Meccanica 12 11 aprile 2011 Urti Conservazione della quantita` di moto e teorema dell’impulso Energia cinetica Urti elastici e anelastici Urto con corpi vincolati

Meccanica 12

11 aprile 2011

Urti

Conservazione della quantita` di moto e teorema dell’impulso Energia cinetica

Urti elastici e anelastici Urto con corpi vincolati

Urto

• È un’interazione tra due (o più) corpi che avviene in un intervallo di tempo “piccolo”

• Abbastanza piccolo affinché l’azione di

eventuali forze esterne al sistema dei due corpi sia trascurabile rispetto all’azione delle forze

interne

• Durante l’urto si sviluppano forze interne di durata t molto breve ma che possono

assumere intensità molto elevate

• Queste sono dette forze impulsive

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Tipologia

• Urti in una, due, tre dimensioni

• Urti fra punti materiali

• Urti fra punti materiali e corpi estesi

• Urti fra corpi estesi

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Definizioni

• Distinguiamo due stati: quello iniziale

prima dell’urto e quello finale dopo l’urto

• Ci interessa correlare i valori che le

grandezze assumono negli stati iniziale e finale

• Non ci occuperemo invece di quel che accade durante l’urto

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Definizioni

• Diciamo m₁ e m₂ le masse dei due corpi

• Diciamo v_1i , v_2i le velocità dei due corpi nello stato iniziale e v_1f , v_2f nello stato finale

m₁ v_1i m₂

v_2i Stato iniziale

v_1f

v_2f Stato finale

Urto

tempo

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Conservazione della QM

• In assenza di forze esterne, la QM del sistema dei due corpi si deve

conservare

• Riarrangiando, troviamo la variazione di QM di ciascun corpo





m

v 

 m

v  

 m

v 

 m

v 



p 

  p





m

 v 

  v

 ^{ m}

 ^{v }

^{  v}







 p

  p

Teorema dell’impulso

• Cioè la variazione di QM del primo corpo è uguale e contraria a quella del secondo

• Ciò si può anche esprimere col th.

dell’impulso tenuto conto che le forze di interazione sono uguali e contrarie

 

0

) 2 ( 1 1

1 1

1

v v p F dt J

m

t i

f



 



    

 

 

0

) 1 ( 2 2

2 2

2

v v p F dt J

m

t i

f



 



    

 

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Sistema del CM

• Fintanto che si possono trascurare le forze esterne agenti sul sistema dei due corpi, la velocità del CM è costante

• Mediante una trasformazione di Galileo possiamo metterci in un sistema inerziale in cui la velocità del CM è nulla

• Tale sistema è, ovviamente, il sistema del CM

• La relazione tra le velocità espresse nel sistema iniziale e nel sistema del CM è

• In questo sistema la QM di moto è sempre nulla





V 

 

V





v 

  v  

V

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Conservazione della QM

• Si può assumere che la QM si conservi anche in presenza di forze esterne, a patto che

queste non siano impulsive e quindi siano abbastanza deboli per non cambiare

sostanzialmente la QM del sistema

nell’intervallo di tempo in cui avviene l’urto

• Nel limite ideale di durata infinitesima dell’urto qualunque forza non impulsiva dà contributo nullo alla QM

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Conservazione della QM

• Questo si può vedere usando il teorema del valor medio applicato alle forze esterne

• Se F_ex (e quindi <F_ex>) rimane limitata, per t infinitesimo l’impulso diventa infinitesimo

t F

dt F

J

t

ex

ex



 ^  ^ 



0

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Riassunto

• Nell’urto avviene uno scambio di QM tra i due corpi che costituiscono il sistema, dovuto alle forze interne che agiscono fra loro

• La QM del sistema si conserva, cioè la QM dello stato iniziale è uguale alla QM dello stato finale

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Energia meccanica, cinetica

• Generalmente l’energia meccanica non si conserva in un urto

• Tutto dipende dal fatto se le forze interne sono conservative oppure no

• Lo stesso vale per l’energia cinetica, che in generale non si conserva in un urto

• Useremo il th. di König dell’energia cinetica



K  K

 K

 1

2  m

 m

 ^V

2

 1

2 m

v

 1

2 m

v



  

 

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Urti anelastici

• Un urto è più o meno anelastico a misura di quanta energia cinetica K viene persa

• Un urto è elastico se K si conserva

• È totalmente anelastico se la perdita di K è massima

• Per sapere quando questo accade ci si pone nel sistema del CM e si richiede che l’energia cinetica dopo l’urto sia nulla (i due corpi

rimangono attaccati formando un unico

corpo)

K

 0

anelastico ¹³

Urti anelastici

• Nei casi intermedi possiamo definire il coefficiente di restituzione

• Il caso elastico corrisponde a e=1

• Il caso totalmente anelastico a e=0



e  K^*_f K_i^*

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Urto totalmente anelastico fra due corpi

• Stato iniziale

• Dalla definizione di CM possiamo anche scrivere

• Stato finale: i due corpi si attaccano insieme

• Quindi

• Poiché agiscono solo forze interne, la QM si conserva, ne segue





m

v 

 m

v 

  p





m

 m

  ^{v }

  p

 m 

 m

 ^{V }





m

 m

  ^{V }

  p





v 

 

V



v 

 

V

 

V

 m

v 

 m

v 

m

 m

Urto totalmente anelastico fra due corpi

• Confrontiamo l’energia cinetica nello stato iniziale:

• e nello stato finale

• La perdita di energia cinetica è pari a



K

 K

 K

 1

2  m

 m

 ^V

2

 K



K

 K

 K

 1

2  m

 m

 ^V

2

 0



K

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Urto elastico in 1-D

• Consideriamo il semplice caso di urto in 1-D, cioè tale per cui le velocità, iniziali e finali,

sono tutte lungo una sola direzione (urto centrale)

• Applichiamo la conservazione della QM

• e la conservazione dell’energia cinetica



m

v

 m

v

 m

v

 m

v



1

2 m

v

 1

2 m

v

 1

2 m

v

 1

2 m

v

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Urto elastico in 1-D

• Le due eqq. costituiscono un sistema in due incognite, che è possibile risolvere con i

metodi noti; otteniamo



v

 m

 m

m

 m

v

 2m

m

 m

v



v

 2m

m

 m

v

 m

 m

m

 m

v

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Urto elastico in 2-D

• Se l’urto non e` centrale i principi di conservazione non bastano a risolvere il problema

• Abbiamo tre eqq. ma quattro incognite:

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f f

i

i

m v m v m v

v

m

















1

2 m

v

 1

2 m

v

 1

2 m

v

 1

2 m

v

i f

p_1i p_2i

p_1f p_2f

p_i

p_f

 





1f p f

p

Urto con corpi vincolati

• Se c’è un vincolo che tiene fermo un punto del corpo, durante l’urto si genera una forza vincolare impulsiva (esterna) e quindi la QM non si conserva

• Il vincolo agirà con una risultante di forze F e di momenti , i cui effetti, nell’intervallo di

tempo dell’urto, sono l’impulso e l’impulso angolare







t

dt F J

0



 ^{H }



^dt

0

 ^



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Urto con corpi vincolati

• L’impulso è uguale alla variazione di quantità di moto

• L’impulso angolare è uguale alla variazione di momento angolare

p dt

F J

t

 

 

  

0

L dt

H

t

 

 

  

0



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Momento angolare

• Se agiscono solo forze interne al

sistema dei due corpi, il MA si conserva

• Il MA si conserva anche rispetto ad un polo fisso in un sistema inerziale o

rispetto al CM se il momento delle forze esterne rispetto a quel polo è nullo

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