[1;0], infine è nulla per

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Classe quinta

STUDIO COMPLETO

DI UNA FUNZIONE TRASCENDENTE LOGARITMICA

Esempio D: ^yxlnx

1) Classificazione e C.E.:

Funzione trascendente logaritmica.

La presenza del logaritmo impone che sia x . Il C.E. è 0 ^]0;[.

2) Simmetrie :

La funzione non è simmetrica.

3) Studio del segno : Si pone: xlnx ossia:0

0 x : fattore

1 

1 x 0 x ln : fattore

2   

quindi la funzione data è positiva in ^]1;[ , mentre è negativa in ^]0;1[, infine è nulla per 1

x . (Si ricorda che per x la funzione non è definita).0

4) Intersezione con gli assi cartesiani :

PROF. MAURO LA BARBERA “Studio di una funzione trascendente”

0 1 x y

1 fattore

- 0 +

2 fattore

1

La funzione data interseca l’asse delle ascisse nel punto ^A(1;0) .

5) Asintoti :

La funzione non ha asintoti, infatti:









   





   

 lim ( x) 0

x x1 1 lim

x 1 x lim ln

x ln x

lim _{x 0}

2 0 x H 0

x 0

x ,

quindi non esiste l’asintoto verticale.

Inoltre, lim_xxlnx^ , quindi non esiste l’asintoto orizzontale.

Infine,  lim lnx

x x ln

limx x x , quindi non esiste l’asintoto obliquo.

6) Crescenza o decrescenza :

Calcolando la derivata prima si ha:

x x x ln y 

, ossia:

. 1 x ln y 

Studiando il segno della derivata prima si ha:

e 1

x 1 x ln 0 1 x

ln       ^ .

Se ne deduce che la derivata prima è positiva per xe^1, quindi la funzione data è crescente in [

; e

] ^1  , mentre è negativa per 0xe^1, quindi la funzione è negativa in ]0;e^1[. Inoltre, la derivata prima è nulla per xe^1 .

7) Massimi, minimi relativi e flessi a tangente orizzontale :

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0 x

y

- 0 +

2

La funzione data ha un minimante nel punto di ascissa e

x 1, quindi, essendo

e 1 e

f 1 



 



 , la

funzione presenta un minimo relativo (anche assoluto) nel punto 



 



  e

; 1 e

B 1 .

8) Concavità e convessità :

Calcolando la derivata seconda si ha:

x y 1.

Studiando il segno della derivata seconda ed essendo la funzione ^{y xlnx} definita nel semiasse delle ascisse positive, si ha, necessariamente, che la derivata seconda è sempre positiva in ^]0;[ , quindi la funzione data volge la concavità verso l’alto in tutto il suo campo di esistenza. Inoltre, poiché la derivata seconda non si annulla non ci sono punti d’inflessione.

9) Grafico :

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