FISICA GENERALE

FISICA GENERALE

MODULO A

CORSO H – BARI Fenomeni d’urto

Dott. Giannuzzi Giuseppe

Argomenti della lezione

Urti:

- Urti tra due punti materiali - Urto elastico

- Urto completamente anelastico - Urti tra corpi rigidi

- Urti tra punti materiali e corpi rigidi

Urti tra due punti materiali

Un urto è un evento isolato nel quale una forza relativamente intensa agisce, per un tempo relativamente breve rispetto ai tempi di osservazione del moto (prima e dopo l’urto), sui corpi che entrano in contatto tra loro.

Tali forze di breve durata vengono dette forze impulsive.

Consideriamo ad esempio due punti materiali che entrano in contatto (urto) tra loro: le forze che si sprigionano nel contatto tra i due punti saranno 𝐹 𝑡 e −𝐹 𝑡 per il 3° principio della dinamica (sono forze interne rispetto al sistema costituito dai due punti materiali), e dal 2° principio ^𝑑𝑃

𝑑𝑡 = 𝐹 𝑡 ⟹ 𝑑𝑃 = 𝐹 𝑡 𝑑𝑡 da cui integrando:

න

𝑖 𝑓

𝑑𝑃 = න

𝑡_𝑖 𝑡_𝑓

𝐹 𝑡 𝑑𝑡

quest’ultimo integrale al 2° membro possiamo chiamarlo 𝐽 = ׬_𝑡

𝑖

𝑡_𝑓

𝐹 𝑡 𝑑𝑡 ed è definito come impulso dell’urto.

∆𝑃 = 𝐽

La relazione trovata è detta Teorema dell’impulso.

Urti tra due punti materiali

Graficamente l’impulso

𝐽 = න

𝑡_𝑖 𝑡_𝑓

𝐹 𝑡 𝑑𝑡 è l’area della curva 𝐹(𝑡) tra 𝑡_𝑖 e 𝑡_𝑓

(𝜏 = 𝑡_𝑓 − 𝑡_𝑖 intervallo di tempo nel quale la forza si esplica)

Possibile andamento della forza impulsiva 𝐹(𝑡) in funzione del tempo

Urti tra due punti materiali

Durante gli urti, nonostante le forze che intervengono sono in genere intense e producono impulsi grandi, esse sono comunque interne al sistema costituito dagli oggetti urtanti ed il tempo di interazione è invece molto piccolo. Il sistema di oggetti che urta è praticamente chiuso ed isolato.

Per tali sistemi abbiamo visto che dal momento che 𝐹 ^(𝐸) = 0 ⇒ 𝑑𝑃

𝑑𝑡 = 0 ⇒ 𝑃 _𝑡𝑜𝑡 = 𝑐𝑜𝑠𝑡

Questo significa che in assenza di forze esterne si verifica durante l’urto la conservazione della quantità di moto totale.

Due punti materiali di masse 𝑚₁ e 𝑚₂ nell’istante precedente e successivo all’urto:

𝑃 _𝑖𝑛 = 𝑚₁𝑣 _1,𝑖𝑛 + 𝑚₂𝑣 _2,𝑖𝑛 𝑃_𝑓𝑖𝑛 = 𝑚₁𝑣 _{1,𝑓𝑖𝑛} + 𝑚₂𝑣 _{2,𝑓𝑖𝑛}

⇒ 𝑃 _𝑖𝑛 = 𝑃_𝑓𝑖𝑛

Inoltre, la q.d.m. del CM rimane invariata nell’urto: 𝑃 = 𝑚₁ + 𝑚₂ 𝑣 _𝐶𝑀 = 𝑃 _𝑖𝑛 = 𝑃_𝑓𝑖𝑛 Se ci troviamo in presenza di forze esterne (non impulsive) al sistema (quali ad es. la forza di gravità) queste possono produrre impulsi molto piccoli e quindi trascurabili rispetto alle variazioni di impulso dell’urto stesso.

Urti tra due punti materiali

Quindi in un processo di urto tra punti materiali (in cui si abbia un’intensità dell’interazione molto grande rispetto alle eventuali forze esterne presenti) si ha che:

• un urto comporta uno scambio di quantità di moto tra due punti sotto forma di impulsi dovuti alle forze interne tra gli stessi punti materiali

• nell’urto la quantità di moto totale prima dell’urto è uguale alla quantità di moto totale dopo l’urto: la quantità di moto del sistema si conserva

Le forze interne che si sviluppano durante nell’urto sono conservative?

Non è noto a priori ⟹ Non si può assumere la conservazione dell’energia meccanica del sistema durante l’urto.

Poiché nell’urto la posizione dei punti non varia, allora la variazione dell’energia meccanica sarà solo dovuta alla variazione dell’energia cinetica.

Non si può assumere che l’energia cinetica si conservi durante l’urto.

Sistema del laboratorio e sistema del CM

Osserviamo l’urto nel sistema di riferimento inerziale, detto anche sistema del laboratorio. Dal momento che il sistema è chiuso ed isolato si ha

𝑣 _𝐶𝑀 = σ 𝑚_𝑖 𝑣 _𝑖

σ 𝑚_𝑖 = 𝑃 _𝑡𝑜𝑡 𝑀

e quindi essendo 𝑃 _𝑡𝑜𝑡 = 𝑐𝑜𝑠𝑡 e 𝑀 = 𝑐𝑜𝑠𝑡 ⟹ 𝑣 _𝐶𝑀 = 𝑐𝑜𝑠𝑡

Tuttavia possiamo studiare il legame tra le quantità viste nel sistema CM e quelle viste nel sistema inerziale.

Considerando due punti materiali che si muovono con

𝑣 ₁ e 𝑣 ₂ nel sistema inerziale e con 𝑣′₁ e 𝑣′₂ nel sistema CM.

Il legame delle velocità è:

(1) 𝑣 ₁ = 𝑣′₁ + 𝑣 _𝐶𝑀 𝑣 ₂ = 𝑣′₂ + 𝑣 _𝐶𝑀 La q.d.m. totale nel CM è nulla: 𝑃′ = 0, infatti:

𝑃 = 𝑚₁ 𝑣 ₁ + 𝑚₂ 𝑣 ₂ = 𝑚₁ + 𝑚₂ 𝑣 _𝐶𝑀 ma vale anche la relazione usando (1)

𝑃 = 𝑚₁ 𝑣′₁ + 𝑣 _𝐶𝑀 + 𝑚₂ 𝑣′₂ + 𝑣 _𝐶𝑀 =

= 𝑚₁ + 𝑚₂ 𝑣 _𝐶𝑀 + 𝑚₁ 𝑣′₁ + 𝑚₂ 𝑣′₂

dal confronto viene che 𝑚₁ 𝑣′₁ + 𝑚₂ 𝑣′₂ = 0

Sistema del laboratorio ↑ Sistema del CM ↓

Sistema del laboratorio e sistema del CM

La descrizione nel sistema CM quindi è 𝑃′ = 0 ⟹

𝑚₁𝑣′_1,𝑖𝑛 + 𝑚₂𝑣′_2,𝑖𝑛 = 0 = 𝑚₁𝑣′_{1,𝑓𝑖𝑛} + 𝑚₂𝑣′_{2,𝑓𝑖𝑛} ⟹ 𝑝′_1,𝑖𝑛 = − 𝑝′_2,𝑖𝑛 𝑝′_{1,𝑓𝑖𝑛} = − 𝑝′_{2,𝑓𝑖𝑛}

Quindi dal CM, le particelle appaiono arrivare una contro l’altra verso il CM stesso, con quantità di moto eguali in modulo ed opposte.

I punti si urtano proprio nel CM.

Sistema del laboratorio ↑ Sistema del CM ↓

Urti elastici ed anelastici

Gli urti nei quali oltre alla quantità di moto si conserva anche l’energia cinetica si dicono urti elastici.

In questi urti si potrà applicare la conservazione della quantità di moto e la conservazione dell’energia meccanica.

Tutti gli altri tipi di urto sono invece urti anelastici nei quali l’energia cinetica non è conservata e viene dissipata (totalmente o in parte) in energia termica, acustica o in deformazioni dei corpi che si urtano.

Nel caso in cui nell’urto i corpi si incastrano (attaccati) per formare un unico oggetto finale si parla di urto totalmente anelastico.

La posizione delle due particelle coincide con quella del CM, per cui la loro velocità relativa rispetto al CM è nulla.

Urto elastico

Un urto è definito elastico quando si ha la conservazione dell’energia cinetica.

Quindi le forze interne che si manifestano durante l’urto sono conservative.

In questo tipo di urti abbiamo che:

𝑃 _𝑖𝑛 = 𝑃_𝑓𝑖𝑛

𝑚₁ 𝑣 _1,𝑖 + 𝑚₂𝑣 _2,𝑖 = 𝑚₁ 𝑣 _1,𝑓 + 𝑚₂𝑣 _2,𝑓 ed inoltre

𝐸_{𝑘,𝑖𝑛} = 𝐸_{𝑘,𝑓𝑖𝑛} 1

2𝑚₁𝑣_1,𝑖² + 1

2𝑚₂𝑣_2,𝑖² = 1

2𝑚₁𝑣_1,𝑓² + 1

2𝑚₂𝑣_2,𝑓²

Per un urto centrale (quando i due punti materiali si muovono prima e dopo l’urto lungo la stessa direzione), le precedenti equazioni in forma scalare, risultano (attenzione ai segni, si considerano quelli del sistema di riferimento scelto):

⟹

Urto centrale

Urto completamente anelastico

Se a seguito dell’urto i due punti rimangono attaccati insieme si parlerà di urto totalmente anelastico per cui si avrà

𝑃 _𝑖𝑛 = 𝑚₁ 𝑣 ₁ + 𝑚₂ 𝑣 ₂ 𝑃 _{𝑡𝑜𝑡,𝑓} = 𝑚₁ + 𝑚₂ 𝑣 _𝑓 quindi si ottiene

𝑚₁ 𝑣 ₁ + 𝑚₂ 𝑣 ₂ = 𝑚₁ + 𝑚₂ 𝑣 _𝑓 = 𝑚₁ + 𝑚₂ 𝑣 _𝐶𝑀 L’energia cinetica invece prima e dopo l’urto cambia:

𝐸_𝑘,𝑖 = 1

2𝑚₁𝑣₁² + 1

2𝑚₁𝑣₂² = 1

2 𝑚₁ + 𝑚₂ 𝑣_𝐶𝑀² + 𝐸′_𝑘 (avendo applicato il teorema di Konig). Dopo l’urto invece:

𝐸_𝑘,𝑓 = 1

2 𝑚₁ + 𝑚₂ 𝑣_𝑓² = 1

2 𝑚₁ + 𝑚₂ 𝑣_𝐶𝑀² < 𝐸_𝑘,𝑖

In definitiva dopo l’urto manca il termine di energia rispetto al CM e l’energia cinetica assorbita è:

Δ𝐸_𝑘 = 𝐸_𝑘,𝑓 − 𝐸_𝑘,𝑖 = −𝐸′_𝑘 = 1

2 𝑚₁ + 𝑚₂ 𝑣_𝐶𝑀² − 1

2𝑚₁𝑣₁² + 1

2𝑚₂𝑣₂²

In pratica quindi nell’urto le forze interne hanno compiuto un lavoro in termini di deformazione del corpo, che non viene più recuperato - permanente (quindi le forze interne in questo tipo di urti non sono conservative).

Pendolo balistico

Il pendolo balistico è un dispositivo che veniva usato per misurare la velocità di un proiettile, costituito da un blocco di legno, sospeso verticalmente.

Esempio: Il pendolo balistico di massa 𝑀 = 5.4 𝐾𝑔 è tenuto sospeso da due funi.

Un proiettile di massa 𝑚 = 9.5 𝑔 è sparato orizzontalmente contro il blocco e si arresta entro esso. Il sistema blocco + proiettile si sposta verso destra sollevandosi di ℎ = 6.3 𝑐𝑚. Qual’era la velocità del proiettile al momento dell’urto?

La soluzione del problema avviene distinguendo l’evento in due fasi:

a) Urto (1D)

b) Moto del sistema urtato (immediatamente dopo l’urto)

Pendolo balistico

La fase (a) la risolviamo come urto totalmente anelastico, in quanto alla fine i due oggetti urtanti sono uniti.

Non possiamo considerare la conservazione dell’energia Applichiamo la conservazione della quantità di moto:

𝑚₁𝑣₁ + 𝑚₂𝑣₂ = 𝑚₁ + 𝑚₂ 𝑣_𝑓 (tutto sullo stesso asse orizzontale)

con 𝑣₁ = 𝑣_{𝑝𝑟𝑜𝑖𝑒𝑡𝑡𝑖𝑙𝑒}, 𝑚₁ = 𝑚, 𝑚₂ = 𝑀, 𝑣₂ = 0 in quanto inizialmente fermo.

Quindi si avrà

𝑚 𝑣_𝑝 = 𝑚 + 𝑀 𝑣_𝑓 (1)

Pendolo balistico

Fase (a) 𝑚 𝑣_𝑝 = 𝑚 + 𝑀 𝑣_𝑓 (1)

La fase (b) la possiamo trattare usando il teorema di conservazione dell’energia meccanica. Il sistema blocco+proiettile ha adesso una certa velocità 𝑣_𝑓 (stiamo anche supponendo che è passato così poco tempo che di fatto non si è mosso dalla posizione verticale) ed è soggetto solo a forze conservative (il peso). Quindi l’energia meccanica dopo l’urto si conserva:

𝐸_{𝑝,𝑖𝑛} + 𝐸_{𝑘,𝑖𝑛} = 𝐸_{𝑝,𝑓𝑖𝑛} + 𝐸_{𝑘,𝑓𝑖𝑛} con 𝐸_{𝑝,𝑖𝑛} = 0.

𝐸_{𝑘,𝑖𝑛} = 1

2 𝑚 + 𝑀 𝑣_𝑓² 𝐸_{𝑝,𝑓𝑖𝑛} = 𝑚 + 𝑀 𝑔 ℎ

con 𝐸_{𝑘,𝑓𝑖𝑛} = 0 (si solleva finchè si ferma) ⟹ 𝐸_{𝑘,𝑖𝑛} = 𝐸_{𝑝,𝑓𝑖𝑛}

1

2 𝑚 + 𝑀 𝑣_𝑓² = 𝑚 + 𝑀 𝑔 ℎ (2)

⟹ 𝑣_𝑓² = 2 𝑔 ℎ

Mettendo ora a sistema la (1) con la (2) otteniamo:

𝑣_𝑝 = 𝑚 + 𝑀

𝑚 𝑣_𝑓 = 𝑚 + 𝑀

𝑚 2 𝑔 ℎ = 630 𝑚 𝑠

Problema 1

Due sfere metalliche, come in figura, sono inizialmente in contatto. La sfera 1 ha massa 𝑀₁ = 30 𝑔 viene lasciata dopo essere sollevata verso sinistra sino ad una altezza ℎ₁ = 8.0 cm. Nella caduta urta elasticamente la massa 𝑀₂ = 75 𝑔. Qual è la velocità 𝑣_1,𝑓 della sfera 1 dopo l’urto?

Il processo è a due fasi:

a) caduta sfera;

b) urto tra due sfere (considerate come punti materiali)

Problema 2: urto 2D

Due punti si urtano in modo totalmente anelastico con velocità 𝑣₁ diretta nel verso positivo dell’asse x e 𝑣₂ nel verso positivo dell’asse y. Supponendo che l’urto avvenga nell’origine, che 𝑚₁ =83 Kg, 𝑚₂ = 55 Kg, 𝑣₁ = 6.2 km/h e 𝑣₂ =7.8 Km/h, determinare 𝑣 _𝑓.

Problema 3

Un punto materiale di massa m=1 kg urta anelasticamente un oggetto di massa M=3 kg fermo inizialmente. A seguito proseguono insieme su un piano orizzontale scabro (μ_d = 0.3) per 2 m prima di fermarsi.

Qual era la velocità iniziale?

Urto:

𝑚 𝑣 = 𝑚 + 𝑀 𝑣_𝑓

Conservazione energia: ℒ_𝑎𝑡𝑡 = Δ𝐸_𝑘

−𝜇_𝑑 𝑚 + 𝑀 𝑔 𝑠 = −1

2 𝑚 + 𝑀 𝑣_𝑖² 𝑣_𝑖² = 2 𝜇_𝑑 𝑔 𝑠

𝑣_𝑖 = 2 𝜇_𝑑 𝑔 𝑠

Urti tra corpi rigidi

Per un sistemi di punti e soprattutto quando sono coinvolti corpi rigidi (liberi, non vincolati), va considerata anche l’altra equazione della dinamica 𝜏 ^(𝐸) = 0 ⇒

𝑑𝐿

𝑑𝑡 = 0 ⇒ 𝐿 = 𝑐𝑜𝑠𝑡

si avrà la conservazione del momento angolare (per qualunque scelta di polo).

In ogni caso poiché a priori non è nota la natura delle forze interne non si può assumere a priori la conservazione dell’energia meccanica e quindi in generale negli urti non si può a priori assumere che si conserva l’energia cinetica.

Urti tra punti materiali e corpi rigidi e urti tra corpi rigidi

Nell’urto tra punti materiali e corpi rigidi o tra corpi rigidi, bisogna tenere conto che le forze sviluppate nell’urto sono impulsive e si possono trascurare i contributi delle forze esterne.

Se l’urto è elastico si ha la conservazione dell’energia cinetica.

Se i corpi che urtano sono senza vincoli, si avrà comunque la conservazione della quantità di moto.

Se i corpi urtano mentre ci sono vincoli, la quantità di moto non si conserva (a causa della reazione vincolare). Si avrà la conservazione del momento angolare se si sceglie un polo tale che il momento delle reazioni vincolari incognite sia nullo.

Quando il corpo vincolato è urtato, l’effetto del vincolo è di comunicare un impulso che sarà del tipo 𝐽 = ׬_𝑡

𝑖

𝑡_𝑓

𝑅 𝑡 con 𝑅 la reazione vincolare.

Es. 7.10 Urto completamente anelastico tra punto e asta libera

Un’asta di massa 𝑚₁, lunghezza l, è ferma in un piano orizzontale liscio. Ad un certo momento viene colpito da un punto materiale 𝑚₂ e velocità v perpendicolare all’asta che colpisce l’asta ad una distanza x dal centro O e ci rimane attaccato.

Determinare la velocità lineare ed angolare del sistema dopo l’urto.

Per prima cosa valutiamo la posizione del CM rispetto al centro dell’asta nell’istante in cui avviene l’urto.

Se il riferimento ha origine in O il CM ha coordinate:

Es. 7.10 Urto completamente anelastico tra punto e asta libera

Per la conservazione della q.d.m.:

Per la conservazione del momento angolare:

(CM come polo)

La rotazione non avviene solo se x=0 I_CM 𝜔

I_CM L_CM

Es. 7.11 Urto completamente anelastico tra punto e asta libera

Come nell’esempio precedente solo che l’asta è vincolata nell’estremo O. In questo esercizio l’asta è lunga 𝑙 e 𝑚₁ = 𝑚₂ = 𝑚. Il punto 𝑚₂ urta ad una distanza r ≤ 𝑙 da O e rimane fissato sull’asta. Calcoliamo la velocità angolare.

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