Compito di Metodi Matematici, 25/1/2006
Prof. F. Bagarello
Lo studente con in piano di studi MM, 9 crediti, risolva almeno 6 quesiti.
Lo studente con in piano di studi FM, 6 crediti, risolva almeno 4 quesiti, scelti tra quelli che non coinvolgono la Teoria delle Probabilit`a.
Lo studente con in piano di studi TdP, 3 crediti, risolva i quesiti relativi alla Teoria delle Probabilit`a.
(1) Applicare la procedura di ortonormalizzazione in L2([0, π]) alle funzioni f1(x) = cos(x), f2(x) = cos(2x) ed f3(x) = cos(3x).
(2) Calcolare i seguenti integrali: I1=R∞
−∞
eix
x3+1dx e I2=R∞
−∞
e−ix x3+1dx.
(3) Sviluppare in serie di Taylor intorno ad z0= 0 la funzione f (z) = z2log(z − 1) e determi- narne il raggio di convergenza.
(4) Calcolare la derivata debole del segnale ϕ(x) = rect(x2− 1) sin(x).
(5) Calcolare trasformata ed antitrasformata di Laplace della funzione f (t) = cosh2(t).
(6) Lo studente ottenga gli zeri della funzione f (z) = sin(z) (cos(z)−1/2)
ez−1 e ne determini l’ordine.
(TdP1) Dimostrare che la funzione f (x) = 12e−|x| `e una densit`a di probabilit`a. Ricavare la funzione caratteristica associata ed i momenti di ordine 0,1,2.
(TdP2) Da un mazzo di carte siciliane mancante del 3 di coppe e del 7 d’oro si estrae una carta: qual’`e la probabilit`a che tale carta sia un asso? Quale che sia una carta d’oro? E quale, in particolare, che sia l’asso d’oro?
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