Teoria della relatività-2
7 gennaio 2015
Conseguenze cinematiche delle TdL Dilatazione del tempo, muoni atmosferici Contrazione delle lunghezze
Sfasamento degli orologi Grandezze proprie
Relativita` della simultaneita` (approccio quantitativo)
222
Conseguenze cinematiche
• Dilatazione del tempo: supponiamo che un orologio a riposo nel sistema S’ in un punto di coordinata x’
misuri un intervallo di tempo
• Per trovare il corrispondente intervallo di tempo T in S, applichiamo l’eq. di trasformazione del tempo, ricordando che x’2 = x’1
• Sottraendo membro a membro
' '
' t
2t
1T
t
2 t
2' v c
2x'
t
1 t
1' v c
2x'
T t
2 t
1 t
2' t
1' T'
333
Dilatazione del tempo
• Quindi si ha cioè una dilatazione del tempo
• Questo significa che se misuriamo il tempo caratteristico di un sistema fisico (o biologico) che non sia in quiete nel nostro sistema di riferimento inerziale (SRI), la misura produce un valore maggiore di quella effettuata nel SRI in cui il sistema fisico (o biologico) e` in quiete
• Ovvero il ritmo del nostro orologio e` maggiore di quello
dell’orologio nel sistema in moto, fatto che si esprime dicendo che l’orologio in moto ritarda
• A differenza degli orologi di uno stesso SRI, che hanno lo
stesso ritmo, orologi in diversi SRI in moto relativo hanno ritmi diversi
' ' T T
T
4
Dilatazione del tempo
• Consideriamo un orologio in quiete in S’, il cui ritmo e` dato dal tempo di andata e ritorno T’ tra due specchi paralleli
distanti h’
4
x’
y’
S’ h’
• Nel sistema S, rispetto a cui S’ e gli specchi si muovono con velocita`
v, i due specchi distano h=h’ e il cammino ottico del raggio luminoso e`
• ove x e` lo spazio percorso dagli specchi nel tempo in cui il raggio percorre l
c T 2h'
'
x
2
2 2
2l h x
l h v
S
5
• Valgono le relazioni
• Risolvendo per h
• e quindi T , il ritmo dell’orologio misurato nel sistema S, risulta
• Ma poiche’
• Ne concludiamo che
Dilatazione del tempo
5
1 2
2
2 2
2 2
2 2
2 Tc
c v v Tc
T c x
l
h
2 vT x
c T 2h
x
l h v
S
' T T
c h c
T 2h' 2 ' 2
cT l
6
Muoni atmosferici
• I raggi cosmici sono formati da particelle che, provenienti dallo spazio, interagiscono con i nuclei delle molecole d’aria
dell’atmosfera, dando origine a sciami di particelle, alcune delle quali raggiungono terra
• Tra queste c’è il muone, una particella instabile di massa pari a 106 MeV e vita media ’ = 2.2 s
• I muoni vengono prodotti ad un’altezza di circa 15 km da terra, con un’energia media di 4 GeV
• Qual è la distanza che un muone percorre in media prima di
decadere? Siccome a questa energia la velocità del muone è circa c, la risposta sembrerebbe semplicemente
6
L v' c' 660m
7
Muoni atmosferici
• Ma se così fosse, come potremmo osservare muoni a terra?
• Il punto è che ’ è la vita media nel sistema di riferimento S’ in cui il muone è a riposo, non nel sistema S in cui si trova l’osservatore
• Noi osserviamo una vita media dilatata del fattore e quindi lo spazio percorso dai muoni è
• Per muoni di 4 GeV di energia il fattore vale circa 40, per cui la vita media nel sistema S risulta
• e la lunghezza di decadimento è
• più che sufficiente per raggiungere terra
7
L v' c'
L 40 660m 26km
' 40 2.2 88s
888
Conseguenze cinematiche
• Contrazione delle lunghezze: siano x1’ , x2’ le estremità di un regolo disposto lungo x’ fermo nel sistema S’, la cui lunghezza in S’ vale
• Per trovare la corrispondente lunghezza L in S,
applichiamo l’eq. di trasformazione di x, x’ tenendo conto che t2 = t1
• Sottraendo membro a membro e invertendo
L' x
2' x
1'
x
2' x
2 vt
x
2' x
1' x
2 x
1
x
1' x
1 vt
L x
2 x
1 x
2' x
1'
L'
999
Contrazione delle lunghezze
• Quindi si ha cioè una contrazione della lunghezza
• Ovvero: se misuriamo la lunghezza di un oggetto che non sia in quiete nel nostro sistema di riferimento, la misura produce un valore minore di quella effettuata nel sistema di riferimento in cui l’oggetto e` in quiete
L L'
L'
10 10 10
Grandezze proprie
• La lunghezza di un regolo nel sistema in cui è fermo si dice lunghezza propria L0
• La misura di una lunghezza e` sempre minore o uguale alla lunghezza propria L<L0
• Il tempo segnato da un orologio nel sistema in cui è a riposo si dice tempo proprio T0
• La misura di un tempo e` sempre maggiore o uguale al tempo proprio T>T0
11 11 11
Contrazione delle lunghezze (2)
• Un altro modo di ottenere il risultato si basa sulla dilatazione del tempo
• Supponiamo di essere solidali al sistema S’ in moto con velocita` v rispetto al sistema S
• Sia L0 la lunghezza propria di un oggetto in quiete in S (cioe` quella misurata in S)
• Ora, invece di misurare le due estremita` dell’oggetto in moto allo stesso tempo, le misuriamo nello stesso luogo x’
in due istanti diversi t1’, t2’ corrispondenti al nostro passaggio davanti alle estremita` dell’oggetto
(x’, t1’) v
S’ (x’, t v
2’)
S’
12 12 12
Contrazione delle lunghezze (2)
• Noi transitiamo da un’estremita` all’altra nell’intervallo
• Ove L’ e` la lunghezza da determinare e t’ e` un
intervallo di tempo proprio, in quanto misurato con un solo orologio
• Un osservatore in S, solidale con l’oggetto, ci vede transitare da un’estremita` all’altra in un intervallo di tempo
• Intervallo non proprio, in quanto misurato con due orologi, uno per ciascuna estremita`
t' L' v
v L t
0
13 13 13
Contrazione delle lunghezze (2)
• La relazione tra gli intervalli di tempo nei due sistemi e`
• E per conseguenza la lunghezza misurata in S’ vale
L' vt' v t
L0
't t
Sfasamento degli orologi
• Due orologi sincronizzati A’, B’, a riposo nel sistema S’, posti in punti con diversa
coordinata x’ (x’
A, x’
B), risultano sfasati per un osservatore nel sistema S
• Nel sistema S misuriamo, ad un dato istante t
A=t
B, i tempi segnati da A e B (gli orologi in S corrispondenti a A’, B’)
14
A AA
x
c t v
t '
2'
B BB
x
c t v
t '
2'
Sfasamento degli orologi
• Da cui segue
• Cioè più l’orologio con coordinata x’ maggiore (B) è lontano dall’altro (A), più grande è il suo ritardo di fase su questo
• Per l’osservatore nel sistema S, i due orologi, pur avendo ugual ritmo (rallentato rispetto a quello degli orologi in S), non risultano
sincronizzati
15
B A
A
B
x x
c t v
t ' '
2' '
Sfasamento degli orologi
• La cosa puo` essere vista anche con le trasformazioni inverse, in funzione della distanza tra gli orologi (lungo la direzione del moto relativo) misurata in S (di nuovo tA=tB)
• Da cui
• Notare che una distanza lungo direzioni diverse da x non influisce sullo sfasamento
16
B A
A
B
x x
c t v
t ' '
2
A AA
x
c t v
t '
2
B BB
x
c t v
t '
217
Relatività della simultaneità (2) descrizione in S
• Riprendiamo la discussione: ricordiamo che (in S)
e AB=L e` una lunghezza propria
• S giudica che per S’ i due fulmini non siano
simultanei ma siano separati temporalmente da un intervallo di tempo che in S vale
v 17
O’ S’
O S
A B
S’ v O’
O S
A B t1
t2
1
2
t
t t
2
/ L OB
AO
18
Relatività della simultaneità (2) descrizione in S
• Ove t1 e` il tempo che la luce impiega (in S) per andare da B=B’ a O’ e t2 quello per andare da A=A’ a O’
• t1 e` tale per cui mentre la luce percorre lo spazio BO’=ct1, O’ si muove a destra di O della quantita` vt1 ovvero e quindi
18
S’ v O’
O S
A B
t1
2
1
/
1
vt OB L
ct
c L v
t
1
2
S’ v O’
O S
A B
t2
19
Relatività della simultaneità (2) descrizione in S
• Similmente t2 e` tale per cui mentre la luce percorre lo spazio AO’=ct2, O’ si muove a destra di O della
quantita` vt2 ovvero
• E quindi
19
S’ v O’
O S
A B t2
2 2
2
AO vt L / 2 vt
ct
c L v
t
2
2
20
Relatività della simultaneità (2) descrizione in S
• Tra i due fulmini intercorre dunque il tempo
• Questo tempo non e` proprio, in quanto in S gli istanti di tempo vengono registrati da due orologi diversi:
ciascuno in corrispondenza della posizione occupata dal punto O’ rispetto ad S quando O’ riceve i due
segnali
20
2 2
22
2 2 22
v L v
c
v L
v c
L v
c
t L
21
Relatività della simultaneità (2) descrizione in S’
• Come descrive i fatti l’osservatore in S’?
• Innanzitutto se per S
21
A B
l AB Ll
' '
S’ v O’
O S
A B
A’ B’
22
Relatività della simultaneità (2) descrizione in S’
• Allora S’, a causa della contrazione delle lunghezze, concludera` che la lunghezza di A’B’ (propria in S’) vale
• mentre per AB misurera` la lunghezza
22
A B L L
l ' ' ' '
/
' AB L
l
v O’ S’
O S
A B
A’ B’
23
Relatività della simultaneità (2) descrizione in S’
• L’intervallo di tempo tra i due fulmini (in S’) si puo` calcolare notando che esso corrisponde al tempo impiegato dal regolo in S per spostarsi dalla posizione in cui B=B’ a quella in cui A=A’ e quindi
23
21
2 2' '
' ' '
v L v
L v
L L
v
AB l
B A
t l
v
O’
O
A B
A’ B’
O’
O S
A B
A’ B’
v
t’2 t’1
' '
' t
2t
1t
S’
S S’
24
Relatività della simultaneità (2)
• Questo intervallo e` proprio perche’ gli istanti di tempo in cui i segnali dei fulmini arrivano in O’ vengono
registrati da un solo orologio, quello in O’
• La relazione tra gli intervalli di tempo nei due sistemi deve dunque essere
• Che, riscrivendo le formule trovate, e` proprio quel che accade
24
2 2' v
t L
t t
'
2 2
v
t L
GPS
• Nel sistema Global Positioning System (GPS) sono considerati gli effetti relativistici sul tempo
• Qui è presente anche un effetto di relatività
generale: orologi posti in potenziali gravitazionali diversi risentono di una diversa dilatazione del tempo
• Questo effetto si sovrappone al quello della relatività ristretta, con il risultato che il tempo scorre in modo diverso sui satelliti e al suolo
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GPS
• Le differenze sono minuscole, ma senza
correzione non riusciremmo a localizzare la nostra posizione
• La precisione nella posizione dipende dalla
precisione con cui misuriamo il tempo di andata e ritorno dei segnali scambiati tra il nostro
apparecchio e i satelliti orbitanti
• Se vogliamo una precisione spaziale di qualche metro, ci serve una precisione temporale di una decina di nanosecondi
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GPS
• L’effetto di relatività ristretta ammonta a circa 7
s/giorno di ritardo dell’orogio del satellite rispetto al nostro a terra
• Il minor potenziale gravitazionale in cui si trova il satellite comporta un anticipo di circa 45 s/giorno
• In totale avremmo 38 s/giorno di anticipo e siccome ogni microsecondo corrisponde a 300 metri, ignorare le correzioni relativistiche
comporterebbe un errore maggiore di 10 km/giorno
27
