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Show that for an arbitrary positive integer n n X r=0 (−1)rn r 2n − 2r n −1

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Academic year: 2021

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Problem 11212

(American Mathematical Monthly, Vol.113, March 2006) Proposed by D. Beckwith (USA).

Show that for an arbitrary positive integer n

n

X

r=0

(−1)rn r

2n − 2r n −1



= 0.

Solution proposed by Roberto Tauraso, Dipartimento di Matematica, Universit`a di Roma “Tor Vergata”, via della Ricerca Scientifica, 00133 Roma, Italy.

We will prove that for 0 ≤ k ≤ n − 1,

E(n, k) :=

n

X

j=0

(−1)jn j

2j k



= 0.

Then the result follows immediately

n

X

r=0

(−1)rn r

2n − 2r n −1



=

n

X

r=0

(−1)r

 n n − r

2(n − r) n −1



= (−1)nE(n, n − 1) = 0.

Note that

E(n, 0) =

n

X

j=0

(−1)jn j



= (1 − 1)n= 0 for n ≥ 1

E(n, 1) =

n

X

j=1

(−1)jn j



2j = 2n

n

X

j=1

(−1)jn − 1 j −1



= −2n(1 − 1)n−1= 0 for n ≥ 2.

Now assume that E(n − 1, k) = 0 for 0 ≤ k ≤ n − 2 and let 2 ≤ k ≤ n − 1 then

E(n, k) = −

n

X

j=1

(−1)j−1n j

n − 1 j −1

 2j k

2j − 1 k −1



= −2n k

n

X

j=1

(−1)j−1n − 1 j −1

2j − 1 k −1



= −2n k

n−1

X

j=0

(−1)jn − 1 j

2j + 1 k −1



= −2n k

n−1

X

j=0

(−1)jn − 1 j

  2j k −2

 +

 2j k −1



= −2n

k [E(n − 1, k − 2) + E(n − 1, k − 1)] = 0

and the proof is complete. 

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