c, interno all’intervallo, in cui laderivata della funzione è nulla, ossia:

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Classe quinta

TEOREMA di ROLLE

Enunciato:

Se la funzione ^y ^^f⁽^x⁾ è continua nell’intervallo chiuso ^[^a^;^b^] e derivabile nei punti interni di questo intervallo, ed assume valori uguali negli estremi di ^[^a^;^b^], ossia

) b ( f ) a (

f  , allora esiste almeno un punto di ascissa

c

, interno all’intervallo, in cui la derivata della funzione è nulla, ossia: ^f^⁽^c⁾^ ⁰^.

Esercizio :

Controllare se la funzione ^y^^x²^^x^¹, nell’intervallo chiuso ^[¹^;²^], verifica le ipotesi del Teorema di Rolle e in caso affermativo, calcolare l’ascissa dei punti dove si annulla la derivata della funzione.

La funzione ^y^^x²^^x^¹ è una funzione algebrica razionale intera di secondo grado, parabola, quindi è continua nell’intervallo chiuso ^[¹^;²^] e derivabile (^y^^ ²^x^¹) nei punti interni di questo intervallo, ed assume valori uguali negli estremi di ^[¹^;²^], infatti, ^f⁽^¹⁾^³^^f⁽²⁾, pertanto, le ipotesi del Teorema di Rolle sono verificate, quindi esiste almeno un punto di ascissa

c

, interno all’intervallo, in cui la derivata della funzione ^y^^x² ^^x^¹ è nulla,

infatti:

2 c 1 0 1 c 2 ) c (

f      , con ²

2 11

 .

Quindi il punto 



 



 4

;3 2

V 1 , vertice della parabola, verifica il Teorema di Rolle.

Osservazioni:

PROF. MAURO LA BARBERA “Teorema di Rolle” 1

(2)

il Teorema di Rolle, geometricamente, si interpreta dicendo:

se un arco di curva continua è dotato di tangente in ogni suo punto, esclusi al più gli estremi, ed ha uguali le ordinate degli estremi, esiste almeno un punto interno all’arco dove la tangente è parallela all’asse delle ascisse.

Grafico:

Argomento correlato: Teorema di Lagrange

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