Giro della morte senza rotolamento

Giro della morte senza rotolamento

Gianluca Ferrari 1 aprile 2018

Vogliamo qui discutere il seguente problema energetico, a meno di considerazioni dell’ordine della dina- mica rotazionale e trascurando ogni forma di attrito.

Consideriamo il caso fisico del “giro della morte”: Si determini da quale altezza un corpo dev’essere lasciato cadere con velocità nulla affinché possa compiere un giro della morte, lungo una circonferenza di raggio R. Dal punto di vista energetico, il corpo partirà con pura energia potenziale, pari a U₀= mgh.

Figura 1: Rappresentazione grafica della situazione fisica in analisi.

Questa energia sarà convertita totalmente in energia cinetica nel punto di inizio della circonferenza. Nel punto di massimo della curva, non è ammissibile che il corpo arrivi con energia cinetica nulla, ossia con velocità nulla, poiché diversamente esso si staccherebbe dalla pista; è quindi necessario considerare le forze che agiscono sul corpo nel punto di massimo, per valutare cosa è possibile minimizzare.

Al corpo risulteranno essere applicate la forza peso ~P e la reazione vincolare ~N della guida; è proprio quest’ultima che può essere minimizzata. Entrambe queste forze sono verticali e rivolte verso il basso, nonché la loro somma è pari alla forza centripeta che agisce sul corpo.

m~g + ~N = m ~a_c

L’equazione considerata può essere riscritta nel seguente modo considerando le componenti in forma scalare dei vettori.

mg + N = mac=⇒ mg + N = mv² R

1

Dal punto di vista logico, affinché si possa ottenere la velocità minima possibile nel punto di massimo, è proprio necessario minimizzare - nonché annullare - la reazione vincolare, giungendo alla seguente equazione:

mg = mv² R da cui

v²= gR

Possiamo ora affermare che l’energia meccanica posseduta dal corpo nel punto di massimo della curva è pari a

Ef = mg(2R) +1

2mv²= 2mgR +1

2mgR = 5 2mgR Per la conservazione dell’energia meccanica possiamo concludere che:

E₀= E_f =⇒ U₀= U_f+ K_f =⇒ mgh = 5

2mgR =⇒ h = 5 2R

ossia il corpo deve partire da un’altezza iniziale pari a cinque mezzi il raggio di curvatura.

2