F-F=F⇒F+F=F (O.1) Per il calcolo del flusso

(1)

APPENDICE O: Stima del flusso convettivo con la sonda suction pyrometer

Scopo ed ipotesi base

Lo scopo di tale studio risulta quello di quantificare separatamente il flusso termico convettivo e radiativo incidente sulle pareti della fornace, con il solo utilizzo della sonda

suction pyrometer.

Dal flusso termico totale misurato con il LAND heat flux meter è possibile, se noto il flusso convettivo, determinare l’irraggiamento superficiale e valutare i singoli contributi di calore.

Conv Tot Irr Conv Irr Tot

=

Φ

+

Φ

⇒

Φ

=

Φ

−

Φ

_(O.1)

Per il calcolo del flusso

Φ

_Conv è stato utilizzata ancora una volta la sonda sucion pyrometer, in particolare vengono sfruttate le misure realizzate dalla termocoppia durante i transitori termici nei punti di misura. L’ipotesi è quella di considerare la termocoppia come un corpo immerso in fluido isotermo rappresentato dai gas di combustione, in cui la temperatura interna, pur variando nel tempo, risulti approssimativamente uniforme, non variando da punto a punto. In pratica, per corpi di forma non troppo irregolare, si ritiene accettabile l’ipotesi di quasi uniformità quando il numero di Biot, definito come:

s s hL Bi

κ

= (O.2) dove:

h

= coefficiente di scambio termico convettivo tra fluido e solido; s

L

= lunghezza caratteristica del corpo; s

κ

= conducibilità termica del solido;

risulta minore di Bi < 0,1. In altre parole, il numero di Biot è pari a ∆Ts/∆Tconv e quindi

fornisce una stima del rapporto tra il tipico salto termico interno al solido e quello convettivo localizzato sulla sua superficie. Qualora si accetti l’ipotesi di corpo a temperatura quasi uniforme, si rinuncia così, ad un’analisi dettagliata della trasmissione termica al suo interno. La soluzione, quindi, consiste nel considerare il bilancio energetico che, per un sistema a pressione costante (al quale si riduce tipicamente un qualsiasi problema di trasmissione del calore), la forma più conveniente del primo principio della termodinamica risulta quella entalpica:

(2)

prod q q dt d + = I (O.3) dove:

I = entalpia dell’intero sistema;

q = potenza termica da esso scambiata (considerata come positiva quando è “assorbita” dalla

termocoppia);

prod

q

= produzione entalpica, cioè la potenza internamente generata.

Il caso in esame prevede lo studio, con approssimazione di piccoli numeri di Biot, dell’evoluzione temporale della temperatura della termocoppia

T

_term

( )

t

a contatto con i gas combusti a temperatura nota

T

_G e la stima del flusso convettivo alle pareti della fornace. L’intero processo di scambio termico avviene per convezione, con un coefficiente

h

_c che si suppone costante, per cui la quantità di calore scambiata tra la giunzione della termocoppia alla temperatura

T

_Term ed i gas alla temperatura

T

_Gè data da:

)

(

_G _Term

c

Conv

=

h

T

−

T

Φ

_(O.4)

Il problema si riduce nel calcolare il coefficiente di scambio termico

h

_c tra la termocoppia ed i gas aspirati, essendo note dalle misure sperimentali

T

_Ge

T

_Term.

Ricordando che la variazione entalpica della giunzione calda della termocoppia è data da:

dT

MC

dI

=

_p

(O.5) dove:

M = massa della termocoppia;

p

C

= calore specifico a pressione costante della termocoppia. L’equazione di bilancio della termocoppia diviene dunque:

( )

_[

_{( )}

_]

_{( )}

( )

' ' ' ' ' ' ' dt t dT S h MC t T T t T T S h q dt t dT MC dt dI T c p T G T G c T p = = − ⇒ − = = (O.6) con :

S

= superficie di scambio; T

(3)

Introducendo la costante A definita come:

S

h

MC

A

c p

=

(O.7) l’equazione diventa: ' dt dT A T T T T G − = (O.8)

e considerando la condizione iniziale

T

_term

=

T

_in al tempo t = 0 ed ipotizzando una temperatura del gas

T

_G costante si ha:

    = = = − 0 ' t per T T dt dT A T T in term T T G (O.9) Riordinando i membri si ottiene un’equazione lineare del primo ordine:

A T T A dt dT G T T + 1 = ' (O.10) Per integrare tale equazione, com’è noto, deve essere trovato l’integrale generale dell’omogenea associata e poi aggiungere a quest’ultimo un integrale particolare.

L’equazione dell’omogenea associata è detta anche equazione a variabili separabili, poiché:

0 1 0 1 ' ' + T = ⇒ T + T = T _T A T T A dt dT (O.11) riordinata diventa: ' ' 1 1 dt A T dT T A dt dT T T T T =− _⇒ =− (O.12) La soluzione è stata determinata semplicemente integrando entrambi i membri:

' 0 0 ' _ln 1 1 C t A T dt A dT T _Term T t T T Term + − = ⇒ − =

∫

(O.13) Alla fine viene ricavata la seguente relazione:

( )

t A C t A Term t e Ce T 1 1 ₊ ' ₋ − = = _(O.14)

(4)

dove è una costante arbitraria da determinare attraverso la condizione iniziale.

Per trovare un integrale particolare dell’equazione è stato osservato osservare che sostituendo il valore

T

_T

=

T

_G si ottiene un’identità nell’equazione differenziale di partenza, infatti:

A T T A dt dT dt dT _G G G T = = ₀ _⇒ 1 = ' ' (O.15) Per cui l’integrale particolare sarà dato da:

G

T

=

(O.16) Alla fine si ottiene:

( )

    = = + = − 0 1 t per T T T Ce t T in Term G t A Term (O.17) Come precedentemente accennato, la costante arbitraria viene determinata attraverso la condizione iniziale:

( )

G in in G

Term

t

C

T

C

T

=

0 =

+

=

⇒

=

−

(O.18) ricavando, così, l’andamento della temperatura della termocoppia

T

_Term

(t

)

nel tempo:

(

)

G t A G in Term t T T e T T = − − + 1 ) ( _(O.19)

L’andamento di tale transitorio viene fornito sperimentalmente dalle misure in fiamma, in particolare viene notato che derivando tale espressione rispetto al tempo:

( )

₍

₎

t A G in t Term e A T T dt dT 1 1 −       − − = (O.20) e calcolandola all’istante

t

=

0

si ha:

( )

₌

₋

₍

₋

₎

_⇒

( )

₌

₋

₍

₋

₎

_⇒

= = G in p c t t Term G in t t Term

T

MC

S

h

dt

dT

T

A

dt

dT

0 0

1

( ) c t t Term

h

Cost

dt

dT

⋅

=

⇒

=0 (O.21)

dove la costante

Cost

_{è data da:}

(

in G

)

p T T MC S Cost=− − (O.22)

(5)

Il valore costante del coefficiente di scambio termico convettivo

h

_c può essere determinato calcolando la derivata della

T

_Term

(t

)

al tempo

t

=

0

_{(a meno di una costante moltiplicativa}

Cost

): ( )

₍

₎

( ) 0 0

1

= =

−

=

t t Term G in p t t Term c

dt

dT

T

MC

S

dt

dT

Cost

h

(O.23)

Il valore di

A

può essere esplicitato a seconda della dimensione e forma del giunto della termocoppia. Nel caso in cui possa essere approssimata ad una sfera di diametro noto

D

, la superficie di scambio

S

ed il volume

V

sono dati da:

2 D S =π _(O.24) 6 3 D V =π (O.25) e la costante

A

risulta: c p c p c p c p h DC A D h C D A S h VC A S h MC A 6 6 2 3 ρ π ρπ ρ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = (O.26) Nel caso di una giunzione di forma cilindrica caratterizzata da un diametro

d

e lunghezza

l

,

in cui il fluido scambia calore soltanto con la superficie laterale (moto fluido perpendicolare alla termocoppia) la costante

A

può essere definita come:

c p c p c p c p h dC A dl h lC d A S h VC A S h MC A 4 6 2 ρ π ρπ ρ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = (O.27)

Stima del flusso convettivo

Una volta stabilita la relazione tra il coefficiente di scambio termico convettivo

h

_c e la curva teorica rappresentante il transitorio termico della termocoppia tra due diversi punti di misura, è importante definire una procedura per riuscire ad estrarre le informazioni richieste dai dati sperimentali.

Nel caso in esame è stato realizzato un “fitting” ai minimi quadrati dei valori misurati al variare del coefficiente

h

_c, al fine d’approssimare l’andamento sperimentale della curva a quello teorico. La funzione di regressione scelta è appunto data dalla (O.19), e viene considerata la somma degli scarti quadratici tra i valori della funzione noti nei vari punti e quelli approssimanti:

(6)

( )

.

(

)

2 1 1

∑

= −         + − − =Nmis i G t A G in i c f T T e T h E (O.28) dove:

( )

h

c

E

= funzione errore, dipendente dal coefficiente

h

_c;

.

mis

N

= numero di misurazioni realizzate durante il transitorio termico; i

f

= dati sperimentali noti.

Lo scopo risulta quello di minimizzare tale sommatoria variando semplicemente il coefficiente

h

_c con il metodo di bisezione, al fine di determinare il migliore andamento approssimante.

Dopodiché, note tutte le proprietà della termocoppia, è stato possibile stimare il flusso termico convettivo, tramite la seguente relazione:

( )

[

G Term

]

Conv c

(

G in

)

c Conv

=

h

T

−

T

t

=

⇒

Φ

=

h

T

−

T

Φ

0

(O.29) Il procedimento descritto viene applicato alle seguenti campagne sperimentali:

• ossigeno-gas naturale, con rapporto di ricircolo R=0.61; • ossigeno-gas naturale, con rapporto di ricircolo R=0.69;

La prima analisi, realizzata in ossicombustione a metano con R=0.61, oltre che a valutare separatamente il flusso convettivo e radiativo, propone un confronto sulle portine n°1 e n°2 dei diversi andamenti della funzione approssimante al variare delle dimensioni delle giunzioni delle termocoppie utilizzate durante le misure. Questo perché, durante la campagne, si sono verificate delle rotture interne dei filamenti delle giunzioni, e per rendere nuovamente efficiente la termocoppia, è stato necessario effettuare delle successive operazioni di saldatura che hanno portato ad una variazione dimensionale della giunzione sferica esterna. Le nuove dimensioni, sono state così successivamente misurate, ricavando due diverse casistiche date da:

• un primo cilindro di diametro d = 0,001m e lunghezza l = 0,0018m, ottenuto da una saldatura;

• un secondo cilindro di dimensioni molto piccole (d = 0,0006; l = 0,0041m) dovuto al completo distacco della giunzione termica sulla termocoppia durante le misurazioni.

(7)

Le dimensioni analizzate sono riportate in Tabella O.1:

Tabella O.1 - Dimensioni giunzioni esterne della termocoppia comparate D term (caso sfera) d (caso cilindro 1) l (caso cilindro 1) d (caso cilindro 2) l (caso cilindro 2) (m) (m) (m) (m) (m) 0.0013 ≈ 0.001 ≈ 0.0018 ≈ 0.0006 ≈ 0.0041

Gli andamenti delle funzioni approssimanti sono mostrati nelle figure O.1e O.2.

Figura O.1 - Confronto T term sperimentale –Tterm teorico portina n°1 ossigeno-gas naturale (R=0.61)

Figura O.2 -Confronto T term sperimentale –Tterm teorico portina n°2 ossigeno-gas naturale (R=0.61) Il flusso termico convettivo stimato, nei diversi casi è mostrato nelle Tabelle O.2 e O.3:

Tabella O.2 - Confronto flusso convettivo nei diversi casi analizzati (portina n°1)

Caso analizzato Q conv

(kW/m²)

Sfera 20

Cilindro 1 3

(8)

Tabella O.3 - Confronto flusso convettivo nei diversi casi analizzati (portina n°2)

Caso analizzato Q conv

(kW/m²)

Sfera 4

Cilindro 1 4

In tutti i casi analizzati gli andamenti teorici della temperatura della termocoppia ricalcano abbastanza fedelmente l’andamento sperimentale; si nota invece una differenza nella stima del flusso termico convettivo dovuta da un diverso valore della costante

A

precedentemente definita. Per le stime successive, alla fine, è stato deciso di utilizzare la giunzione di tipo sferico, poiché in tale configurazione, oltre ad avere un’analisi dimensionale molto più precisa, sono state svolte la maggioranza delle misurazioni.

Nelle figure O.3, O.4, O.5 e O.6 sono riportati gli andamenti delle funzioni approssimanti ottenuti con il “fitting” ai minimi quadrati nel caso di giunzione di forma sferica.

Figura O.3 - Confronto T term sperimentale –Tterm teorico portina n°4 oxy-gas (R=0.61)

(9)

Il flusso termico radiativo viene semplicemente stimato sottraendo dal flusso termico totale misurato con il LAND heat flux meter il flusso convettivo precedentemente valutato.

Tabella O.4 - Stima flusso termico radiativo oxy-combustion gas naturale R=0.61

Portina n°

Φ

Tot

Φ

Conv ΦIrr

(kW/m²) (kW/m²) (kW/m²) 1 290 20 270 2 295 4 291 4 325 1 324 6 288 2 286 10 175 6 169 14 135 6 129

(10)

Figura O.7 - Andamento flussi termici lungo le pareti (caso oxy-combustion gas metano R=0.61) Nelle figure O.8 e O.9 viene mostrato l’andamento del singolo flusso convettivo e del coefficiente di scambio termico

h

_c lungo le pareti.

Figura O.8 - Andamento flusso termico convettivo lungo le pareti (caso oxy-combustion gas metano R=0.61)

Figura O.9 - Andamento

h

_c lungo le pareti (caso oxy-combustion gas metano R=0.61)

La seconda analisi è stata svolta sui dati ottenuti durante la campagna sperimentali

oxy-combustion a gas metano con R=0.69. Anche in questo caso il giunto della termocoppia viene

considerato come una sfera di D = 0.0013 m. Nelle figure O.10, O.11, O.12, O.13, O.14 e O.15 sono rappresentati degli andamenti delle funzioni approssimanti ricavate attraversi il “fitting” ai minimi quadrati dei valori sperimentali.

(11)

(12)

Figura O.15 - Confronto T term sperimentale –Tterm teorico portina n°14 ossigeno-gas naturale (R=0.69) Il flusso termico radiativo stimato è mostrato in Tabella O.O:

Tabella O.O - Stima flusso termico radiativo oxy-combustion gas naturale R=0.69

Portina n°

Φ

Tot

Φ

Conv ΦIrr

(kW/m²) (kW/m²) (kW/m²) 1 230 - 230 2 260 - 260 4 270 - 270 6 270 1 269 10 167 5 162 14 140 1 139

(13)

L’andamento del singolo flusso convettivo e del coefficiente

h

_csulle pareti è mostrato nelle figure O.17 e O.18 .

Figura O.17 - Andamento flusso termico convettivo lungo le pareti (caso oxy-combustion gas metano R=0.69)

Figura O.18 - Andamento

h

_c lungo le pareti (caso oxy-combustion gas metano R=0.69)

Conclusioni ed analisi dei risultati

La tecnica precedentemente descritta propone come obbiettivo principale quello di identificare e valutare i singoli contributi di calore con l’utilizzo di un’unica sonda, appunto la suction pyrometer. I risultati evidenziano come il flusso convettivo dei gas alle pareti risulti trascurabile, con un coefficiente di scambio termico

h

_c che mediamente oscilla tra i 5 e gli 80W/m²K. Le conclusioni raggiunte con questa metodologia, però, devono essere prese con giudizio critico e riscontrate con un’analisi sperimentale. Infatti è possibile verificare che i valori ricavati siano dipendenti sia dalla scelta della costante A definita nel paragrafo O.1, sia dal precedente punto di misura e come, già durante la movimentazione della sonda, sia presente un piccolo transitorio termico. Ecco perché, per riuscire a validare ed eventualmente quantificare l’errore commesso da questa tecnica, è necessario valutare un flusso termico convettivo sperimentale. Quest’ultimo può essere misurato sottraendo dal flusso di calore totale misurato direttamente con il LAND total heat flux meter il flusso radiativo di calore ricavato da un eventuale radiometro. Viene di seguito ricordato come questo strumento riesca

(14)

a misurare il flusso di calore radiativoΦ_R incidente su di un elemento superficiale piano. Il valore sperimentale così ottenuto dovrà essere comparato con quello teorico derivante dalla tecnica prima descritta.

Concludendo l’ipotesi e la metodologia analizzata richiede ulteriori sviluppi, in particolare il confronto dei risultati teorici con quelli sperimentali ed eventualmente un’integrazione modellistica CFD.

Infine viene sottolineato come già sia presente una particolare sonda in grado di misurare il calore convettivo dei gas all’uscita della fornace, prima dell’ingresso della sezione convettiva. La sonda in esame è composta da due tubi concentrici di area nota A raffreddata ad aria, in cui il flusso dei gas da analizzare viene controllato al fine di mantenere una temperatura costante

di 300°C all’interfaccia

del tubo di metallo.

Figura O.19 -Sonda per la misura del flusso convettivo

Grazie a delle termocoppie è possibile stimare la temperatura d’ingresso dei gas

T

_in e la temperatura esterna dell’aria

T

_ext,e da un bilancio termico all’interfaccia metallica si ha:

ricavando così il coefficiente

h

_c:

(

)

(

)

₍

(

₎

)

metallo in ext metallo p aria c metallo in c conv ext metallo p aria T T A T T C m h T T A h Q T T C m − − = ⇒ − = = − • • (O.30) La stima del coefficiente

h

_c risulterà così di grande importanza, visto la presenza della sezione convettiva posta subito dopo l’uscita dalla fornace, in cui caldi vengono raffreddati fino ad una temperatura di circa 400 ° C. con la formazione di vapore.