Compito di Metodi Matematici, 17/2/2006
Prof. F. Bagarello
Lo studente con in piano di studi MM, 9 crediti, risolva almeno 6 quesiti.
Lo studente con in piano di studi FM, 6 crediti, risolva almeno 4 quesiti, scelti tra quelli che non coinvolgono la Teoria delle Probabilit`a.
Lo studente con in piano di studi TdP, 3 crediti, risolva i quesiti relativi alla Teoria delle Probabilit`a.
(1) Ottenere la regione di convergenza e la somma della seguente serie: P∞
n=−∞ 2n/2−1zn 4|n| . (2) Calcolare l’autoconvoluzione della rect(x): R
R rect(x − t) rect(t) dt.
(3) Calcolare la trasformata di Fourier delle funzioni f1(x) = rect(x) e di f2(x) = x rect(x − π).
Calcolare poi < ˆf1, ˆf2>.
(4) Mostrare che la funzione
h(x) = (
ex2−11 x ∈] − 1, 1[
0 altrove
ha derivata prima continua su tutti i reali.
(5) Calcolare trasformata ed antitrasformata di Laplace della funzione f (t) = cosh2(t)u(t − 1) (6) Calcolare l’integraleH
γ(|z| + 1) dz, in cui γ `e la curva chiusa in figura, bordo della porzione del cerchio centrato nell’origine e di raggio unitario contenuto nel primo quadrante.
-
6 γ
=(z)
?
- I
<(z)
¡¡
O
(TdP1) Dimostrare che la funzione f (x) = N e−2|x|`e una densit`a di probabilit`a per un’opportuna scelta di N . Ricavare la funzione caratteristica associata ed i momenti di ordine 0,1,2.
(TdP3) Da un mazzo di carte siciliane mancante del 3 di coppe e del 7 d’oro si estrae tre carte (senza reintroduzione): qual’`e la probabilit`a che si estraggano in sequenza un 4 un 5 ed un 7?
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