Compito di Metodi Matematici, 18/9/2006
Prof. F. Bagarello
Lo studente con in piano di studi MM, 9 crediti, risolva almeno 6 quesiti.
Lo studente con in piano di studi FM, 6 crediti, risolva almeno 4 quesiti, scelti tra quelli che non coinvolgono la Teoria delle Probabilit`a.
(1) Risolvere l’equazione differenziale y00(t)+2y0(t)+y(t) = 2, con le condizioni iniziali y(0) = 1 e y0(0) = 0 usando la tecnica delle trasformate di Laplace.
(2) Lo studente ottenga gli zeri della funzione f (z) = ez−1z−2 e ne determini l’ordine.
(3) Dopo avere verificato che la funzione f (x) = x−π/2cos(x) appartiene ad L2(R), lo studente ne calcoli la trasformata di Fourier.
(4) Sviluppare in serie di Fourier la funzione
f (x) = (
ex, |x| ∈ [π/2, π];
0, altrove.
(5) Verificare che le funzioni f1(x) = sin(x) − 1 e f2(x) = cos(x) + 1 sono linearmente indipen- denti in L2(0, 1) ed applicare la procedura di Gram-Schmidt per costruire due funzioni normalizzate ed ortogonali.
(6) Calcolare la derivata debole del segnale ϕ(t) = rect(t) sin(t)e2t.
(TdP1) Calcolare quante partite saranno giocate, tra andata e ritorno, in un campionato di calcio a 16 squadre. E quante giornate occorreranno per completare il campionato?
(TdP2) Una prima urna contiene 3 palline bianche e 5 nere. Una seconda urna contiene invece 2 palline bianche e 6 nere. Si estrae una pallina dalla prima urna ed una dalla seconda. Qual’`e la probabilit`a di:
1. estrarre due palline bianche;
2. estrarre, non importa in che ordine, una pallina bianca ed una nera.
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