Teoria della relatività-4

Teoria della relatività-4

19 dicembre 2014

Nuova definizione della quantità di moto Teorema dell’energia cinetica

Espressione dell’energia cinetica Energia relativistica, energia a riposo Relazione tra energia e QM

Conservazione dell’energia relativistica Relazione tra forza e accelerazione Forza parallela alla velocità

Forza perpendicolare alla velocità

Quantità di moto

• Si puo` dimostrare che in relatività bisogna introdurre una nuove definizione di quantità di moto (di un punto materiale di massa m), affinche’ il principio di

conservazione di questa grandezza continui a valere

• La definizione classica viene ora sostituita da

u m p   

  ^{u u}

m

p    

33

Energia cinetica

• Vogliamo trovare l’espressione dell’energia cinetica per una particella che viene accelerata da una forza F da velocità iniziale u_A fino ad una velocità u_B

3

F u

44

Energia cinetica

• Partiamo dal lavoro elementare

• Esplicitiamo il differenziale della QM

• Il lavoro finito è

u p dt d

s p d

d s

dt d p s d

d F

dW        

















 

 ^{m u u}  ^{md u m d u}

d p

d          



W  dW

A

B

 ^{  md  u   m  d u }

A

B

 ^{  u  m u   u d }

A

B

 ^{ m  u   d u}

A

B

 ^

 mu

d 

A

B

 ^{ m  udu}

A B



4

55

Energia cinetica

• Esprimiamo u in funzione di 

• Otteniamo

• Il lavoro della forza esterna si ritrova come variazione di energia cinetica del corpo (th.

dell’energia cinetica)



du  c²

u^{3 d}



u²  c² 1 1

²



 







B

A B

A B

A

mc d

mc c d

m d

mc

W    

 

 ^ _ ^{   }

 



 

 

^{1 1}





A

B

K

K

W  

5

Energia cinetica

• E quindi l’energia cinetica si puo` scrivere come

• Per determinare la costante poniamo u_A=0, in tal caso =1 e K=0, ne segue

• L’energia cinetica è dunque

• Si introduce anche l’energia relativistica

• Tale relazione stabilisce l’equivalenza tra massa ed energia

• Il termine è la cosiddetta energia a riposo, cioè quella posseduta dal corpo fermo

2

const . mc

K   

. mc

const  

 ¹ 

2



 mc  K



2

2

mc

mc K

E   

mc

77

Relazione tra K e p in meccanica classica

• Possiamo esprimere K in funzione di p eliminando v dalle equazioni classiche

• Troviamo le relazioni



K  1

2 mv

p  mv



K  p

2m



p  2mK

7

Relazione tra E e p in relatività

• Similmente in relatività eliminiamo v dalle eqq.

• Dividendo membro a membro otteniamo

• Reintroducendo u in 

• e sostituendo in E abbiamo

c

m

E   ^{p  m  u}



u  pc² E

2 2

2 p c

E E

 



4 2 2

2

2

p c m c

E  

99

Particelle senza massa

• Un’onda em puo` essere considerata, in meccanica quantistica, come un insieme di fotoni, particelle

senza massa che viaggiano alla velocita` fissa c

• Molte delle relazioni che abbiamo trovato perdono di significato per particelle di massa nulla

• Esempi ne sono , ove la massa è nulla e  è infinita

• La relazione continua invece a valere e diviene semplicemente

9

c

m

E   p  m  u

4 2 2

2

2

p c m c

E  

pc

E 

Casi limite di E e p in relatività

• Caso u<<c ,  diventa

• QM ed energia diventano, all’ordine piu` basso in u

• L’energia cinetica diventa

• Cioè ritroviamo le espressioni newtoniane per p e K

• Caso ultrarelativistico u~c , QM ed energia diventano

2 2

2 2 2

2 1 2

1 1 mc mu

c mc u

E   



 

 

mu

p 

2 2 2

2 2

1 1 1

1

c u c

u  

 



m mu p

mc E

K 2 2

1 ₂ ²

2  





c m

p   E  pc

Conservazione di E

• Si puo` dimostrare che l’energia relativistica E di un sistema isolato si conserva

• Poiche’ E è somma di energia cinetica K e energia a riposo, ne segue che, in generale, ne’ K ne’ l’energia a riposo (la ‘massa’) si

conservano separatamente

• Vediamo un esempio semplice

11

mc

K

E  

Conservazione di E

• Supponiamo di avere due corpi di massa m che si urtano centralmente con velocità uguali e contrarie

• Inizialmente abbiamo una massa, un’energia cinetica e un’energia relativistica pari a

 

 

 

2

1 1 2 1

2

mc mc

mc K

m m

m M

i i





     









Conservazione di E

• Supponiamo che l’urto sia totalmente

anelastico, nello stato finale avremo un unico oggetto fermo di massa M

• Dopo l’urto abbiamo una massa, un’energia cinetica e un’energia relativistica pari a

13 2

0 Mc E

K

M M

f f

f







Conservazione di E

• Applichiamo ora la conservazione di E:

• Ne segue che cioè la massa finale è maggiore della massa iniziale

• Poiche’ l’urto è totalmente anelastico, c’è perdita di energia cinetica



2

2

2mc

Mc 

E E 

 ¹ 

2

0 





 K mc 

K

 ¹ 

2 2

2   



 M m  m m 

M

Conservazione di E

• Per il primo principio della termodinamica ci

dev’essere una produzione di calore Q (<0) pari alla perdita di energia cinetica

• Dal punto di vista relativistico, a questo calore corrisponde l’aumento di massa del sistema

• Questo è un’esempio di equivalenza tra massa ed energia

15

 ¹ 

2









 K K mc 

Q

2

 0

 

 c

M Q

M

Conservazione di E

• In realtà il concetto di massa va pensato non come somma delle sole masse dei singoli costituenti il sistema, ma anche dell’energia interna del sistema

• In tal modo la ‘massa relativistica’ si conserva, è infatti un’altro modo di scrivere la conservazione dell’energia relativistica

 

f

i m

c m mc

c K m K

m M

M   



 







 

1 2

2 2 ₂

2 2

2 1

f

i

m c c E

E  2 

 M



17 17 17

Relazione tra accelerazione e forza

• Partiamo dall’eq.

• Ricordando che

• Abbiamo

• Sostituendo nell’espressione della forza e ricordando che

• otteniamo





F   d p

dt  d

dt  m  u ^  ^{ m d }

dt

u   m  ^{d u} dt



K  E  mc

 m  c

 mc



dK

dt  dE

dt  m d  dt c





a   d u

dt u F u

dt p d dt

u p d dt

dW dt

dK      







 





  ^{F u m a}

c u dt

u m d

dt u m d

F     

 



 _  _{  }



• Risolvendo per l’accelerazione

• Questa eq. ci dice che in generale

l’accelerazione non è parallela alla forza

• Ci sono due casi in cui accelerazione e forza sono parallele

– Quando la forza è parallela alla velocità – Quando è perpendicolare alla velocità

  ^{F u}

c m

u m

a F    

  







Relazione tra accelerazione e forza

19 19 19

F parallela a u

• In questo caso particolare

• E l’accelerazione diviene

• Accelerazione e forza sono proporzionali tramite il fattore detto “massa longitudinale”





a  

F 

m  ^

F 

m  u

c



F 

m  ^{1 } u

c



  

 

F 

m 

  ^{F u u Fu F u}

u        



m 

F parallela a u (esempio)

• Consideriamo una particella di massa m e carica q, inizialmente ferma, soggetta ad un campo elettrico E diretto lungo x

• Passando alla proiezione lungo x

• E separando le variabili

• La soluzione è





a  

F 

m 

^

q 

E m 



a  dv

dt  qE m 

^



   v

   v

^{dv   dt}

  ^{v dv}

^{dt t}

v

     



F

21 21 21

F parallela a u (esempio)

• Per risolvere l’integrale cambiamo variabile

• Quindi

• Risolvendo per v

  ^



c v v c w

w dw c

c v dv dv

v

w

w v

v 



 

 

 





 













2 2 2

0 3

2 3 2 0 2

3

1 1

1 2



w  c v



  

 

2

1

t c

v

v v 





2 2

1



v t

 

^

1





qE m t 1 qEt

mc



 



2

22 22 22

F parallela a u (esempio)

• Per la posizione moltiplichiamo per v l’eq. del moto

• Ricordando che vale la relazione

• otteniamo

• e integrando

• Sostituendo il valore trovato per la velocità otteniamo



v    v

^{dv   vdt   dx}



d 

dv  v

c



  ^{v dv c d dx}

v 



  



 ^{c d }

^dx

0 1

2

 





c

  1  ^{  x}

x t

 



t

v 1



 

 mc²

qE 1 qE mc t



 



2

1













23 23 23

F parallela a u (esempio)

• Il limite per dà i risultati classici

• Il limite per dà il limite relativistico



t 0





t

F perpendicolare a u

• In questo caso particolare

• E l’accelerazione diviene

• Accelerazione e forza sono proporzionali tramite il fattore detto “massa trasversale”





a  

F 

m 





F    u  0

m 

25 25 25

F perp. a u (esempio)

• Consideriamo una particella di massa m e carica q(<0), soggetta ad un campo magnetico B uniforme diretto lungo z e con velocità iniziale contenuta nel piano perpendicolare a z

• La forza agente sulla particella è

• ed è contenuta nel piano perpendicolare a z

• Da cio` segue che la velocità è sempre contenuta in tale piano

B u

q

F   





B u

F

F perp. a u (esempio)

• Dette t e n le direzioni tangente e normale alla traiettoria, l’accelerazione diviene

• e l’eq. del moto

• Poiche’ la forza di Lorentz è sempre perpendicolare alla velocità quest’ultima dev’essere costante in modulo e quindi du/dt=0, esattamente come in meccanica classica

B u

F

R n t u

dt a du

a

a   

 

 ˆ 

ˆ

 

 



 







 n

R t u

dt m du

a m n

uB q

F ˆ ˆ ˆ



 ^



27 27 27

F perp. a u (esempio)

• L’eq. del moto diviene allora

• Da cui ricaviamo il raggio (locale) della traiettoria

• Siccome u è costante, ne segue che, se B è

uniforme, anche R è costante, cioè la traiettoria è

una circonferenza B

u

F

R m u

uB q





B u

q

R _ m 

F perp. a u (esempio)

• Noto R possiamo esprimere la velocità, la QM e la velocità angolare come segue

m R B u q

  p  q BR

 

m B q R u 



29 29 29

a caso generale

• L’accelerazione può essere espressa come

3

||

||

 m 

F m

a F a

a

 





 

 

