: Studiare la dierenziabilita della funzione

(1)

FACOLTA' DI INGEGNERIA

PROVA SCRITTA DI ANALISI MATEMATICA II { A.A. 1995/1996

CORSI DI LAUREA IN INGEGNERIA

AMBIENTE e TERRITORIO, CIVILE

20 giugno 1996 (1/2)

1

⁰ ^ESERCIZIO

: Studiare la dierenziabilita della funzione

^f

: IR

² ^!

IR denita da

f

(

^x^y

) :=

^xjyj:

2

⁰ ^ESERCIZIO

: Trovare le soluzioni dell'equazionedierenziale lineare del 2

⁰

ordine omogenea

y 00

;

2

^x

x

2

+ 1

^y⁰

+ 2

x

2

+ 1

^y

= 0 soddisfacenti le condizioni

⁽

y

(0) =

^;

1

y

(1) = 1

^:

3

⁰ ^ESERCIZIO

: Studiare la convergenza della successione di funzioni

f

n

:

^;

1 1]

^!

IR,

ⁿ ²

IN, denite da

f

n

(

^x

) := 1 +

ⁿ²ⁿ^x²²^x²^:

Determinare, eventualmente,dei sottoinsiemi propri di

^;

1 1] in cui la convergenza

e uniforme.

4

⁰ ^ESERCIZIO

: Calcolare, utilizzando le formule di Green, l'integrale curvilineo

Z

+;

(

^xy^;^y

)

^dx

+ (

^xy

+

^y

)

^dy

ove +; e la frontiera del dominio piano

^f

(

^x^y

)

²

IR

²

:

^x²

a 2

+

^y²

b 2

1

^x

0

^g

.

5

⁰ ^ESERCIZIO

: Dimostrare che nel Teorema sulle funzioni a gradiente nullo nelle

regioni, l'ipotesi che l'insieme di denizione sia connesso non puo essere rimossa.

: Studiare la dierenziabilita della funzione

1