le rette r

1

Geometria per Informatica a.a. 2007 - 2008 Foglio 1

Esercizi su spazi affini

1. Siano date in R

²

le rette r

1

: x-y+7=0, r

2

: 2x+y-4=0.

a) Provare che r

₁

ed r

₂

sono incidenti

b) Sia r

₃

la retta passante per A(7,0) e B(0,4). Determinare, in forma cartesiana, la retta r

₄

passante per il punto di intersezione di r

₁

con r

₂

, e parallela a r

₃

.

2. Siano dati in R

²

i punti A(1,2), B(-3,5). Stabilire se il punto C(2,-3) sta sulla giacitura della retta passante per A e B.

3. Siano dati in R

²

i punti A(2,3), B(-2,5).

a) Rappresentare in forma parametrica la retta r passante per A e B

b) Rappresentare in forma parametrica il segmento AB ( l’insieme dei punti di r compresi tra A e B).

c) Determinare il punto medio del segmento AB.

4. Siano date in R

²

le rette r: 4x+2y+1=0, s: 2x+y-3=0.

a) Verificare che r ed s sono parallele

b) Rappresentare nella forma u+<S> la retta passante per P(1,-1) e parallela ad r ed s.

5. Dire quali dei seguenti insiemi sono costituiti da punti allineati:

a) in R

²

{(2,-1), (5,-7), (1,-3)}

b) in R

³

{(2,0,1), (1,1,3), (3,-1,1), (0,2,3)}

c) in R

³

{(0,1,1), (1,1,0), (-2,1,3)}

d) in R

³

{(1,-2,1), (2,1,1), (1,1+k,1)} , k∈R

6. Determinare equazioni parametriche e cartesiane della retta soddisfacente le seguenti proprietà:

a) passante per A(1,0,2), B(-1,2,0)

b) passante per A(1,0,2) e di giacitura

⎩ ⎨

⎧

= +

=

− . 0

0 z x

y x

7. Trovare gli eventuali punti comuni alle due rette di R

³

r: (1,-1,0) + <(2,1,1)>

s: (3,0,1) + <(1,-2,1)>.

8. Stabilire se esiste un unico piano passante per A,B,C e, in caso affermativo, darne una rappresentazione parametrica e cartesiana, nei seguenti casi:

a) A(0,2,0), B(0,2,3), C(0,0,2)

b) A(0,0,1), B(1,-2,2), C(2,-4,3).

2

9. Verificato che P(-1,0,0) non appartiene alla retta r: (0,0,1)+<(1,-1,1)>, determinare il piano contenente r e P.

10. Siano date in R

³

le rette

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

=

=

=

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

=

−

=

=

t z y

t x s:

, z

t y

t x

r 1

0 1

:

a) Provare che r ed s sono incidenti b) Determinare il piano contenente r ed s.

11. Siano dati in R

³

i punti A(1,0,1), B(0,1,1), C(2,-3,-1), D(-4,5,1). Determinare il sottoinsieme affine di dimensione più piccola possibile, che contiene i quattro punti dati.

12. Siano date in R

³

le rette

⎩ ⎨

⎧

= + +

−

= + +

⎩ ⎨

⎧

=

=

0 2 2

0 1 z y - : x r , 0

: 0

₂

1

y x y z

r x

a) Verificare che r

1

ed r

2

sono sghembe.

b) Determinare una retta r

₃

tale che r

₃

∩r

1

≠∅ e r

3

∩r

2

≠∅.

13. Descrivere la posizione di ciascuna delle seguenti rette rispetto al piano α: 3x-2y-3z-8=0

a)

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

−

−

=

−

=

=

, 2 1 3

1

:

t z

t y

t x

r b)

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧ +

=

−

=

=

, 1

2 2 3

2

: t z

t y

t x

r c)

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

−

=

−

=

=

.

1 3

3

:

t z

t y

t x r

14. Siano date in R

³

le rette

⎩ ⎨

⎧

=

= , 2 : 1

y

r x _{0 .}

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

=

=

= t z y

t x ,s:

a) Provare che r ed s sono sghembe.

b) Determinare un piano che non interseca né r, né s.

15. Siano date le rette di R

³

:

a) r

₁

passante per A(1,1,1), B(-1,0,5) b) r

₂

={(2,1,-1)+S | S=<(1,1,1)>}

c) r

₃

:

⎩ ⎨

⎧

= +

= +

−

. 1 4 2

1 3 z x

z y x

Per ciascuna coppia di rette r

_i

r

_j

(i≠j) stabilire se sono sghembe, incidenti o parallele.

Avvertenza. Si suggerisce di iniziare a svolgere gli esercizi dal n. 1 al n.11 compreso, problemi

simili agli esercizi restanti verranno approfonditi nella prossima esercitazione del

9 aprile 2008.