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Si tratta di risolvere le equazioni di conservazione delle grandezze fisiche (massa, quantità di moto ed energia) che regolano la circolazione dei fluidi nei mezzi porosi e fratturati.

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(1)

Modellistica e simulazione

numerica di serbatoi geotermici

L’applicazione della simulazione numerica allo studio dei serbatoi geotermici per- mette di conoscere il comportamento idrodinamico e relativo al trasporto di calore o di particelle inquinanti all’interno di un acquifero, nel tempo, o allo stazionario.

Si tratta di risolvere le equazioni di conservazione delle grandezze fisiche (massa, quantità di moto ed energia) che regolano la circolazione dei fluidi nei mezzi porosi e fratturati.

In questo lavoro, per simulare un serbatoio geotermico, si è seguito l’approccio di risoluzione numerica agli elementi finiti, applicato dal programma FEFLOW

R

della WASY GmbH (cfr. [11]).

Nel Capitolo 5 vengono, invece, affrontate le problematiche riguardanti la model- lazione delle rocce calde secche.

3.1 Software utilizzato: FEFLOW

R

Si tratta di un codice per la simulazione della dinamica delle acque sotterranee, nonchè del trasporto di sostanze disciolte (ad esempio contaminanti) e di energia termica nel sottosuolo 1 .

Prevede le funzioni di pre- e post-processing e consente l’utilizzo tramite inter- faccia grafica.

Con FEFLOW

R

si possono acquisire e gestire dati geografici e idrologici, im- portare mappe e sezioni del terreno, impostare le caratteristiche fisico-chimiche delle varie parti che compongono il corpo roccioso in studio. I risultati possono poi essere elaborati per ottenere distribuzioni su tutto il dominio delle principali grandezze

1

Per maggiori informazioni: http://wasy.de/english/produkte/feflow/index.html .

(2)

3.1. Software utilizzato: FEFLOW

R

(temperatura, pressione, velociità del fluido) e per calcolarne i flussi di massa ed energia.

L’utilizzo che se ne è fatto in questo lavoro (v. 4 e 4.7) ha riguardato l’acquisizione di una sezione geologica 2 e la simulazione dei flussi idrici, della distribuzione di temperatura e dei livelli piezometrici (allo stazionario), al fine di valutare l’ipotesi di una utilizzazione geotermica degli acquiferi locali.

3.1.1 Equazioni di bilancio

Alla base dei calcoli eseguiti dal software descritto vi sono le equazioni di base che regolano il flusso idrico nei mezzi porosi, espresse in un sistema che ammette la conservazione delle seguenti grandezze:

• conservazione della massa;

• conservazione della quantità di moto;

• conservazione dell’energia (primo principio della termodinamica);

• conservazione della massa di contaminanti e sostanze chimiche disciolte.

Le equazioni di bilancio, in forma macroscopica, seguendo le semplificazioni di cui in Diersch [11] risultano le seguenti (in riferimento alla singola fase α):

conservazione della massa

∂t (ǫ α ρ α ) + ∂

∂x i (ǫ α ρ α v i α ) = ǫ α ρ α Q α ρ (3.1) conservazione della quantità di moto

v α i + κ α ij ǫ α µ α

 ∂p α

∂x j

− ρ α g j



= 0 (3.2)

conservazione dell’energia

∂t (ǫ α ρ α E α ) + ∂

∂x i (ǫ α ρ α v α i E α ) + ∂

∂x i (j iT α ) = ǫ α ρ α Q α T (3.3) conservazione della massa di contaminanti e sostanze chimiche disciolte

∂t (ǫ α C k α ) + ∂

∂x i

(ǫ α v i α C k α ) ∂

∂x i

(j ik α ) = ǫ α R k (3.4) in cui siano

2

si veda, ad esempio, la Figura 4.22 riguardante il caso studio (Massa Marittima), pag. 92.

(3)

ǫ α frazione in volume della fase α, essendo 0 ≤ ǫ α ≤ 1 e P

α ǫ α = 1;

ρ α densità della fase α;

v i α velocità nella direzione i della fase α;

C k α concentrazione chimica del componente k nella fase α;

j α ik vettore del flusso di massa diffusivo (fickiano) della fase α;

j iT α vettore del flusso termico (di Fourier) della fase α;

κ α ij tensore di permeabilità della fase α;

p α pressione relativa alla fase α;

µ α viscosità dinamica della fase α;

E α energia interna della fase α;

Q α ρ , Q α T termini di sorgente (o pozzo) di massa e di energia termica (riferiti alla fase α);

T α temperatura della fase α;

3.2 Condizioni al contorno, condizioni iniziali e vincoli

Il set di equazioni presentato in precedenza va corredato con apposite condizioni al contorno 3 , condizioni iniziali (se si vuole calcolare lo stato del sistema in transitorio) e con opportuni vincoli (constraints) sulle condizioni al contorno (questi vincoli si possono introdurre per limitare entro un certo range opportuno le variazioni dei valori al bordo). Le notazioni utilizzate in questa sezione sono uniformi a quelle riportate in Diersch, [11].

Le tipologie di condizioni al contorno sono tipicamente quattro:

• condizione di primo tipo (o di Dirichlet), attraverso cui si può imporre, su un bordo il valore, ad esempio, di quota piezometrica o di temperatura;

• condizione di secondo tipo (o di Neumann), si può imporre al bordo il flusso termico o una portata di fluido;

• condizione di terzo tipo (o di Cauchy), in cui si utilizzano dei coefficienti di trasferimento;

condizione di quarto tipo (singolo pozzo, singular point source), tipicamente usata per trattare i pozzi (di emungimento o di reiniezione), utilizza la funzione δ di Dirac.

3.2.1 Condizioni iniziali

Considerato un dominio Ω, contenuto in uno spazio tridimensionale, sia Γ il suo bordo. Γ è costituito da porzioni disgiunte Γ i , adeguatamente suddivise in base al tipo di condizione al contorno da assegnare [11]. Le condizioni iniziali si possono

3

Da ora anche c.c.

(4)

3.2. Condizioni al contorno, condizioni iniziali e vincoli

imporre, al dominio Ω, sulla portata, sul trasposto di massa di contaminante e di energia.

flusso idrico (flow)

h(x i , 0) = h I (x i ) (3.5)

trasporto di massa (contaminante)

C(x i , 0) = C I (x i ) (3.6)

trasporto di calore

T (x i , 0) = T I (x i ) (3.7)

in cui h I , C I e T I siano funzioni variabili nello spazio o distribuzioni iniziali, rispettivamente, di quota piezometrica, concentrazione di contaminante, temperatu- ra.

3.2.2 Condizioni al contorno

Le notazioni utilizzate in questa sezione sono uniformi a quelle riportate in Diersch, [11]. Il bordo Γ del dominio Ω è definito opportunamente da porzioni separate Γ i

definite opportunamente

Γ = [ i

Γ i (3.8)

Flusso idrico

1. condizione al contorno di primo tipo (di Dirichlet)

h(x i , t) = h R 1 (t) (3.9)

2. condizione al contorno di secondo tipo (di Neumann) per 3D e 2D verticale

q n

h

(x i , t) = q h R (t) = −K ij f µ ∂h

∂x j + ρ f − ρ f 0

ρ f 0 e j

!

n i (3.10) per 2D orizzontale, acquifero non confinato

q n

h

(x i , t) = q h R (t) = −K ij

∂h

∂x j

n i (3.11)

per 2D orizzontale confinato

(5)

¯

q n

h

(x i , t) = ¯ q h R (t) = −τ ij

∂h

∂x j n i (3.12)

3. condizione al contorno di terzo tipo (di Cauchy) per 3D e 2D verticale, acquifero non confinato

q n

h

(x i , t) = −Φ h (h R 2 − h) (3.13) per 2D orizzontale, acquifero confinato

¯

q n (x i , t) = − ¯ Φ h (h R 2 − h) (3.14) in cui Φ h e ¯ Φ h sono detti transfer coefficients e costituiscono ingressi o uscite di fluido a seconda che si abbia uno dei seguenti casi

Φ h =

( Φ in h h R 2 > h

Φ out h h R 2 ≤ h (3.15) Φ ¯ h =

( Φ ¯ in h h R 2 > h

Φ ¯ out h h R 2 ≤ h (3.16)

il caso particolare in cui sia Φ h = Φ in h = Φ out h oppure ¯ Φ h = ¯ Φ in h = ¯ Φ out h si riconduce ad una situazione in cui il flusso sia indipendente dalla direzione e indifferentemente verso l’esterno o verso l’interno del dominio.

4. condizione al contorno di quarto tipo - singolo pozzo (singular point source)

Q w ρ (x i , t) = X

m

Q w m Y

i

[δ(x i − x m i )] , ∀(x i , x m i ) ∈ Ω (3.17)

per questo tipo di condizione devono essere soddisfatte le due seguenti di free surface

Φ h =

( −q n

h

= n l "P 0 − φ e ∂h

∂t

 h = x l

(3.18)

Nelle equazioni precedenti siano [11]:

h R 1 , h R 2 valori di quota idraulica h imposti sul contorno;

q n

h

portata volumetrica specifica o velocità di Darcy

(cfr. eq. 1.18, sez. 1.1.4);

(6)

3.2. Condizioni al contorno, condizioni iniziali e vincoli

¯

q n

h

portata volumetrica specifica mediata sulla verticale;

q R h , ¯ q h R valori di portata specificia di fluido imposti sul bordo, rispettivamente, per il caso 3D e 2D orizzontale;

Φ h , ¯ Φ h transfer coefficients, detti anche parametri di perdita, rispettivamente, per il caso 3D e 2D orizzontale;

Φ ¯ in h , ¯ Φ out h coefficienti direzionali di ingresso e uscita di fluido, caso 2D orizzontale;

f µ viscosity relation function, f µ = µ f 0

µ f (C, T ) , in cui µ f 0 = µ f C

0

,T

0

, è la viscosità alla temperatura T 0 e alla concentrazione C 0 di riferimento, [11];

δ funzione delta di Dirac;

K ij tensore della conduttività idraulica, calcolato come K ij = k ij ρ f 0 g µ f 0

, in cui k ij è il tensore della permeabilità (cfr. eq. 1.7, pag. 11);

n i versore della supeficie normale;

P 0 portata di infiltrazione, ricarica dalle acque superficiali;

Q w ρ portata emunta dal pozzo (well function);

Q w m portata di pompaggio e reiniezione del singolo pozzo;

φ e porosità effettiva;

τ ij tensore della trasmissività;

x m i coordinata del singolo pozzo m;

x l elevazione;

Condizioni al contorno su superfici freatiche In riferimento ai problemi riguardan- ti superfici libere (freatiche, cfr. sez. 1.1.3 a pag. 10 e la nota 3), esistono condizioni del secondo e del terzo tipo speciali. Si tratta di condizioni al contorno integrali.

Sono definite come segue:

Condizione al contorno integrale del secondo tipo per 3D riferita alla iniziale situazione stratigrafica:

q n

h

(x i , t) = q R h (t) (3.19) per 2D orizzontale - non confinato, flusso integrato in profondità:

q n

h

(x i , t) = ¯ q R h (t) (3.20)

Condizione al contorno integrale del terzo tipo per 3D riferita alla iniziale situazione stratigrafica:

q n

h

(x i , t) = −Φ h (h R 2 − h) (3.21)

(7)

per 2D orizzontale - non confinato, flusso integrato in profondità:

q n

h

(x i , t) = − ¯ Φ h (h R 2 − h) (3.22) .

L’utilizzo di queste condizioni particolari garantisce che, assegnato un valore del flusso al contorno, questo sia indipendente dallo spessore attuale dell’acquifero e dalla quota della superficie libera. L’introduzione di queste condizioni è motivata dal voler evitare problemi sul bilancio di massa, che viene reso indipendente dalla localizzazione della superficie libera [11].

Trasporto di energia

1. condizione al contorno di primo tipo (di Dirichlet)

T(x i , t) = T 1 R (t) (3.23)

2. condizione al contorno di secondo tipo (di Neumann) per 3D e 2D verticale e assialsimmetrico

q n

T

(x i , t) = q R T (t) = −λ ij

∂T

∂x j

n i (3.24)

q n

h

(x i , t) = q R∗ h (t) = ρ f c f T 2 R q n

h

− λ ij ∂T

∂x j

n i (3.25)

per 2D orizzontale, confinato e non

¯

q n

T

(x i , t) = ¯ q R T (t) = −¯ λ ij

∂T

∂x j

n i (3.26)

¯

q n

h

(x i , t) = ¯ q R∗ h (t) = ρ f c f T 2 R q ¯ n

h

− ¯ λ ij

∂T

∂x j

n i (3.27)

3. condizione al contorno di terzo tipo (di Cauchy) per 3D e 2D verticale, acquifero non confinato

q n

T

(x i , t) = −Φ T (T 3 R − T) (3.28) per 2D orizzontale, acquifero confinato

¯

q n

T

(x i , t) = − ¯ Φ T (T 3 R − T) (3.29)

in cui i transfer coefficients Φ T e ¯ Φ T sono definiti come segue

(8)

3.3. Cenni sull’utilizzo sol software

Φ h =

( Φ in T T 3 R > T

Φ out T T 3 R ≤ T (3.30) Φ ¯ h =

( Φ ¯ in T T 3 R > T

Φ ¯ out T T 3 R ≤ T (3.31)

è importante distinguere i casi in cui si abbia apporto di calore verso il dominio q n

T

< 0 o verso l’esterno q n

T

> 0;

4. condizione al contorno di quarto tipo - singolo pozzo (singular point source)

Q w T (x i , t) = ρ f c f X

m

T m w Q w m Y

i

[δ(x i − x m i )] , ∀(x i , x m i ) ∈ Ω (3.32)

in cui siano:

T 1 R , T 2 R , T 3 R valori di temperatura imposti sul contorno;

q n

T

flusso termico (normale);

¯

q n

T

flusso termico mediato sulla verticale;

q T R , ¯ q T R valori di flusso termico imposti sul bordo;

Φ T , ¯ Φ T coefficienti di trasmissione del calore;

Q w T flusso termico dal pozzo (heat flux well function);

T m w temperatura del singolo pozzo m;

Q w m flusso termico nelle fasi di pompaggio e reiniezione del singolo pozzo (m);

λ ij tensore di dispersione termica idrodinamica, [11];

x m i coordinata del singolo pozzo m;

δ funzione delta di Dirac.

Anche in questo caso è possibile adoperare condizioni al contorno di secondo e terzo tipo in forma integrale, per i problemi con superficie libera.

Nel presente lavoro non si è utilizzato il software FEFLOW per la trattazione di flussi con trasporto di sostanze in sospensione o disciolte nel flusso idrico, per le equazioni e le condizioni al contorno riguardanti questo tipo di analisi cfr. Reference manual, cap. 4, [11].

3.3 Cenni sull’utilizzo sol software

L’interfaccia grafica del software agli elementi finiti FEFLOW dispone di molti tipi di comandi, distribuiti in molti sotto-menù 4 .

4

Per il contenuto di questa sezione cfr. Diersch, [12].

(9)

Lo Shell, illustrato in Figura 3.1, è composto da cinque parti principali:

Shell menu: permette l’accesso alle diverse funzioni del software, la struttura del menu è schematizzata nelle Figure 3.6 e 3.7, pag. 59.

Working window: permette di visualizzare il modello, la mesh, le condizioni al contorno e tutto ciò che riguarda la simulazione in corso; vi si agisce con comandi mouse-based.

Message bar: permette di ottenere messaggi di aiuto context-sensitive, riferiti cioè all’operazione specifica in corso.

Info boxes e Control panel: offrono informazioni sul modello geometrico utiliz- zato e strumenti per la sua visualizzazione (zoom e funzioni 3D).

Shell menu

Working window

Message bar Info

boxes

Control panel

Figura 3.1: Parti che compongono lo Shell del software FEFLOW

R

.

Cliccando sulla parte verde in cui sono mostrati il tipo di elemento correntemente utilizzato e la progress bar, appare il quick access-menu, che permette di accedere direttamente (dal livello Shell grafico) ad alcuni importanti comandi del File menu (Figura 3.2).

Nelle Figure 3.6 e 3.7 sono mostrati i diversi livelli dello Shell menu, ovvero del livello più alto di una struttura dettagliata e gerarchica di comandi. Per motivi di praticità alcune funzioni di maggiore utilizzo sono accessibili dal livello dello Shell.

Accessibile sia dal Quick menu che dallo Shell menu, il software dispone anche di

un Map manager, uno strumento per la gestione delle mappe o delle sezioni geologiche

(10)

3.3. Cenni sull’utilizzo sol software

di background (ASCII, files di poligoni e linee, ESRI shape files, dati e immagini CAD), permette di collocare più mappe in diversi livelli grafici e assegnarvi ID e altri attributi (Figura 3.4).

Nel menu Edit (Figura 3.3) sono disponibili le funzioni di Mesh editor e Mesh Generator. Il software consente di elaborare e modificare la griglia di calcolo e le geometrie degli elementi.

Nel Problem Editor (Figura 3.5) è possibile inserire i settaggi del problema che si sta affrontando, la classe del problema, la caratteristiche fisiche e geologiche dei materiali, le condizioni al contorno e iniziali. Per la descrizione delle condizioni al contorno e iniziali v. la sez. precedente 3.2 a pag. 49.

Figura 3.2: Quick access-menu.

Figura 3.3: Edit menu.

Figura 3.4: Map manager.

Figura 3.5: Problem manager.

Dal Problem editor si possono schematizzare anche i Discrete features element,

(11)

attraverso cui, in questo lavoro, sono state schematizzate le faglie.

Esiste poi una funzione di Problem summary, che schematizza la situazione at- tuale del problema e, attraverso una visione di insieme dei dati inseriti e dei settaggi effettuati, permette di stabilire se si è in grado di inizializzare ed eseguire i calcoli.

Nel menu Run si agisce sul risolutore delle equazioni (è possibile in questa fase anche tornare sui propri passi e modificare alcuni parametri del problema). Al ter- mine della simulazione è possibile visualizzare i risultati graficamente ed esportare i dati mediante diversi tipi di finestre di dialogo.

La visualizzazione grafica dei risultati permette di ottenere:

- isolinee e fringes, - vettori della velocità,

- particle tracking (ovvero visualizzazione della posizione nel tempo di una par- ticella lasciata libera di seguire il flusso a partire da un punto del dominio di calcolo deciso dall’utente),

- proiezione dei risultati lungo delle sezioni, individuate da appositi segmenti, del dominio,

- pseudo-proiezioni 3D.

La funzione Budget analyzer (sempre nel menu Run), consente, in fase di post- processing, di quantificare le quantità di fluido, la concentrazione di contaminanti, e l’energia in ingresso o in uscita dalla regione considerata. È possibile calcolare questi valori in riferimento ai bordi interessati dai diversi tipi di condizioni al contorno (anche presi singolarmente), ma anche ottenere i bilanci rispetto ai prelievi e alle reinieizioni dei pozzi o alle ricariche o alle perdite areali. Ovviamente i flussi in uscita dal dominio sono considerati negativi, quelli in entrata positivi. Il risultato di questa somma algebrica di flussi di massa (e di energia) può rappresentare un guadagno o una perdita. Nel caso di problema transitorio un guadagno rappresenta un accumulo all’interno dell’acquifero, al contrario un bilancio negativo costituirebbe una perdita o uno “svuotamento” dell’acquifero nel tempo. Secondo Diersch, [12], un bilancio non nullo su tutta la regione simulata, in caso di problema allo stazionario, rappresenta una misura dell’accuratezza computazionale. Per i dettagli sulle equazioni di bilancio si rimanda comuqnue a Diersch, [11], ‘Reference manual’.

Esiste, però, anche la funzione Fluid flux analyzer, che calcola i flussi orizontali e verticali in uscita e in entrata nel dominio studiato, in una sottoregione, attraverso una certa sezione al contorno o in un punto. Questo strumento, rispetto al Budget analyzer, non è inteso come una “misura” dell’accuratezza numerica del problema, bensì come uno strumento aggiuntivo per calcolare le quantità in uscita e in ingresso dal sistema in base alla distribuzione della velocità di Darcy 5 calcolata.

5

cfr. sez. 1.1.4, pag. 10, e l’equaz. 1.18.

(12)

3.3. Cenni sull’utilizzo sol software

Si precisa che i flussi risultanti da questa valutazione non sono valori esatti, ma sono affetti da errori ed inaccuratezze, le cui cause possono essere le seguenti:

• le velocità sono ottenute come un risultato secondario della simulazione,

• i vettori di velocità nodali sono proiettati sulla sezione su cui si calcola il flusso.

(13)

Figura 3.6: Struttura dello Shell menu del software FEFLOW (prima parte - continua nella Figura 3.7).

Figura 3.7: Struttura dello Shell menu del software FEFLOW (seconda parte).

(14)

3.3. Cenni sull’utilizzo sol software

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