Geometria solida
Geometria Solida
Poliedri e non poliedri
Ci sono due tipi di solidi:
i poliedri che hanno facce piane poligonali;
i solidi di rotazione.
Poliedri
Geometria solida
Un poliedro è un solido delimitato da facce piane (dal greco poli- che significa "molti" e -edron che
significa "faccia").
Poliedri
Geometria solida
Le superfici delle facce di un poliedro sono dei poligoni!
Esempi di poliedri:
Cubo Tetraedro
Poliedri
Geometria solida
• Il vertice di un poliedro è il punto d’incontro di tre o più bordi del poliedro;
• il bordo che unisce due vertici è chiamato spigolo;
• una faccia è un singolo poligono
che delimita il poliedro.
Solidi Platonici
Geometria solida
I solidi platonici sono quei poliedri:
• in cui le facce sono poligoni regolari congruenti;
• ad ogni vertice concorre lo stesso numero di facce.
Esempio
Il cubo è un solido platonico perché:
• ha tutte le facce quadrate e congruenti;
• ogni vertice è l’incontro di tre facce.
Solidi Platonici
Geometria solida
I solidi platonici sono cinque:
Tetraedro Cubo Ottaedro Dodecaedro Icosaedro
Solidi Platonici
Geometria solida
Tetraedro:
• 4 facce (triangoli equilateri);
• 3 facce che si incontrano nel vertice;
• 4 vertici;
• 6 spigoli.
Sviluppo piano
Solidi Platonici
Geometria solida
Cubo (o esaedro):
• 6 facce (quadrati);
• 3 facce che si incontrano nel vertice;
• 8 vertici;
• 12 spigoli.
Sviluppo piano
Solidi Platonici
Geometria solida
Ottaedro:
• 8 facce (triangoli equilateri);
• 4 facce che si incontrano nel vertice;
• 6 vertici;
• 12 spigoli.
Sviluppo piano
Solidi Platonici
Geometria solida
Dodecaedro:
• 12 facce (pentagoni regolari);
• 3 facce che si incontrano nel vertice;
• 20 vertici;
• 30 spigoli.
Sviluppo piano
Solidi Platonici
Geometria solida
Icosaedro:
• 20 facce (triangoli equilateri);
• 5 facce che si incontrano nel vertice;
• 12 vertici;
• 30 spigoli.
Sviluppo piano
Solidi Platonici
Geometria solida
Perché i solidi platonici son solo 5?
In ogni vertice si incontrano almeno tre facce.
La somma dell’ angolo interno del solido deve essere minore di 360°
(a 360° l’angolo si “appiattisce”)
Solidi Platonici
Geometria solida
Perché i solidi platonici son solo 5?
Sappiamo che le facce del solido platonico sono poligoni regolari identici.
Il triangolo equilatero ha angoli di 60° e pertanto si potranno avere solidi platonici con:
• 3 triangoli (3x60° = 180°);
• 4 triangoli (4x60° = 240°);
• 5 triangoli (5x60° = 300°).
Solidi Platonici
Geometria solida
Perché i solidi platonici son solo 5?
Sappiamo che le facce del solido platonico sono poligoni regolari identici.
Il quadrato ha angoli di 90° e pertanto si potrà avere solo un unico solido platonico,il cubo:
• 3 quadrati (3x90° = 270°)
Solidi Platonici
Geometria solida
Perché i solidi platonici son solo 5?
Sappiamo che le facce del solido platonico sono poligoni regolari identici.
Il pentagono regolare ha angoli di 108° e pertanto si potrà avere solo un unico solido platonico:
• 3 pentagoni (3x108° = 324°)
Solidi Platonici
Geometria solida
Perché i solidi platonici son solo 5?
Esempio:
3 esagoni regolari = 3 x 120° = 360°
Se volessimo usare più di 5 triangoli equilateri, 4 quadrati, 3 pentagoni regolari o addirittura altri poligoni regolari per costruire un solido platonico, ci
renderemo conto che ciò è impossibile in quanto l’angolo sarà
Solidi Platonici
Geometria solida Riepilogando:
Formula di Eulero
Geometria solida
Per qualsiasi poliedro convesso:
• il numero delle facce, più
• il numero dei vertici, meno
• il numero degli spigoli:
è sempre uguale a
2
F + V – S = 2
Formula di Eulero
Geometria solida
Facciamo un esempio, consideriamo il cubo:
ha 6 facce, 8 vertici e 12 spigoli, cioè 6 + 8 – 12 = 2
F + V – S = 2
