Compito di Metodi Matematici, 18/1/2006
Prof. F. Bagarello
Lo studente con in piano di studi MM, 9 crediti, risolva almeno 6 quesiti.
Lo studente con in piano di studi FM, 6 crediti, risolva almeno 4 quesiti, scelti tra quelli che non coinvolgono la Teoria delle Probabilit`a.
Lo studente con in piano di studi TdP, 3 crediti, risolva i quesiti relativi alla Teoria delle Probabilit`a.
(1) Ottenere la regione di convergenza e la somma della seguente serie: P∞
n=−∞ 2n/2z2n 5|n| . (2) Dopo avere verificato che la funzione
f (x) =
( ei(x−1)
2a , |x| ≤ 2a;
0, altrove
appartiene ad L2(R), a > 0, lo studente ne calcoli la trasformata di Fourier.
(3) Calcolare l’antitrasformata di Fourier ottenuta al punto precedente.
(4) Calcolare la derivata debole del segnale ϕ(x) = u(x2− π2) sin(x).
(5) Calcolare trasformata ed antitrasformata di Laplace della funzione f (t) = etcos(t)u(t − 1).
(6) Lo studente ottenga gli zeri della funzione f (z) = z sin(z)ez2−1 e ne determini l’ordine. Ottenga poi le sue singolarit`a.
(TdP1) Ottenere il valore della costante N perch`e f (x) =
( N sin(x), −π4 ≤ x ≤ π4,
0, altrove, sia una
densit`a di probabilit`a. Determinare la funzione caratteristica associata ed i momenti di ordine 0,1,2.
(TdP2) Data un’urna contenente 10 biglie nere, 9 rosse ed 8 bianche, calcolare la probabilit`a che in una estrazione senza reinserimento escano le seguenti sequenze: bbn, nrr ed nrb.
Rispondere allo stesso quesito nel caso in cui le biglie siano reinserite nell’urna dopo l’estrazione.
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