Determinazione sperimentale del valore di π
Gruppo 6
Antonio Bisconti Bianca Andreea Cojocaru Christian Conti Marco Salvatore Schirò
Federica Uzzo
08 Novembre 2021
Valutazione: A - errori vari
D
Abstract
Il π `e una costante matematica fondamentale; geometricamente esso `e definito come il rapporto fra la circonferenza C ed il diametro D, infatti vale la seguente relazione π = C = 3.141592... Esso tuttavia pu`o essere stimato sperimentalmente misurando la circonferenza di un cilindro ed il suo diametro, e poi sfruttando la relazione precedente.
Indice
1 Introduzione 3
1.1 Scopo dell’esperienza . . . 3
1.2 Materiali Utilizzati . . . 3
1.3 Strumenti . . . 3
1.3.1 Struementi meccanici . . . 3
1.3.2 Strumenti softwere . . . 4
1.4 Cenni teorici . . . 4
1.4.1 Prcedimento . . . 4
2 Analisi Dati 5 3 Conclusioni 8 3.1 Discrepanza . . . 8
4 Appendice 9
1 Introduzione
1.1 Scopo dell’esperienza
L’obiettivo dell’esperienza di laboratorio `e stato quello di ricavare sperimen- talmente il valore di π. A questo scopo, avendo a disposizione alcuni oggetti cilindrici di differente diamentro, ne sono stati misurati la circonferenza ed il diamentro e con i dati ricavati si `e potuto stimare il valore di π.
1.2 Materiali Utilizzati
Sono stati utlizzati 10 oggetti di forma cilindrica reperibili a casa, fra cui:
Figura 1: esempio di oggetti
Tazze
Tappi di barattoli
Porta penne
Rotolo di carta igienica
Bicchieri
Nastro adesivo
Borraccia
1.3 Strumenti
1.3.1 Strumenti meccanici
Per la misurazione della circonferenza e del diametro `e stata utilizzata della carta millimetrata avente una risoluzione di 1 mm adatta a misurare distanze
non necessariamente rettilinee per via della sua flessibili`a e del suo spessore.
Ad essa sono associati un errore di lettura, pari a mezza risoluzione (0.5 mm), e un errore di precisione dato dalla formula generale (1)
δxprec = (a + b
1000L) (1)
Con b=0.4 mm ed a=0.6 mm in quanto lo strumento rientra nella classe di precione III.
1.3.2 Strumenti software
Per l’analisi dei dati sperimentali `e stato utilizzato il programma di analisi grafica SciDavis; infine la relazione `e stata formattata con LATEX.
1.4 Cenni teorici
Per l’analisi dei dati sono stati usati i seguenti riferimenti teorici:
Definizione di risoluzione
Errore assoluto e relativo
Concetto di cifra significativa
Regole di approssimazione di un valore
Metodo delle rette di massima e minima pendenza
Discrepanza
1.4.1 Procedimento
In collegamento virtuale, ciascun membro del gruppo ha misurato con la carta millimetrata il diamentro e la circonferenza di due oggetti cilindrici. A tutte
una misura sperimentale
le misure `e stato associato lo stesso errore di lettura pari a 0.5 mm (met`a della risoluzione). Inoltre, utilizzando la formula (1) sono stati calcolati gli errori di precisone δxprec associati a ciascuna misura; infine, per ottenere l’errore assoluto complessivo, `e stata applicata la formula (2)
δx = δxlett+ δxprec (2)
I risultati ottenuti sono stati riportati in un’ unica tabella (figura 3) con- sultabile in appendice.
2 Analisi Dati
Le misurazioni 1delle grandezze fisiche hanno prodotto i seguenti dati, indicati nella tabella seguente con i loro rispettivi errori, e in seguito rappresentati su un grafico (figura 2).
Circonferenza (mm) δc Diamentro (mm) δd
36.0 1.1 12.0 1.1
114 1.1 36.0 1.1
135.0 1.1 42.0 1.1
151.0 1.1 47.0 1.1
198.0 1.2 63.0 1.1
200.0 1.1 63.0 1.1
207.0 1.1 66.0 1.1
230.0 1.1 73.0 1.1
243.0 1.2 78.0 1.1
311.0 1.1 99.0 1.1
1Verr`a usato il punto come separatore decimale nella presente relazione di laboratorio
u.m. u.m.
114.0
∆x
L’indeterminazione associata ai valori sperimentali e` indicata simbolica- mente nel grafico tramite un segmento di lunghezza pari a due volte il valore dell’errore.
Poich`e l’errore strumentale `e molto maggiore dell’errore casuale e inoltre e`
nota la relazione funzionale che lega le due grandezze in esame, i dati saranno analizzati con il metodo grafico della retta di massima e minima pendenza, processo che nel caso specifico permette di ridurre eventuali errori sistematici;
dunque i dati saranno usati per stimare i parametri di tale relazione. Le grandezze C e D sono legate da una dipendenza lineare del tipo y = mx + q dove m `e il coifficente angolare della retta, che coincide con π, mentre q `e l’intersezione con l’asse delle ordinate, che in questo caso `e uguale a zero, poiche` la retta passa per l’origine degli assi.
Questo metodo grafico consiste nel tracciare le due rette che intersecano le barre di errore di tutti i punti, e le cui pendenze sono rispettivamente la massima e la minima possibile. m di una generica retta `e dato da m = ∆y ; nel nostro caso per calcolare il valore di πmax sono stati considerati l’origine ed il punto P ≡ (98.3 ; 311.0):
πmax = 311.0 − 0
98.3 − 0 = 3.164 (3)
mentre per πmin si sono scelti l’origine ed il punto P0 ≡ (100.1 ; 310.1) πmin = 310.1 − 0
100.1 − 0 = 3.098 (4)
πbest `e stato calcolato usando come indice di posizione la semisomma di πmin e πmax, cio`e la media aritmetica dei valori πmax e πmin precedentemente calcolati:
πbest= πmin+ πmax
2 = 3.098 + 3.164
2 = 3.131 (5)
L’indeterminazione associata a πbest `e invece stimata calcolando la semidis-
persione :
δπ = πmax− πmin
2 = 3.164 − 3.098
2 = 0.03 (6)
Dunque il valore di π ottenuto è π = 3, 13 ± 0, 03. L’errore relativo percentuale risulta:
π% = δπ πbest
× 100 = 0.03
3.13 × 100 ≈ 0.96% (7)
Figura 2: Grafico dei dati sperimentali. Linea rossa: retta di massima pendenza, Linea blu: retta di minima pendenza, Linea verde:retta che meglio si adatta ai valori sperimentali.
Le rette possono essere prolungate fino all'intersezione con l'asse secondario e quindi leggere il punto di
intersezione per calcolare la pendenza, in questo modo si riduce l'errore di lettura.
Come avete tracciato questa retta?
si può approssimare a 1.0%
3 Conclusioni
Si pu`o osservare che il noto valore di π rientra nell’intervallo di dispersione della misura ricavato. Il metodo della retta di massima e minima pendenza ha permesso di stimare meglio gli errori associati alle grandezze in esame, infatti essa risulta minore rispetto a quella ottenuta propagando gli errori:
π ≈ D + C ≈ 0.0236 π% ≈ 2.36% (8)
3.1 Discrepanza
La discrepanza `e definita come la differenza tra due valori misurati della stessa grandezza, secondo la formula:
d = |x1best− x2best| (9)
essa deve essere valutata al confronto con le incertezze delle misure: `e sig- nificativa quando risulta essere maggiore della somma degli errori associati alle due misure (d > δx1 + δx2), non `e significativa quando `e minore di tale somma. Nel caso specifico sono stati confrontati i nostri risultati con quelli ottenuti dal gruppo 7: πbest= 3.14 ± 0.03.
d = |3.14 − 3.13| = 0.01 < 0.06 (10) Concludiamo che la discrepanza non `e significativa e la misura `e consistente.
Questo si pu`o osservare anche graficamente: i margini di errore si sovrap- pongo parzialmente, dunque le misure sono consistenti.
Non sono necessarie tutte queste cifre significative: per il confronto ne bastano due.
le misure sono consistenti Le conclusioni vanno inserite alla fine
Questo è un paragrafo a parte e andrebbe inserito prima delle conclusioni!
Figure 2: Grafico della discrepanza
4 Appendice
Figure 3: Tabella con le grandezze misurate ed i rispettivi errori associati
che cosa rappresenta questa linea?
