Teoria della relatività-5
10 novembre 2014
Trasformazionie dell’energia e della QM
Trasformazione della densita` di corrente e di carica Invarianza delle eqq. di Maxwell
Trasformazioni dei campi E e B tra sistemi inerziali Tensore del campo elettromagnetico
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Trasformazioni di p e E
• Si può dimostrare che le tre componenti della QM e l’energia si trasformano come le tre
coordinate e il tempo
x z
z
y y
x x
vp E
E
p p
p p
c E p v
p
' '
'
'
233
Trasformazioni di p e E
• Introducendo la variabile p0=E/c, e dette p1=px, p2=py, p3=pz, abbiamo la forma più simmetrica
• Nello spazio-tempo la quaterna (p0, p1, p2, p3) è un 4- vettore e le TdL ne trasformano le componenti tra loro, in particolare ‘mescolano’ QM ed energia
3 3
2 2
1 0
1
1 0
0
' ' '
'
p p
p p
p p
p
p p
p
44
Trasformazioni di j e
• Si può dimostrare che anche le tre componenti del vettore densità di corrente j e la densità di carica formano un 4-vettore dello spazio-tempo
• Le eqq. di trasformazione sono quindi
jx'
jx v
jy' jy jz' jz
' v c2 jx
5
Invarianza delle eqq. di Maxwell
• Dal principio di relatività possiamo concludere che le eqq. di Maxwell devono avere la
stessa forma in ogni sistema di riferimento inerziale, devono cioè essere invarianti
• Vediamo come da questa affermazione
possiamo ricavare le leggi di trasformazione
dei campi E e B tra due sistemi inerziali
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Invarianza delle eqq. di Maxwell
• Per invarianza intendiamo che se nel sistema S sono presenti i campi E e B e le eqq. sono
• allora nel sistema S’ sono presenti i campi E’ e B’, e le eqq. devono essere
'
E '
B '
t'
'
E ' ' 0
'
B ' 0J '00 E '
t'
'
B ' 0
E
B
t
E 0
B 0J 00 E
t
B 0
7
Trasformazioni di E e B
• Per semplicità consideriamo le eq. in cui non
compaiono e J, e usiamo le componenti cartesiane
• Nella trasformazione di coordinate, dobbiamo scoprire come esprimere gli operatori differenziali e la derivata rispetto al tempo
Ez
y Ey
z Bx
t
Bx
x By
y Bz
z 0
Ex
z Ez
x By
t
Ey
x Ex
y Bz
t
8
Trasformazioni di E e B
• Vediamo come si trasforma la derivata rispetto a x
• Dalle trasformazioni di Lorentz
• Ne segue
• Allo stesso modo si trova
x x'
x
x' y'
x
y' z'
x
z' t'
x
t'
y'
x z'
x 0
t'
x v c2
x'
x
x
x' v c2
t'
y
y'
z
z'
t
t' v
x'
9
Trasformazioni di E e B
• L’eq. di Faraday diviene
• E l’eq. di Gauss per B
Ez
y' Ey
z' Bx
t' v Bx
x'
Bx
x' v c2
Bx
t'
By
y' Bz
z' 0
Ex
z' Ez
x' v c2
Ez
t'
By
t' v By
x'
Ey
x' v c2
Ey
t'
Ex
y' Bz
t' v Bz
x'
10
Trasformazioni di E e B
• Raggruppiamo i termini nella componente y dell’eq. di Faraday
• E imponiamo la condizione di invarianza alla componente y’ del sistema S’
• Dal confronto delle due eqq. ne segue
z y
y z
x E
c B v
vB t x E
z E
' 2
'
'
E'x
z' E'z
x' B'y
t'
B'y By v c2 Ez
E'x Ex
E'z
Ez vBy
11
Trasformazioni di E e B
• Possiamo ripetere il calcolo per la componente z
• E imporre la condizione di invarianza alla componente z’ del sistema S’
• Dal confronto delle due eqq. ne segue
B'z Bz v c2 Ey
E'x Ex
E'y
Ey vBz
Ey
x' v c2
Ey
t'
Ex
y' Bz
t' v Bz
x'
E'y
x' E'x
y' B'z
t'
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Trasformazioni di E e B
• Infine dalla componente z della legge di Faraday e dalla legge di Gauss
• troviamo la legge di trasformazione di B
x
B'x Bx
Ez
y' Ey
z' Bx
t' vBx
x'
Bx
x' v c2
Bx
t'
By
y' Bz
z' 0
13 13
Trasformazioni di E e B
• Riassumendo
• Cioè le componenti del campo E in S dipendono sia dalle componenti di E’ che di B’ in S’
• Idem per le componenti del campo B
y z
z
z y
y
x x
vB E
E
vB E
E
E E
'
' '
y z
z
z y
y
x x
c E B v
B
c E B v
B
B B
2 2
' ' '
14 14
Trasformazioni di E e B
• In forma vettoriale
• ove // e si riferiscono al vettore velocità
• Nota:
• Questa forma può essere applicata anche ad altri sistemi di riferimento (p.e. cilindrico)
E
c B v
B
B B
2 //
//
' '
E v B
E
E
E
'
'
////
B v B B
v B
v
//
15 15
Relazioni tra E e B
• L’esempio classico della relazione tra un campo E e un campo B in due sistemi di riferimento è quello di una
particella carica a distanza r da un filo percorso da corrente
• Mettiamoci nel sistema S in cui il filo e` fermo, c’è una
corrente i dovuta a elettroni e una particella (q>0) in moto con velocità v rispetto al filo
• In S c’è campo magnetico e una forza magnetica radiale
F m qv
B qvB ˆ
r
Fm qv 0 2
i
r
B 0 2
i r ˆ
i- v
B
Fm S
16 16
Relazioni tra E e B
• Il filo è elettricamente neutro, quindi la densità degli elettroni (in moto) e quella degli ioni positivi (fermi) è uguale e contraria
• Mettiamoci ora nel sistema S’ in moto parallelamente al filo con velocità v, di modo che la particella risulti (anche se per un solo istante) ferma
• In S’ non c’è forza magnetica (la particella è istantaneamente ferma)
0S’ i’
17 17
Relazioni tra E e B
• Vediamo qual è la densità di carica nel filo
• Dalle eqq. di trasformazione di j e , moltiplicando per la sezione a del filo, otteniamo
i'
i v
' v c2 i
a c j
a v a
a j a
j
a j a
j
a v a j a
j
x z
z
y y
x x
' 2
0 '
0 '
'
18 18
Relazioni tra E e B
• Per la carica positiva e negativa avremo rispettivamente le densità
• e in totale una densità negativa per il filo
• In S’ esiste quindi un campo elettrico e una forza elettrica radiale diretta verso il filo
' v c2 i
' v c2 i
' ' ' v c2 i
cv2 i v c2 i
F 'e q 1 20
' r r ˆ
F’e i’
S’
19 19
Relazioni tra E e B
• Sostituiamo il valore della densità di carica
• Cioè mentre in S c’è un campo magnetico, ma non un campo elettrico e quindi c’è solo una forza magnetica Fm, in S’, c’è un campo magnetico, ma non una forza magnetica, c’è inoltre un campo elettrico e quindi una forza elettrica F’e
• Queste due forze: Fm (in S) e F’e (in S’) si corripondono mediante le eqq. di trasformazione delle forze (che non abbiamo ricavato) e che nel nostro caso si riducono al fattore motiplicativo
F'e q 1 20
'
r q 1
20 v c2
i r
q 1
20 00v i r
qv 0 2
i r
qvB
Fm20 20
Tensore del campo e.m.
• In relatività l’intima relazione tra i campi E e B viene resa palese
• Si può infatti pensare alle tre componenti del campo E e alle tre di B come le sei componenti di un unico ente più complesso, il quadri-tensore (antisimmetrico) del campo elettromagnetico
0 0
0 0
x y
z
x z
y
y z
x
z y
x
cB cB
E
cB cB
E
cB cB
E
E E
E F
