1. Detta Φ l’applicazione lineare

Esame di geometria 1 — 16 settembre 2019

NOME, COGNOME e MATRICOLA...

Autorizzo la pubblicazione in rete del risultato dell’esame. Firma...

1. Detta Φ l’applicazione lineare

Φ : R[x]

^≤3

→ R[x]

^≤2

ax

³

+ bx

²

+ cx + d 7→ bx

²

+ ax + c, si consideri il seguente endomorfismo

Ψ

h

: R[x]

^≤2

→ R[x]

^≤2

p(x) 7→ Φ((hx

²

+ x + 1)p

⁰

(x)), dove p

⁰

(x) indica la derivata di p(x) e h ∈ R `e un parametro.

(a) Si determini la matrice rappresentativa M

_B

(Ψ

_h

), rispetto alla base B := {x

²

, x, 1}. e si esibisca una base del nucleo e dell’immagine di Ψ

_h

.

(b) Si stabilisca per quali valori del parametro h l’endomorfismo Ψ

_h

` e diagonalizzabile.

(c) Per h = 2, si determini una base di R[x]

^≤2

costituita da autovettori di Ψ

2

.

(d) Si dica se esistono 2 basi di R[x]

_≤3

rispetto a cui l’applicazione lineare Ψ

_h

puo’ essere rappresentata dalla matrice diag(1, 0, 1) e in caso affermativo le si esibiscano.

2. Sia k ∈ R. Si considerino i seguenti vettori v

i

∈ R

⁴

:

v

₁

=







 1

−1

−1 1









, v

₂

=







 k 0 1 k









, v

₃

=







 2

−1 0 2









, v

₄

=







 4

−k − 2

−k − 1 4







 ,

e i seguenti sottospazi vettoriali di R

⁴

:

V

_k

:=



 



 









 x

1

x

₂

x

₃

x

4







 ∈ R

⁴

| x

₁

+ x

₂

= 0, kx

₃

+ k

²

x

₄

= 0



 



 



, U

_k

:= hv

₁

, v

₂

, v

₃

, v

₄

i .

(a) Si esprima v

₄

come combinazione lineare di v

₁

, v

₂

e v

₃

e si dica per quali k tale combinazione e’ unica

(b) Al variare di k ∈ R, si determinino la dimensione e una base di V

k

e la dimensione e una base di U

_k

.

(c) Al variare di k ∈ R, si determinino le dimensioni di V

^k

∩ U

k

e di V

k

+ U

k

.

(d) Per k = 1, si esibisca una base di V

₁

∩ U

₁

e la si completi a una di V

₁

+ U

₁

.

3. Nello spazio affine reale A

³

, si considerino la retta r

_`

, di equazioni cartesiane

 `x − y + `z = 1 x + `y − z = ` ,

con ` ∈ R parametro, e la retta s, congiungente i punti P = (1, 1, −1) e Q = (1, −1, 1).

(a) Si determini la posizione reciproca di r

_`

e s, al variare di ` ∈ R.

(b) In corrispondenza di ogni valore ` del parametro, tale che r

_`

e s siano parallele, si determini il piano che le contiene entrambe, esprimendolo mediane la sua equazione cartesiana.

(c) Per ` = 1, si determini, esprimendola in forma parametrica, la retta t, passante per

il punto Q = (0, 1, 0), e incidente le rette r

₁

e s.