli la dimensione di W

al variare di k, e si esibisca una matrice rappresentativa dell’endomorfismo G

restrizione di F

a W

:

G

: W

→ W

, G

(p(x)) = F

(p(x)).

(c) Si studi la diagonalizzabilita’ di G

per k = 0, −1. Per k = 0 sia esibisca una base per ogni autospazio.

2. Sia V := M

(R) lo spazio delle matrici 2 × 3 a coefficienti reali. Sia W

il sottospazio vettoriale di V generato da

W

:=  0 2 0 0 4 + k 0



,  1 2 3 2 6 −k



,  −2k 0 6

0 2 0



,  3 4 9

−2k 11 −k



. Sia U

il sottoinsieme di V definito da

U

:=







 a b c d e f



∈ V tali che







a + d + e + 2 = −hb + c + 5f + h

− h 2b + d = e + f + h

− h

− 2h





 Sia A la matrice A :=  0 1 3

0 3 0

 .

(a) Al variare di k ∈ R si determinino la dimensione e una base di W

.

(b) Per k = 0 si stabilisca se A appartiene a W

e in caso affermativo lo si scriva come combinazione lineare di una base di W

.

(c) Si stabilisca per quali h ∈ R il sottoinsieme U

´ e un sottospazio vettoriale e per tali h se ne determinino la dimensione e una base.

(d) Nel caso k = h = −1, si determinino le dimensioni di W

∩ U

e di W

+ U

. Si

esibisca una base A di W

∩ U

e la si completi a una base B di W

+ U

.

3. Nello spazio affine reale A

si considerino i punti

P

= (3, 1, 0, 0), P

= (3, 3, 1, 0), P

= (4, 2, 0, 0)

Q

= (2 − k, 1, 0, 0), Q

= (2, 3, 1, 0), Q

= (3 − k, 4, 1, k − 1) e siano π

il piano passante per P

, P

e P

e π

quello passante per Q

, Q

e Q

.

(a) Si determinino delle equazioni cartesiane del piano π

(b) Al variare di k in R, si studino le posizioni reciproche di π

e π

.

(c) Per quali valori di k esiste una retta passante per il punto R = (1, 1, 1, 1) e parallela

sia a π

che a π

? Si determinino, per tali valori di k, le equazioni cartesiane di una

tale retta.