pe r il c. d .l . in I nf or m at ic a pr of . M au ri zi o S pu ri o sp ur io @ b o. in fn .i t

1

pe r il c. d .l . in I nf or m at ic a pr of . M au ri zi o S pu ri o sp ur io @ b o. in fn .i t

2

Il M e to d o S ci e nt if ic o • O ss e rv az io ni e m is ur e • C os tr uz io ne d i un m od e ll o m at e m at ic o • U ti li zz o pr e d it ti vo d e l m od e ll o • C on fr on to tr a pr e d iz io ni e n uo ve o ss e rv az io ni L a S ci e nz a è la g ra nd e a vv e nt ur a d i e sp lo ra zi on e co ll e tt iv a d e ll ’U m an it à.

Gal ile o, 15 64 -16 42

Il m e to d o sc ie nt if ic o è “d is tr ib ui to ” e n on è ap pa nn ag gi o d i un s ol o so gg e tt o. G li s ci e nz ia ti n on s on o is ol at i, m a fo rm an o un a co m un it à un ic a.

L a st or ia d e ll a S ci e nz a m od e rn a in iz ia i n G re ci a: n as ci ta d e ll a lo gi ca , d e ll a fi lo so fi a, d e ll a m at e m at ic a e p ri m i te nt at iv i d i st ud ia re i l m on d o ut il iz za nd o un a b b oz zo d i m et od o sc ie nt if ic o

3

- L e s te ll e s pl e nd on o pe r ta nt o te m po a c au sa d e ll a fo rz a de bo le . - G li o gg e tt i ce le st i so no le ga ti d al la fo rz a di gr av it à

I m at to ni d e ll ’U ni ve rs o so no g li at om i, co st it ui ti a l or o vo lt a d a el et tr on i, pr ot on i e ne ut ro ni . G li a to m i si r iu ni sc on o e fo rm an o M ol ec ol e G li e le tt ro ni s on o le ga ti al nu cl e o d al la fo rz a el et tr ic a . Pr ot on i e ne ut ro ni s on o le ga ti t ra l or o d a un a fo rz a pi ù in te ns a, l a fo rz a fo rt e .

D a in fi ni to … … .a i nf in it o

4

F is ic a e d I nf or m at ic a • I m od e ll i te or ic i d e ll e m ac ch in e c al co la tr ic i so no b as at i su m od e ll i fi si ci d e ll e m ac ch in e s te ss e • L a lo gi ca i nt e rn a d e ll e m ac ch in e c al co la tr ic i è b as at a su ll ’e le tt ro ni ca (o gg i) e f or se d om an i… ( fo to ni , m e cc an ic a qu an ti st ic a) • M ol ti a lg or it m i d i ca lc ol o so no b as at i su m od e ll i fi si ci • M od e ll i fi si ci h an no u n ru ol o im po rt an te n e ll a co m pu te r gr ap hi cs e n e ll o sv il up po d i m ol ti s im ul at or i (v id e og io ch i) • L a co m pr e ns io ne d e ll a F is ic a è im po rt an te a nc h e n e ll a ge st io ne d i e ve nt i e st e rn i • L ’I nf or m at ic a fa m ol to p e r la F is ic a ... e v ic e ve rs a

5

Li b ri d i Te st o

L e i llu st ra zi on i ut il iz za te s on o ne ll a m ag gi or p ar te e st ra tt e d a: H al li d ay -R e sn ic k- W al ke r, C E A . •G li a rg om e nt i tr at ta ti s on o pr e se nt i in t ut ti i li b ri d i F is ic a G e ne ra le c h e co nt e ng an o: •M e cc an ic a •E le tt ro m ag ne ti sm o

6

A vv er te nz a… L e s e gu e nt i tr as pa re nz e s on o ut il iz za te d ur an te l a le zi on e . N O N po ss on o qu in d i e ss e re c on si d e ra te a ut oc on si st e nt i, m a ne ce ss it an o d e ll e s pi e ga zi on i, d i al cu ne d im os tr az io ni e p as sa gg i pr e se nt at e d ur an te l a le zi on e (m ag ar i su ll a tr ad iz io na le l av ag na ). S on o pe rò u ti li p e r ai ut ar e l o st ud e nt e a p re nd e re a pp un ti , pe r av e re s ot to m an o le f or m ul e d a us ar e n e gl i e se rc iz i e p e r se le zi on ar e n e i li b ri c on si gl ia ti l e p ar ti s vo lt e . M au ri zi o S pu ri o

7

L ’e sa m e … •C on si st e i n un (s e m pl ic e s cr it to ) co n vo to i n 3 0 m i. •L ’is cr iz io ne a gl i e sa m i è O B BL IG A T O R IA : b as ta u n m ai l a sp ur io @ b o. in fn .it •U n vo to s uf fi ci e nt e p e rm e tt e d i e ss e re a m m e ss i al l’e sa m e o ra le . •I l vo to d e ll o sc ri tt o no n co nd iz io na I N N E G A T IV O i l vo to f in al e (c on 1 8 a ll o sc ri tt o si p uò a ve re 3 0 e l od e ) •L a d ur at a d e ll ’o ra le è i nv e rs am e nt e p ro po rz io na le a l vo to d e ll o sc ri tt o. •D op o d ue s cr it ti i ns uf fi ci e nt i, s i pu ò so st e ne re l ’o ra le . T ut ta vi a, l a pr ob ab il it à d i pr e nd e re u n vo to > 18 è p ic co la . •L a va li d it à d e gl i sc ri tt i è d i d ue s e ss io ni . •I l vo to d e ll o sc ri tt o co n cu i si p ar te ci pa a ll ’o ra le è c om un qu e i l m ig li or e t ra i v ot i co ns e gu it i. • A lt re d om an d e ? • In fi ne , po ss ib il it à d i T IR O C IN I d a sv ol ge re p re ss o il D ip ar ti m e nt o d i F is ic a.

8

1 . M is ur ar e ogge tt i S is te m i d i ri fe ri m en to : ne ce ss ar i pe r lo ca li zz ar e u n e ve nt o ne ll o sp az io e n e l te m po •m is ur ar e u n se gm e nt o si gn if ic a ad ot ta re u na p ro ce d ur a d i m is ur a, u ti li zz an d o un a gr an d e zz a om og en ea d a co nf ro nt ar e

M is ur e d i se gm e nt i e d is ta nz e : il M E T R O

G e ne ra lm e nt e , ut il iz ze re m o un S i st e m a d i R if e ri m e nt o C ar te si an o O rt og on al e ( S iR C O ). U n e ve nt o e ’ l oc al iz za to c on l e c oo rd in at e : (x ,y ,z ,t )

9

M is ur e d i T e m po M is ur a d i un in te rv al lo d i te m po : si u ti li zz a un f e no m e no pe ri od ic o Il g io rn o so la re è s ta to u n b uo n ca m pi on e e p e r m ol to t e m po . T ut ta vi a, L a d ur at a d e l gi or no e ’ v ar ia b il e . 1 s = t em po n ec es sa ri o al l’a to m o d i

133

C s pe r ef fe tt ua re 9 .1 9 2 .6 3 1 .7 7 0 o sc ill az io ni

• D e fi ni zi on e d i ca m pi on e. R e qu is it i: • pr e ci so • ac ce ss ib il e • ri pr od uc ib il e • in va ri ab il e M e tr o C am pi on e (1 7 9 6 ) O gg i: S i ut il iz za no l e c on os ce nz e d e ll a F is ic a (q ua nt is ti ca , at om ic a, r e la ti vi tà … ) 1 m = l un gh ez za p er co rs a d al la l uc e in 1 /2 9 9 .7 9 2 .4 5 8 s

10

Il S is te m a In te rn az io na le - M is ur a d i M as sa : il K g E si st e u n ca m pi on e d i m as sa ( 1 kg ), u n ci li nd ro d i pl at in o- ir id io co ns e rv at o pr e ss o l’U ff ic io I nt . Pe si e M is ur e d i S e vr e s O gg i, s i pr e fe ri sc e u ti li zz ar e c om e c am pi on e l ’a to m o d i

12

C , il q ua le h a un a m as sa d i: m (

12

C ) = 1 .6 6 6 0 5 4 0 2 1 0

-27

kg - M is ur a d i T e m pe ra tu ra : il K e lv in ( K ) - M is ur a d i C ar ic a E le tt ri ca : I l C ou lo m b (C )* - M is ur a d i qu an ti tà d i so st an za : la m ol e ( m ol ) - M is ur a d i in te ns it à lu m in os a: l a ca nd e la (c d )

(C ap . 11 ) *n ot a:

il realtà il C nel SI è recentemente divenuta grandezza derivatadall’Ampere. Per semplicità didattica, considero l’Ampere derivato dal Coulomb, enon viceversa.

11

2 - G ra nd ez ze s ca la ri e v et to ri al i L a po si zi on e d i un c or po i n un S iR C O è d e fi ni ta d a un a te rn a d i gr an d e zz e ( x ,y ,z ). L e g ra nd e zz e c h e , co m e l a po si zi on e , h an no b is og no d i 3 n um e ri p e r e ss e re d e fi ni te , so no c h ia m at e ve tt or i . In m an ie ra a na lo ga , un v e tt or e p uò e ss e re d e fi ni to d a (v e d i e se m pi o a la to ): • un m od ul o (o i nt e ns it à • d al la s ua d ir e zi on e • d a un v e rs o Il te m po è i nv e ce u na g ra nd e zz a sc al ar e: si i nd ic a co n il c ar at te re n or m al e : t

U na g ra nd e zz a v e tt or ia le v ie ne

→

se m pr e i nd ic at a in gr as se tt o o co n la f re cc ia : v , v Il m od ul o d e l ve tt or e v ie ne i nd ic at o se nz a fr e cc ia !

12

S om m a d i ve tt or i S i pu ò an d ar e d al la p ar te nz a al l’a rr iv o si a co n un u ni co st ep , si a co n d ue (o p iù ) Q ue st a op e ra zi on e e ’ l a so m m a ve tt or ia le d i d ue v e tt or i. Pe r la s om m a d e i ve tt or i si us a gr af ic am e nt e l a re go la d el pa ra lle lo gr am m a . M ol ti pl ic az io ne d i un o sc al ar e k p e r un v e tt or e V : E ’ u na g ra nd e zz a ve tt or ia le , co n la s te ss a d ir e zi on e e v e rs o co nc or d e (s e k >0 ) d e l ve tt or e , e m od ul o pa ri a l pr od ot to k V .

E se rc iz io 2 .1 : M o st ra re c o m e d e vo n o e ss e re i v e tt o ri a e b p e rc h é i) a + b = 2 a i i) a + b = a iii ) a + b = 0 E se rc iz io 2 .2 : m o st ra re c h e s e k = -1 l a d ir e zi o n e d e l ve tt o re s i in ve rt e

13

V e rs or i U na v ol ta s ce lt o un o S iR C O , ci as cu n ve tt or e sp os ta m e nt o pu ò e ss e re c os tr ui to c on t re co m po ne nt i su gl i as si o rt og on al i: a = a

1

+ a

2

+ a

3

a = a

x

i+ a

y

j + a

z

k

Esempio di scomposizione sulle componenti sugli assi x e y

I versori unitari

E se rc iz io 2 .3 : m o st ra re c h e s e c = a + b , a llo ra : c

x

= a

x

+ b

x

, c

y

= a

y

+ b

y

, c

z

= a

z

+ b

z

14

Pr od ot to S ca la re t ra v e tt or i D at i i ve tt or i a e b : a = a

x

i+ a

y

j + a

z

k b = b

x

i+ b

y

j + b

z

k S i d e fi ni sc e pr od ot to s ca la re t ra v et to ri la g ra nd e zz a sc al ar e : a ⋅⋅⋅⋅ b = a b c os φ E se rc iz io 2 .3 : m o st ra re c h e : a

⋅⋅⋅⋅

b = a

x

b

x

+ a

y

b

y

+ a

z

b

z

Il p ro d ot to s ca la re (i l pu nt in o è o b b li ga to ri o! ) è u na o pe ra zi on e m ol to im po rt an te i n F is ic a; in fa tt i, m ol te g ra nd e zz e v e tt or ia li ( sp os ta m e nt o, ve lo ci tà , fo rz a… ) si c om b in an o tr a lo ro p e r fo rm ar e a lt re gr an de zz e sc al ar i tr am it e i l pr od ot to s ca la re . Il p ro to ti po d i qu e st e è i l la vo ro (d im e ns io na lm e nt e , F

⋅⋅⋅⋅

s)

15

D at i i ve tt or i a e b : a = a

x

i+ a

y

j + a

z

k ; b = b

x

i+ b

y

j + b

z

k

Pr od ot to v e tt or ia le t ra v e tt or i S i d e fi ni sc e pr od ot to v et to ri al e tr a ve tt or i la gr an d e zz a ve tt or ia le : c = a ×××× b • il m od ul o e ’: a b s in φ • la d ir e zi on e è p e rp e nd ic ol ar e a l pi an o co nt e ne nt e a e b ; • il ve rs o è d at o d al la r e go la d e ll a m an o d e st ra . E se rc iz io 2 .4 : m o st ra re c h e :

a ××××b= (aybz-azby) i+ (azbx-axbz) j+

(a

x

b

y

- a

y

b

x

)

k

16

I ve tt or i e l e l eg gi d e lla f is ic a S up po ni am o d i av e re d ue o ss e rv at or i, c ia sc un o co n il s uo S iR C O . N e i d ue s is te m i, i v e tt or i a e b av ra nn o d if fe re nt i co m po ne nt i; t ut ta vi a, l e op e ra zi on i d i so m m a , pr od ot to s ca la re e pr od ot to ve tt or ia le tr a ve tt or i ri m an go no i m m ut at e . O gn i vo lt a ch e h o e sp re ss o un a le gg e i n fo rm a ve tt or ia le , no n h o b is og no d i ve ri fi ca re s e l a le gg e r e st a im m ut at a se i o tr as lo

(=sposto l’origine del SiRCO

) o ru ot o il S iR C O . E se rc iz io 2 .5 : m o st ra re c h e s e

a= ax+ ayallora a= (a’x+ a’y) con: a’x= (axcosφφφφ+ aysinφφφφ) ) ) ) a’y= (axsinφφφφ-aycosφφφφ))))

E se rc iz io 2 .6 : m o st ra re c h e s e

a ⋅⋅⋅⋅b= axbx+ayby+az bz Allora è anche: a ⋅⋅⋅⋅b= a’xb’x+a’yb’y+a’z b’z

17

3 - C in em at ic a d el p un to U n pu nt o m at e ri al e è l oc al iz za to d al ve tt or e p os iz io ne r U na v ar ia zi on e d i po si zi on e s i d e fi ni sc e sp os ta m e nt o e v ie ne i nd ic at a d a ∆∆∆∆ r = r

2

-r

1

S i d e fi ni sc e l ’in si e m e d e i pu nt i ne ll o sp az io t oc ca ti d al p un to i n is ta nt i d i te m po s uc ce ss iv i tr ai et to ri a d e ll a pa rt ic e ll a.

18

V ar ia zi on e d e lla p os iz io ne S i d e fi ni sc e v e lo ci tà m e d ia i l ra pp or to t ra l o sp os ta m e nt o d e ll a pa rt ic e ll a e l a d ur at a ∆ t d e ll ’in te rv al lo i n cu i av vi e ne . N e l ca so i n cu i l’i nt e rv al lo d i te m po s ia i nf in it e si m o (d t) , la d ir e zi on e d e ll o sp os ta m e nt o ∆∆∆∆ r →→→→ d r co in ci d e c on l a ta ng en te al la t ra ie tt or ia .

19

V e lo ci tà S i d e fi ni sc e v e lo ci tà (o v e lo ci tà i st an ta ne a) il r ap po rt o: d t r d v

r r = L a ve lo ci tà d i un a pa rt ic e ll a h a se m pr e l a d ir e zi on e d e ll a ta ng e nt e a ll a cu rv a ch e r ap pr e se nt a la t ra ie tt or ia . S e l a tr ai e tt or ia è d at a in f or m a pa ra m e tr ic a d e l te m po c om e : r = x (t )i + y (t ) j + z (t )k (q u es ta e q u a zi o n e si c h ia m a l eg g e o ra ri a ) al lo ra l e c om po ne nt i d e ll a ve lo ci ta ’ s on o: d t

d z v d t

d y v d t

d x v

zyx

= = = ; ; E se rc iz io 3 .1 . C a lc o la re l e c o m p o n e n ti d e lla v e lo ci tà se : r = k t i - b t

2

j. E se rc iz io 3 .2 . D is e g n a te l a

traiettoria

d e lla p a rt ic e lla d e ll’ e s. 3 .1

(k=4, b=1)

L a ve lo ci tà e ’ u na g ra nd e zz a le c ui d im e ns io ni s on o [s pa zi o] /[ te m po ]. N e l S .I . si m is ur a in m /s

20

A cc e le ra zi on e S i d e fi ni sc e a cc e le ra zi on e d i un c or po i l ra pp or to :

2

2

d t r d d t v d a

r r r = = L a ac ce le ra zi on e d i un a pa rt ic e ll a ra pp re se nt a la v ar ia zi on e d i ve lo ci tà a l va ri ar e d e l te m po . E se rc iz io 3 .2 . C a lc o la re l e c o m p o n e n ti d e lla a cc e le ra zi o n e se : r = k t i - b t

2

j.

L ’a cc e le ra zi on e e ’ u na g ra nd e zz a le c ui d im e ns io ni s on o [s pa zi o] /[ te m po

2

]. N e l S .I . si m is ur a in m /s

2

L ’a cc e le ra zi on e è u na g ra nd e zz a m ol to i m po rt an te . M os tr e re m o ch e il m ot o d i un c or po (= l e gg e o ra ri a! ) è n ot o se è n ot a l’a cc e le ra zi on e . In a lt ri t e rm in i: c on os ci a pe r co no sc e re i l m ot o!

21

Il p ro b le m a d ir e tt o d e lla c in e m at ic a: d al la tr ai e tt or ia a ll’ ac ce le ra zi on e S pe ri m en ta lm en te , è p os si b il e c on os ce re l a tr ai e tt or ia d i un o gg e tt o la nc ia to d a un ca nn on e : y= -α x

2

+β x (v e d i fi gu ra ). S ie te i n gr ad o d i ri ca va re v e lo ci tà e d a cc e le ra zi on e ? R is po st a : si .

Occorre dapprima scrivere la legge oraria (parametrizzare le coordinate in funzione del tempo): x(t) = voxt y(t) = ½ gt2 +voyt z(t) = 0 (sostituite per determinarevox,voy,g da αe β) Troverete così che il moto lungo l’asse x avviene a velocità costante e senza accelerazione (moto rettilineo uniforme), mentre lungo l’asse delle y avviene con velocità che aumenta linearmente col tempo, ed accelerazionecostante (moto uniformemente accelerato).

I d ue m ot i so no in d ip en d en ti l’ un o d al l’a lt ro

22

Il p ro b le m a in ve rs o: d al la a cc e le ra zi on e al la t ra ie tt or ia .

U na v ol ta n ot a la t ra ie tt or ia , si p os so no r ic av ar e d al la d e fi ni zi on e ve lo ci tà e d a cc e le ra zi on e d e l co rp o in m ov im e nt o. N e l no st ro c as o: g d t t d v a v g t d t t d y v

d t

t d v a v d t

t d x v

y yyoy

x xxox

= = + = =

= = = = ) ( ; ) (

0 ) ( ; ) ( Il p un to f on d am e nt al e s ar à ch e a vr e m o un a le gg e c h e ci p e rm e tt e rà d i co no sc e re l ’a cc e le ra zi on e d i un c or po n ot e l e s ue in te ra zi on i co n gl i al tr i co rp i. I n ta l ca so , si p ot rà r is ol ve re i l pr ob le m a in ve rs o d e ll a ci ne m at ic a: o ss ia p ot re m o ri sa li re d al le in te ra zi on i tr a co rp i al m ot o d e i co rp i st e ss i. S e c on os ci am o le i nt e ra zi on i, p ot re m o la nc ia re sa te ll it i, f ar m uo ve re c om e v og li am o gl i e le tt ro ni n e i tu b i ca to d ic i d e ll a T V …

23

4 . Le l egg i d el la D in am ic a

Tutti conoscono il concetto antropomorfico di sforzo muscolare, che è un descrittore (NON una grandezza fisica) di una sensazione comune. Troveremo che dovremo applicare uno sforzo muscolare per vincere una forza che può essere di varia natura (gravitazionale, elettrica…) Dobbiamo trovare un procedimento operativocon cui esprimere questo nuovo concetto. Lo strumento che ci permette di essere quantitativi è il dinamometro (D). Noi dobbiamo esercitare uno sforzo per sollevare un cocomero. La molla del (D) si allunga di una quantità ∆l. Dobbiamo esercitare uno sforzo doppio per sollevare due cocomeri: la molla del (D) si allungherà di 2∆l. Attenzione: dovremo

cu ra re

le proprietà dello strumento (linearità).

24

Il d in am om e tr o e l a fo rz a

Vi è corrispondenza tra lo sforzo e la forza esercitata.Lo strumento è

lin ea re

Quando notiamo che vi è una variazione di velocità su un corpo, possiamo affermare che su questo si è esercitata una forza Lo strumento che utilizziamo per misurare le forze è il dinamometro. La forza è una grandezza vettoriale: infatti, la somma di due forze dà come risultato una forza il cui modulo,direzione e verso è dato dallasomma dei vettori.

25

N at ur a ve tt or ia le d e lla F or za

E’ anche questa una osservazione di carattere sperimentale. Forze con diverse direzioni: Forze con la stessa direzione Risultante delle forze con la regola del parallelogramma

26

L a m as sa e l a II L e gg e d e lla D in am ic a

Sperimentalmente, si è osservato che se viene applicata una forza, su un corpo si produce una accelerazione (l’osservazione proviene da Galileo).

a F ∝

Newton fissò il coefficiente di proporzionalità, che dipende da unaproprietà del corpo soggetto alla forza: la suamassa.

a m F r r =

Seconda legge di Newton. La forza (misurabile con un dinamometro) agente su un punto materiale è proporzionale all’accelerazione prodotta tramite un coefficiente che è la massa del punto materiale. Tale relazione esprime una legge, che lega grandezze fisiche diverse (Fe a). Poiché l’unità di massa è fissata, e l’accelerazione è definita,la II Legge di N. permette di

d ef in ir e

l’unità di forza: Se un oggetto di massa 1 kg subisce una accelerazione di 1 m/s2 , su di esso si esercita una forza pari a 1 Newton (N). 1 N= 1 kg ms-2 . Le dimensioni della Forza sono:

[F or za ] = [ M LT

-2

].

27

L a pr im a le gg e d e lla D in am ic a

Esistono delle situazioni in cui la II Legge di Newton sembra falsa: Ad es, su di una giostra rotante un oggetto non “ancorato” inizia a muoversi, senza che apparentemente vi sia una forza esercitata. Newton si rese conto di questo nella sua I legge: Prima legge di Newton. Se su un corpo non agisce nessuna forza, la velocità del corpo non può cambiare, ossia il corpo non accelera. Come corollario, ne consegue che la II leggeNONè valida in tutti i sistemi di riferimento (ad es. su una giostra). I sistemi di riferimentoin cui è verificata la I legge della Dinamicasi chiamano

si st em i d i ri fe ri m en to in er zi al i (S R I).

La giostra non costituisce un SRI. Qual è un SRI è un problema di natura sperimentale, e dipende dal grado di precisione con cui si devono risolvere i problemi.

E se rc iz io 4 .1 .

La terra è un sistema di riferimento inerziale?

E se rc iz io 4 .2 . S a p re st e f a r ve d e re c h e s e c o n o sc e te U N S R I, a llo ra n e c o n o sc e te in fi n it i?

28

5 - A lc un i es em pi d i fo rz e 5 .1 f or za p e so

Noi abbiamo esperienza del fatto che, se lasciamo un corpo ad una certa altezza, esso cade. Sul corpo agisce una forza, che è la forza gravitazionale(di cui discuteremo in seguito). In prossimità della terra, qualunque corpo (se trascuriamo

l’a tt ri to

), cade con la stessa accelerazione, ossia è soggetto a una forza costante lungo la verticale che si chiama forza peso:

F = m g

Attenzione 1: il peso è una forza, e si misura in Newton, la massa si misurain kg! Attenzione 2: con la forza peso, conviene far coincidere uno degli assi di un SiRCO con la verticale. In tal caso, si possono omettere anche i simboli di vettore!

29

Se appoggiate un oggetto su un tavolo, su di esso agisce la forza peso, ma l’oggetto

no n ca de

! Questo avviene perché la superficie del tavolo spinge il corpo con una forza

N ,

esattamente contraria al peso. (La superficie,anche se apparentemente rigida, si deforma. Sono forze elettrichetra i microscopici costituenti della materia che reagiscono al peso)

L a II I le gg e d e lla d in am ic a

Terza legge di Newton (azione e reazione). Quando due corpi interagiscono, le forze esercitate da un corpo sull’altro sono uguali in moduloe direzione, ma verso opposto. Impareremo che le forze possono esercitarsi non solo quando vi sia un

co nt at to

, ma anche con azione a distanza (forze gravitazionali, elettriche…). Anche in tal caso si applica la terza legge

30

E se m pi o: i l m ot o d e i pr oi e tt il i

Studiamo il moto di un proiettile, sottoposto alla forza peso F=-mg lungo l’asse delle y. Esso e’ lanciato con velocità vo= 330 km/h dall’origine del SiRCO ad un angolo θ o= 60o rispetto l’orizzonte. Determinare la

gi tt at a

R e la sua massima altezza. Risoluzione: occorre dapprima scrivere le equazioni del moto:

F

x

= m d v

x

/d t= 0 v

x

(t )= v

0x

x (t )= v

0x

t F

y

= m d v

y

/d t= - m g v

y

(t )= - g t + v

0y

y (t )= - ½ g t

2

+ v

0y

t

La gittata R e la massima altezza possono essere determinate ricavando la traiettoria del corpo (

un a pa ra b ol a

):

y (x )= - ½ (g /v

2 0x

)x

2

+ ( v

0y/

v

0x

)x

e richiedendo che intersechi l’asse y=0. La massima altezza comesi può determinare?

31

5 .2 L ’a tt ri to

La nostra esperienza quotidiana è

co nt am in at a

dallaforza di attrito, •sia quando trasciniamo un oggetto appoggiato su una superficie (attrito dinamico) •sia quando lasciamo cadere un oggetto leggero in aria (resistenza del mezzo).Un particolare di cosa avviene a livello quasi microscopico tra due materiali in contatto, da cui si origina la forza di attrito In presenza di attrito, oggetti diversi possono avere velocità diverse!

1-Attrito dinamico:il modulo della forza viene parametrizzato dalla formula: F= µN dove N è la componente normale della forza, e µun coefficiente che dipende dai materiali in contatto 2-Resistenza del mezzo: il modulo della forza viene parametrizzato dalla formula: F=ηv Dove v èla velocitàdel corpo, ηèun coefficiente.

32

L a ve lo ci tà d i ca d ut a li m it e E se rc iz io 5 .1 .

Calcolare la massima velocità raggiunta da un oggetto (goccia di pioggia, paracadutista) con coefficiente ηin caduta libera.

v m g d t

d v m F η − = ≡ v m g d t

d v η − =

ite m t

t m

v g e g t v

lim

1 ) ( = →         − =

>>

−

η η

η

η

Equazione del moto dalla II legge della dinamica Equazione differenziale da risolvere per separazione delle variabili Soluzione

E se rc iz io 5 .2 .

Cosa succede se η=0?

y dt

dym v mg dt

v mgd m =⇒−=−

η η η η

)(

d t m y d y η =

33

5 .3 L a fo rz a e la st ic a

In Natura molte situazioni possono essere assimilate alla forza di richiamo di una molla. Se si sposta dalla posizione di riposo una molla di una quantità x, questa esercita una

fo rz a d i ri ch ia m o

che viene parametrizzata da:

F = - k x ( le g g e d i H o o k e) E se rc iz io 5 .3 .

Descrivere il moto di un oggetto materiale allontanato di x 0dall’equilibrio e soggetto ad una forza di richiamo elastica,

tr as cu ra nd o l’a tt ri to

. Soluzione: scriviamo l’equazione del moto:

kx d t x d m − =

2

2

( ) m k co n , t co s x x (t )

o

= = ϖ ϖ

La funzione che soddisfa questa equazione è:

34

5 .4 I l m ot o ci rc ol ar e u ni fo rm e

Un moto si chiama circolare uniforme, se archi di circonferenza θ della stessa grandezza, vengono spazzati in tempi uguali (ossia, con velocità in modulo costante). Quindi, per definizione dθθθθ////dt = cost = ωωωω In Natura molte situazioni sono equiparabili a questo moto (i pianeti attorno al Sole, gli elettroni negli atomi). Nel caso della Figura, le componenti del moto sono descritte dalle eq:

x (t ) = r c o sθθθθ ((((t )))) y (t ) = r s in θθθθ(((( t))))

Nel Moto circolare uniforme, la velocità cambia istantaneamente di direzione, ed è sempre perpendicolare al raggio.

E se rc iz io 5 .5

Mostrare l’affermazione precedente Poiché vi è variazione di velocità, vi e’ accelerazione!! Ossia, deveesserci una forza che deflette continuamente il vettore v

E se rc iz io 5 .4 :

Come scrivereste le coordinate del vettorer’ ruotato di +90o(senso antiorario) rispetto adr?

r’ θθθθ

35

A cc e le ra zi on e n e l M ot o C ir co la re U ni fo rm e t) co s( r (t ) v

t) se n ( r (t ) v

x

ϖ ϖ ϖ ϖ = − =

y

y t) se n ( r (t ) a

x t) co s( r (t ) a

22 y

22 x

ϖ ϖ ϖ ϖ ϖ ϖ − = − = − = − =

Nel moto circolare uniforme, deve esistere una accelerazione che continuamente

de fl et te

il moto. L’accelerazione deve essere radiale, verso il centro e di modulo:

a = rωωωω

2

= v

2

/r

L’accelerazione sarà dovuta ad una forza esterna. Questa forza si chiama

ce nt ri pe ta

, e sarà dovuta a qualche fenomeno fisico (ad es. l’attrazione tra pianeti, o la forza elettrostatica attrattiva tra protoni ed elettroni). Poiché la particella non cade nel centro, la forza centripeta è esattamente controbilanciata dalla forza centrifuga, di modulo pari a

F

C

= m rωωωω

2

= m v

2

/r

In altri termini, si ha un moto circolare uniforme qualora una forza centrale (gravitazionale, Coulombiana) venga esattamente bilanciata dalla forza centrifuga. In seguito: moto di pianeti, atomo…

36

6 . Il l av or o, l ’e ne rg ia c in et ic a e l’e ne rg ia p ot en zi al e •D i se gu it o, d e fi ni re m o al cu ne n uo ve g ra nd e zz e f is ic h e s ca la ri : il la vo ro , l’e ne rg ia c in et ic a e l’e ne rg ia p ot en zi al e. •(I l la vo ro è l ’in te gr al e s u un p e rc or so , d e l pr od ot to s ca la re t ra l a fo rz a e u no s po st am e nt o in fi ni te si m o su l pe rc or so .) •T ro ve re m o ch e , gr az ie a ll a II l e gg e d i N e w to n, p ot re m o ca lc ol ar e il l av or o d i un a fo rz a tr a d ue p un ti n e ll o sp az io , co m e l a va ri az io ne d i e ne rg ia c in e ti ca tr a i d ue p un ti . •I nf in e t ro ve re m o ch e , pe r al cu ne f or ze d e tt e c on se rv at iv e , il la vo ro n on d ip en d e d al ( pe rc or so ) ca m m in o sc el to . • In q ue st o ca so , è d e fi ni ta u na n uo va g ra nd e zz a ( l’e ne rg ia po te nz ia le ) ch e d ip e nd e d ai s ol i pu nt i d i ar ri vo e p ar te nz a. •N e l ca so d e ll e f or ze c on se rv at iv e , la s om m a d i l’e ne rg ia c in et ic a e l’e ne rg ia p ot en zi al e (= en er gi a) so no c os ta nt i d e l m ot o (o ss ia , l’e ne rg ia è l a st e ss a in t ut ti i p un ti d e l pe rc or so ).

37

Il L av or o d i un a fo rz a 1- S up po ni am o d i co no sc e re l a fo rz a F in t ut ti i p un ti d i un a re gi on e d i sp az io ( =c am po d i fo rz e ) F = F (r ) , F = F (x ,y ,z )

→→

⋅ ≡ ∫ s d F L

B A

Po ss ia m o D E F IN IR E un a nu ov a gr an d e zz a fi si ca , co m e l ’in te gr al e d e l pr od ot to s ca la re tr a la f or za e d u n el em en to i nf in it es im o d i cu rv a . L ’in te gr al e è s e m pr e ca lc ol ab ile , e d i l ri su lt at o è u no sc al ar e

2 - C on si d e ri am o un a cu rv a ne ll o sp az io ch e c on ne tt a i pu nt i A e B L a nu ov a gr an d e zz a si c h ia m a la vo ro , e si m is ur a in ( N e w to n • M e tr o) = J ou le

38

C as i se m pl ic i: s po st am e nt o un id im e ns io na le e … s 4 - L av or o sv ol to d al la F or za p e so F

g

=m g: N e l se co nd o ca so s po st o la m as sa m ve rs o l’a lt o pe r un t ra tt o lu ng o h : L= m gh (c os 1 8 0

o

)= - m gh N e l pr im o ca so , la m as sa m v ie ne s pi nt a ve rs o il b as so : L= m gh (c os 0

o

)= + m gh

h h

m g E s. 6 .1 - C os a su cc e d e s e m i sp os to d i h i n or iz zo nt al e ?

1 - F or za c os ta nt e e p ar al le la a ll o sp os ta m e nt o [c as o (d ) in f ig .] 2 - F or za c os ta nt e e n or m al e a ll o sp os ta m e nt o [( b ) in f ig .] 3 - F or za c os ta nt e a d a ng ol o fi ss o ri sp e tt o al lo s po st am e nt o [c as i (a ,c ) i n fi gu ra ] I II

39

L av or o d e lla f or za e la st ic a

22

2 1 2 1 ) ( kx kx s d ks s d F L

o

x x

B Ao

− = ⋅ − → ⋅ ≡ ∫ ∫

→→

A ll on ta ni am o un b lo cc o (f is sa to c on u na m ol la ) d al la p os iz io ne d i e qu il ib ri o (f or za n e ga ti va su ll ’a ss e x , sp os ta m e nt o po si ti vo s ul l’a ss e x ): O cc or re f or ni re u n la vo ro d al l’e st e rn o pe r al lo nt an ar e i l b lo cc o d al la po si zi on e d i ri po so . Il l av or o è ne ga ti vo se c om pi ut o su ll a m ol la . In g e ne ra le , il la vo ro è u na g ra nd e zz a fi si ca ( nu m e ro !) ch e è se m pr e ca lc ol ab ile se l a fo rz a è n ot a (p ot ra nn o e ve nt ua lm e nt e e ss e rc i pr ob le m i d i ca lc ol o) . Pu ò su cc e d e re c h e i l nu m e ro s ia d if fe re nt e se i l pe rc or so s ce lt o è d if fe re nt e . E s. 6 .2 - C os a su cc e d e s e s po st o il b lo cc o, co m pr im e nd o la m ol la ?

40

E ne rg ia c in et ic a (T eo re m a d el le f or ze v iv e) = ⋅ = ⋅ ≡

→→ →→

∫ ∫ s d d t v d m s d F L

B A

B A

2 A2 B

m v 2

1 m v 2

1 −

In v ir tù d e ll a II L e gg e d i N e w to n F = m a , i l la vo ro h a un a im po rt an te pr op ri e tà : 2 m v 2 1 T ≡ al lo ra i l la vo ro co m pi ut o d al la r is ul ta nt e d e ll e f or ze a ge nt i su u n pu nt o m at e ri al e d a “A ” a “B” è u gu al e a ll a d if fe re nz a tr a l’ en er gi a ci ne ti ca po ss e d ut a d al p un to n e ll a po si zi on e f in al e e d i n qu e ll a in iz ia le : L = T

B

-T

A

S e d ef in ia m o en er gi a ci ne ti ca la g ra nd e zz a:

41

L a po te nz a U n la vo ro p uò e ss e re s vo lt o in p iù o m e no t e m po . Pe r m ol ti s co pi qu e st o as pe tt o è i m po rt an te . L a “r ap id it à” c on l a qu al e v ie ne e se gu it o un l av or o si c h ia m a po te nz a P : v F d t

s d F d t

d L P r r r r ⋅ = ⋅ = ≡ ) (

•Una forza non compie lavoro se la forza è perpendicolare allo spostamento (ovvero, forza e velocità ortogonali). •P>0 se la forza e lo spostamento sono concordi: la forza esercita un lavoro •P<0 se forza e spostamento sono discordi: occorre esercitare unlavoro esterno sul corpo per muoverlo contro la forza in questione.

L a po te nz a ne l S I si m is ur a in J ou le /s . Po ic h é è u na u ni tà m ol to co m un e : 1 W at t = 1 j ou le /s

42

7 . Le gge d el la c on se rv az io ne d el l’En er gi a S up po ne nd o d i sp os ta re i l pu nt o m at e ri al e d al la p os iz io ne P

1

a P

2

su d iv e rs i pe rc or si , tr ov ia m o ch e p e r al cu ni c am pi d i fo rz e il la vo ro N O N d ip e nd e d al p e rc or so s ce lt o. In q ue st o ca so , la f or za e ’ d e tt a co ns er va ti va . In c as o co nt ra ri o, i l ca m po è n on c on se rv at iv o E se m pi : •F or za p es o, F

z

= m g •F or za d i ti po c e nt ra le , •F or za d i at tr it o •F

x

= x y ; F

y

= y ; F

z

= 0

2

r

r k F

∧ →

=

In a lt ri t e rm in i, i l la vo ro c om pl e ss iv o sv ol to d a un a fo rz a co ns e rv at iv a su u na p ar ti ce ll a ch e s i m uo ve s u un p e rc or so c h iu so è z e ro . C as o im po rt an te !

F or ze co ns er va ti ve e no n

43

E ne rg ia P ot en zi al e S e S e (e s ol o se ) il ca m po d i fo rz e è co ns er va ti vo , al lo ra è p os si b il e d e fi ni re u na f un zi on e s ca la re d e ll a so la p os iz io ne , l’ E ne rg ia P ot en zi al e U (r ). Il l av or o d e ll a fo rz a d ip e nd e s ol o d al la v ar ia zi on e d e i va lo ri d e ll a fu nz io ne U (r ) tr a i pu nt i in iz ia le e f in al e . E se m pi : •F or za p es o, U = m gz •F or za d i ti po c e nt ra le , r k U 1 − =

[ ] U A U B U s d F L

B A

∆ − = − − ≡ ⋅ =

→→

∫ ) ( ) (

44

E ne rg ia M e cc an ic a

• In g e ne ra le , la f un zi on e en er gi a po te nz ia le U (r ) d e ve e ss e re d e te rm in at a pr ob le m a pe r pr ob le m a ! •S e t ie ne f is sa l a po si zi on e d i pa rt e nz a (a d e s. , ne ll ’o ri gi ne d e l S iR C O o ad u na d is ta nz a ∞ d al l’o ri gi ne ), l a fu nz io ne e ne rg ia p ot en zi al e d ip en d e so lo d al p un to d i ar ri vo . • In t al c as o, U (r ) è d e fi ni ta a m e no d i un a co st an te a d d it iv a (a rb it ra ri e tà d e ll a po si zi on e d i pa rt e nz a). D e fi ni am o en er gi a m ec ca ni ca E la s om m a d i e ne rg ia ci ne ti ca T e d e ne rg ia p ot e nz ia le U : E = T + U -L ’e ne rg ia t ot al e E d i un s is te m a pu ò va ri ar e s ol o se v ie ne t ra sf e ri ta en er gi a d al ( al ) d i fu or i d e l si st e m a. S e q ue st o no n pu ò av ve ni re , il si st e m a si c h ia m a is ol at o . - In u n si st e m a is ol at o, l’e ne rg ia m ec ca ni ca s i co ns er va .

45

L e gg e d i co ns e rv az io ne d e ll’ e ne rg ia m e cc an ic a 1. T e or e m a d el le f or ze v iv e : il la vo ro s vo lto d al le f or ze eg ua gl ia l a va ri az io ne d i e ne rg ia ci ne ti ca : L = T

2

-T

1

2 . S e il c am po d i fo rz e è co ns er va ti vo , L = U

1

-U

2

3 . al lo ra l a qu an ti tà : E ≡ U

2

+ T

2

= U

1

+ T

1

ri m an e c os ta nt e lu ng o tu tta l a tr ai e tto ri a d el m oto -L a le gg e d e ll a co ns e rv az io ne d e ll ’e ne rg ia m e cc an ic a è m ol to i m po rt an te e v e rr à ge ne ra li zz at a. - E ’ u na l e gg e p re d it ti va ( po ss ia m o ri ca va re i nf or m az io ni ) E s. 7 .1 – A q ua le v e lo ci tà d e ve e ss e re s pa ra to u n ra zz o su ll a su pe rf ic ie te rr e st re i n m od o ch e r ie sc a a fu gg ir e a ll ’a tt ra zi on e d e ll a T e rr a?

o N

!

46

8 . S is te m i d i pu nt i, q ua nt it à d i m ot o e ur ti C om e s i m uo ve u n “i ns ie m e ” d i pu nt i? C os ’è u n “c or po r ig id o” ? O cc or re d e fi ni re i l ce nt ro d i m as sa . M os tr e re m o l’e qu az io ne c h e g ov e rn a il m ot o d e l ce nt ro d i m as sa C on si d e ri am o un i ns ie m e d i pu nt i in u n S iR C O . S i d e fi ni sc e C .M .

C en tr o d i M as sa ( C .M ) il p un to d i co or d : ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

== =

= =

=

≡ ≡ ≡

N ii

N iii mcN ii

N iii mcN ii

N iii mc

m z m z m y m y m x m x

1

1 .. 1

1 .. 1

1 ..

; ;

Il C.M. è un punto fittizio che può corrispondere a nessun punto reale.

∑ ∑

==

≡

N ii

N iii mc

m r m r

11 ..

r r

47

C or pi r igi d i U n C or po r ig id o è c om po st o d a co st it ue nt i la c ui d is ta nz a re la ti va n on c am b ia . L a d is ta nz a vi e ne m an te nu ta c os ta nt e d a F or ze I nt er ne . A nc h e p e r un c or po r ig id o pu ò e ss e re d e fi ni to i l C .M ., so st it ue nd o il d e no m in at or e c on l a m as sa M d e l co rp o, e d i l nu m e ra to re d a un ’in te gr al e .

(Un corpo rigido è costituito infatti da un numero così grande di punti che può essere considerato come una distribuzione continua di massa.)

E qu az io ne d el M oto p e r i C or pi R ig id i

mcnet

a M F

.

r r ⋅ = S om m a ve tto ri al e d i tu tte l e F or ze E st er ne .

A cc el e ra zi on e d el C .M . D im os tr az io ne : al la l av ag na .

48

Q ua nt it à d i m ot o S i d e fi ni sc e q ua nt it à d i m ot o d i un o gg e tt o la g ra nd e zz a: v m p r r ⋅ ≡ S i d e fi ni sc e q ua nt it à d i m ot o d i un s is te m a d i N pu nt i: ∑

=

⋅ ≡

N iii

v m p

1

r r L a qu an ti tà d i m oto è u na g ra nd e zz a fi si ca i m po rta nte . In fa tti , se s ul s is te m a d i pu nti no n ag is co no f or ze e ste rn e (m a so lo in te rn e) l a qu an ti tà d i m ot o d el s is te m a no n va ri a (s i c on se rv a) co st an te = p r

(sistema chiuso e isolato) extext

N i

i i

N iii

F F F d t

v d m v m d t

d d t

p d r r r r r r = + = ⋅ = ⋅ = ∑ ∑

==int 11

D im :

49

U rt i L a qu an ti tà d i m oto è u ti le p e r st ud ia re g li u rti .

Un urtoè un evento nel quale una forza agisce per un tempo relativamente breve, su ciascuno di due corpi in contatto.

Sistema chiusoe isolato

In u n si st e m a ch iu so e d is ol at o, l a qu an ti tà d i m ot o P re st a in va ri at a. S e n e ll ’u rt o tr a d ue c or pi l’e ne rg ia c in et ic a to ta le n on c am b ia , l’u rt o si ch ia m a el as ti co . N e gl i us ua li u rt i tr a og ge tt i co m un i, u na c e rt a po rz io ne d i e ne rg ia s i tr as fe ri sc e d a ci ne ti ca a d a lt re f or m e . In qu e st i ca si , l’u rt o si c h ia m a an el as ti co .

^f

fii

p p p p

,2,1,2,1

r r r r + = +

2 1

50

U rt i un i- d im e ns io na li U rt o e la st ic o U rt o co m pl e ta m e nt e a ne la st ic o

2 ,222 ,112 ,11

,22,11,11

2 1 2 1 0 2 1

0

ffi

ffi

v m v m v m

v m v m v m + = +

+ = +

ifif

v m m

m v v m m

m m v

,1 21

1 ,2,1 21

21 ,1

2 ; + = + − =

V m m v m

i

) ( 0

21,11

+ = +

i

v m m

m V

,1 21

1

) ( + =

51

E se m pi o: i l pe nd ol o b al is ti co E se rc iz io 8 .1 :

Il pendolo balistico era un dispositivo usato per misurare la velocità dei proiettili. Assumendo che la massa del legno in figura sia M=5.4 kg, quella del proiettile che si arresta nel blocco di legno m=9.5 g, e che il pendolo si sollevi per una distanza verticale di h=6.3 cm,

d et er m in ar e la v el oc it à d el p ro ie tt ile p ri m a d el la c ol lis io ne

.

R is ol uz io ne .

Occorre suddividere il problema in due parti: (1) l’urto completamente anelastico tra proiettile e legno, e (2) l’innalzamento del blocco contro la forza di gravità. Dopo l’urto, la velocità complessiva del blocco è V=mv/(m+M). Per innalzamento, l’energia cinetica del sistema [1/2 (m+M)V2 ] si trasforma in energia potenziale gravitazionale [(m+M)gh], da cui si ricava:

s m g h m

m M v / 6 3 0 2 = + =

52

9 . G ra nd ez ze a ng ol ar i - M om en to d i un a fo rz a –M om en to A ng ol ar e Po si zi on e a ng ol ar e : m is ur at a in r ad ia nt i θ= lu ng h e zz a ar co /r ag gi o= s/ r S po st am e nt o an go la re : ∆ θ = θ

1

–θ

2

V e lo ci tà a ng ol ar e: d t

d t

t

θ ϑ ϖ = ∆ ∆ =

→∆0

li m N e l ca so i n cu i la p os iz io ne a ng ol ar e v ar ia i n m od o co st an te ( s= rθ ), l a ve lo ci tà a ng ol ar e ω è c os ta nt e (m ot o ci rc ol ar e u ni fo rm e ). L a ve lo ci tà d e l pu nt o è s e m pl ic e m e nt e : v= d s/ d t = ωωωω r Il p er io d o è s e m pl ic e m e nt e : (l un gh e zz a ci rc on fe re nz a/ ve lo ci tà ) = 2π2π2π2π r/ v = 2π /ω 2π /ω 2π /ω 2π /ω

53

Perché si causi una

ro ta zi on e

, non solo è necessaria una forza, ma anche che sia

ap pl ic at a

in un punto conveniente.

D ef in ia m o il m om en to d el la f or za la g ra nd e zz a: F r r r r × = τ C on d iz io ne p e rc h é u n co rp o ve ng a m e ss o in r ot az io ne , è c h e v i si a un m om e nt o d e ll a fo rz a no n nu ll o.

Es. 9.1

M os tr ar e ch e ne l c as o d i un a fo rz a ce nt ra le , i l m om en to d el la f or za e ’ nu llo .

M om e nt o d i un a fo rz a

Empiricamente, sappiamo che è più semplice aprire una porta vicino alla maniglia, piuttosto che in prossimità dei cardini, anche con la stessa forza.

il m od ul o è τ= rF s in Φ , d ir e zi on e n or m al e a l pi an o d i r e F .

54

M om e nt o an go la re

Il concetto di quantità di moto, e la sua conservazione, ci consentono di

pr ev ed er e

gli effetti di una collisione, senza conoscerne la

d in am ic a

in dettaglio. La nuova grandezza che introduciamo (il momento angolare) è soggetto ad una analoga legge di conservazione. Consideriamo una particella con quantità di moto

p= m v. P os si am o d e fi ni re il m om e nt o an go la re (o m om e nt o d i p) : l = r × p V e tt or e o rt og on al e a l pi an o d i p e r , e d i m od ul o p r se n Φ M om e nt o an go la re d i un s is te m a d i pa rt ic e ll e ∑

=

= + + + =

,Nii

L

1

l l .. . l l l

32 1

r r r r r r

n

55

R e la zi on e t ra ττττ e l d t

d l r r = τ

T ra m om e nt o d e ll a fo rz a e m om e nt o an go la re , e si st e u na r e la zi on e a na lo ga al la I I le gg e d i N e w to n F =d p /d t D im os tr az io ne : . . . ) (

) 0 ( ) ( d v c a m r

a r m v d t

r d d t

v d r m d t

d τ r r r

r r r r r r r = × =

= + × = × + × = l os si a, u na v ar ia zi on e d e l m om e nt o an go la re i nd uc e u n m om e nt o d e ll a fo rz a, c h e p ro vo ca u na r ot az io ne d i un o gg e tt o (s is te m a) U n ca so i m po rt an te e ’ qu an d o la f or za e ’ d i ti po c en tr al e F = F (r ) In t al c as o in fa tt i, i l m om e nt o ττττ d e ll a fo rz a e ’ n ul lo , e q ui nd i: co st 0 = ⇒ = l l r r d t

d Il m om e nt o d e ll a qu an ti tà d i m ot o e ’ c os ta nt e in in te ns it à, d ir ez io ne e v er so .

56

S e i l m om e nt o ne tt o d e ll e f or ze a ge nt i su u n si st e m a è n ul lo , al lo ra s i h a d L /d t = 0 , o ss ia : L = co st an te

(sistema isolato) indipendentemente dai cambiamenti che intervengono all’interno del sistema. Per la natura vettoriale di τ τ τ τ , se una componente e’ nulla, allora la componente di l lungo quella direzione rimane costante, indipendentemente dalle altre.

C on se rv az io ne d e l m om e nt o an go la re

La conservazione del momento angolare ha importanti conseguenze anche in Astrofisica: una pulsar e’ oggetto di raggio R~ 10 km che rimanedopo la morte di una stella. Poiché le Stelle come il Sole (r sun=109 m,) ruotano (T sun=30 giorni), si ha:

m s s T T

r r

r m r m

Starpulsar

StarStar pulsar

star pulsar

pulsar pulsarStar Star

3. 0 1 0 3 1 0 1 0

1 0

1 0 ~

61010

2 492

22

= × ⋅ = =

 



 

   

   

 =

=

−−

ϖ ϖ ϖ

ϖ ϖ

57

1 0 . G ra vi ta zi on e U ni ve rs al e

Sinora, abbiamo parlato di grandezze

ci ne m at ic he

(velocità, accelerazione) e di grandezze

di na m ic he

(forze,..). Abbiamo trovato la relazione tra queste grandezze (Leggi di Newton, leggi di conservazione). Rimane una domanda:

C h e co sa o ri gi na l e fo rz e?

E’ questo il problema che deve risolvere la fisica; sino a poco tempo fa’ si conoscono 4 tipi di forze

fo nd am en ta li

: •Forza gravitazionale, originata dalle masse; •Forze elettromagnetiche, originate dalle cariche elettriche e dal loro moto; •Forze forti, all’interno dei protoni e neutroni, originate da

ca ri ch e di c ol or e

; •Forze deboli. A partire dagli anni ’70, si e’ compreso che le forze deboli e le forze elettro- magnetiche sono aspetti diversi dello stesso meccanismo, e le forze fondamentali si sono ridotte a 3. Tutti gli aspetti della fisicasono riconducibili (per ora) a questi 3 tipi di interazione fondamentali. L’Uomo per primo ha avuto esperienza coi fenomeni gravitazionali.

58

L a F or za G ra vi ta zi on al e .

In termini di fisica moderna, si pensa che una massa possa

d ef or m ar e la g eo m et ri a

dello spazio-tempo. Anche se matematicamente complicato, questo concetto ha una semplice rappresentazione nel caso bidimensionale! Tutto si basa sull’osservazione che le masse si attraggono! Non solo oggetti vengono attratti dalla Terra (caduta libera) ma anche la Luna e’ attratta (e cade!!) sulla Terra.

I. N ew to n

(1665) formulo’ la Legge di Gravitazione Universale:

) / ( 1 0 6 7 . 6 ˆ

2211 221

kg N m G r r m m G F

−

⋅ = = r

m1ed m2rappresentano le masse, rla distanza mentre Ge’ la costante Gravitazionale

59

G ra vi ta ’ s ul la s up e rf ic ie T e rr e st re

In realtà, la mela attrae la Terra così come la Terra attrae la mela (III Legge). Tuttavia, gli effetti sono più evidenti sulla mela, in quanto l’accelerazione(II legge) sulla mela e’ molto più grande, mentre e’ trascurabile per la terra. (La cosa difficile da mostrare, e’ che se la materia si distribuisce uniformemente a gusci, allora e’ come setutta la massa fosse concentrata nel suo centro. Newton invento’ il calcolo integrale per risolvere questo problema!)

Pe si am o la T e rr a.

Noi conosciamo gia’ che i corpi cadono in prossimita’ della superficie Terrestre con una accelerazione costante verso il basso: F=mg. E’ compatibile tale legge con la Legge di Gravitazione Universale? Supponiamo m2= massa terra, rT=6300 km:

kg G g r m r G m g

m g m r

G m h r

m m G F

T T T

T

T

T T

T 24 11

262 2

22

1 0 8. 5 1 0 6 7 . 6

) 1 0 3. 6( 8. 9

) ( ⋅ = ⋅ ⋅ × = = ⇒         =

=   

   

 ≈ + =

−

(Trascuriamo h rispetto a rT; la direzione sara’ sempre perpendicolare alla superficie terrestre)

60

L a ci ne m at ic a d e i pi an e ti M ot o ap pa re nt e d i M ar te os se rv at o d al la T e rr a ne l 19 7 1

Sin dall’antichità l’Uomo ha studiato il moto degli oggetti celesti. Il moto di questi risultava estremamente complicato, a

ca us a pr in ci pa lm en te d i pr eg iu d iz i

che condizionavano la scelta del sistema di riferimento.

61

•T ol om eo (1 2 0 a .C .) : or ig in e d e l S is te m a d i ri fe ri m e nt o: T er ra . C om po si zi on e d i m ot i ci rc ol ar i •O ss e rv az io ni sp er im en ta li d i T yc h o Br ah e (1 5 4 6 -1 6 0 1) • K ep le ro (1 6 0 0 ): or ig in e d e l S . d i ri fe ri m e nt o: S ol e . O rb it e d e i pi an e ti el lit ti ch e

•C op er ni co (1 5 0 0 ): o ri gi ne d e l S . d i ri fe ri m e nt o: S ol e . C om po si zi on e d i m ot i ci rc ol ar i

O ss e rv az io ne ci ne m at ic a d e l S is te m a S ol ar e pe rm e tt on o un a in te rp re ta zi on e d e i d at i in t e rm in i d i le gg e d in am ic a L e l e gg i d i K e pl e ro pr ov e ng on o d a m is ur e d i ci ne m at ic a. T ut ta vi a, e ss e In p ra ti ca , si t ra tt a d i un c om pl e ss o pr ob le m a in ve rs o d i ci ne m at ic a: av en do l e in fo rm az io ni s ul m ot o de i pi an et i, p os si am o ri ca va re in fo rm az io ni s ul la n at ur a di F ? S I

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Le 3 l egg i d i K ep le ro : 1- L e or b it e d e i pi an e ti s on o i) pi an e (c ia sc un p ia ne ta l a pr op ri a) e ii) so no d i fo rm a el lit ti ca , co n un f uo co oc cu pa to d al S ol e . 2 - I l ra gg io v et to re d al S ol e a l pi an e ta d es cr iv e ar ee pr op or zi on al i ai t em pi i m pi eg at i a d es cr iv e rl e ( ve lo ci tà ar e ol ar e co st an te ) 3 - I qu ad ra ti d ei p er io d i T d i ri vo lu zi on e d e i pi an e ti at to rn o al S ol e s on o pr op or zi on al i ai cu b i d el se m ia ss e m ag gi or e a d e ll e ri sp et ti ve o rb it e e ll it ti ch e , T

2

∝∝∝∝ a

3