Formule di Werner

Formule di Werner

Marco Robutti 17 aprile 2014

Introduzione

In trigonometria, le formule di Werner permettono di trasformare prodotti di funzioni trigonometriche di due angoli in somme e differenze di funzioni trigono- metriche.

Le formule prendono il nome dal matematico tedesco Johann Werner che le definì agli inizi del XVI secolo.

Questa categoria di formule trigonometriche è raramente utilizzata nella risoluzione di equazioni trigonometriche, poiché, in genere, porta ad una for- mulazione più complessa dell’espressione matematica.

Il valore di queste formule risiede, tuttavia, nel ruolo fondamentale che esse rivestono nell’algoritmo di prostaferesi che storicamente è stato uno degli stru- menti che hanno permesso ad astronomi e naviganti di semplificare l’esecuzione manuale di moltiplicazioni.

Inoltre, le formule di Werner sono usate in radiotecnica per descrivere la for- mazione delle bande laterali dei segnali in modulazione di ampiezza.

Le formule inverse delle formule di Werner si chiamano formule di prostafer- esi.

Prima formula di Werner

sin (α) cos (β) =1

2[sin (α + β) + sin (α − β)]

Dimostrazione

Riscrivendo il seno e il coseno nella loro forma esponenziale, otteniamo:

sin (α) cos (β) = 1

2ıe^ıα− e^−ıα 1

2e^ıβ+ e^−ıβ =

= 1

2× 1

2ıe^ıα− e^−ıα e^ıβ+ e^−ıβ =

= 1

2× 1 2ı

h

e^ı(α+β)+ e^ı(α−β)− e^{−ı(α−β)}− e^−ı(α+β)i

=

1

= 1 2

 1 2ı

h

e^ı(α+β)− e^−ı(α+β)i + 1

2ı h

e^ı(α−β)− e^{−ı(α−β)}i

=

= 1

2[sin (α + β) + sin (α − β)] 

Seconda formula di Werner

cos (α) cos (β) = ¹₂[cos (α + β) + cos (α − β)]

Dimostrazione

Riscrivendo i due coseni nella loro forma esponenziale, otteniamo:

cos (α) cos (β) = 1

2e^ıα+ e^−ıα 1

2e^ıβ+ e^−ıβ =

= 1

2 ×1

2e^ıα+ e^−ıα e^ıβ+ e^−ıβ =

= 1

2 ×1 2

he^ı(α+β)+ e^ı(α−β)+ e^{−ı(α−β)}+ e^−ı(α+β)i

=

= 1

2

 1 2

he^ı(α+β)+ e^−ı(α+β)i +1

2

he^ı(α−β)+ e^{−ı(α−β)}i

=

= 1

2[cos (α + β) + cos (α − β)] 

Terza formula di Werner

sin (α) sin (β) = ¹₂[cos (α − β) − cos (α + β)]

Dimostrazione

Riscrivendo i due seni nella loro forma esponenziale, otteniamo:

sin (α) sin (β) = 1

2ıe^ıα− e^−ıα 1

2ıe^ıβ− e^−ıβ =

= 1

2ı× 1

2ıe^ıα− e^−ıα e^ıβ− e^−ıβ =

= 1

2ı× 1 2ı

he^ı(α+β)− e^ı(α−β)− e^{−ı(α−β)}+ e^−ı(α+β)i

=

= ı² 2

 1 2 h

e^ı(α+β)+ e^−ı(α+β)i

−1 2 h

e^ı(α−β)+ e^{−ı(α−β)}i

=

= −1 2

 1 2 h

e^ı(α+β)+ e^−ı(α+β)i

−1 2 h

e^ı(α−β)+ e^{−ı(α−β)}i

=

= 1

2[cos (α − β) − cos (α + β)] 

2