Teoria cinetica dei gas
ipotesi di base del modello matematico
• un gas perfetto contiene una enorme quantita’ di componenti,
• le dimensioni dei componenti
• i componenti si urtano di continuo
• i componenti sono costantemente in moto
• gli urti tra i componenti del gas
• le leggi che regolano i processi di urto
in inglese “random” = “a caso “ , “ caotico”
identiche tra di loro
interagiscono soltanto tra loro e durante l’urto
disordinato e casuale
e le pareti del recipiente in cui sono contenute, sono perfettamente elastici
newtoniana sono quelle della meccanica
sono trascurabili rispetto alla loro distanza media atomi o molecole di gas perfetto
muovendo verso la
una molecola di massa
m
quando la molecola raggiunge la parete di destra
dopo aver percorso un tratto
2l
,della molecola lungo l’asse
x
e‘v
xe la quantita’ di moto
q
x e ’la sua variazione di quantita’ di moto
m v
xla molecola tornera’ ad urtare la parete di destra e’ pari a
− 2m v
xparete destra del recipiente
e si sta la componente della velocita’
∆ t = 2l/ v
xdato che l’urto e’ perfettamente elastico
ossia dopo un tempo si trova in un volume cubico, di lato
l
rimbalza verso sinistra e,
per il terzo principio della dinamica
v 2
parete
x
x x
F F m
= = l
in modulo
per il teorema dell’impulso :
molecola
x x
F q
t
= ∆
∆
v
2xm
= − l 2 v
2 v
x
x
m l
= −
se vi sono
N
molecole nel volume la forza sara’N
volte maggiore la parete risentira’ di una forza ugualeed opposta in verso
v
2x xF N m
= l
2 2 2 2
v = + + v
xv
yv
z2
2
v
v
x= 3
v
2 x3
F N m
= l
quindi e’ necessario ragionare in termini di valor medio della forza
se le componenti cartesiane della velocita’
della probabilita’
quindi
attenzione : le molecole nel volume
ma una distribuzione di velocita’ casuale
non hanno tutte la stessa velocita’
sono indipendenti tra loro la teoria
permette di dimostrare che
la pressione sulla parete di superficie di area
l
2 sara’2 3
v 3 N m
= l
dove
V = l
3 e’ il volume del cubo in cui e’ racchiusa la particellav
23 PV = N m
2
F
xP = l
22
v 1 3
N m
= l l v
23 N m
≡ V
dunque
v
23 P N m
= V
da cuil’energia cinetica media di una molecola e’
v
2 c2
E = m
quindi
v
23 PV = N m
per i gas perfetti
PV = nRT
dunqueN E
c= nRT
3 2
N RT E c n
2
= 3
da cui
2
2
v E
c= m 2
3 NE
c=
3
c 2
E = KT
dell’
energia cinetica media
si ottiene
disordinato
N
AN
n = 1 T
N E R
A
c
2
= 3 K
N R
A
ma e poiche’
=
dovuta al moto delle molecole del gas
la temperatura e’ una misura
e del tutto
a caso
in conclusione
2
3 c
T E
= K
e cio’ significa chese per una molecola per una mole di gas perfetto
se i componenti sono puntiformi
3
U = 2 nRT
3
c
2
E = kT
3
c
2
AE = N kT 3
2 RT
=
quindi l’ energia interna di
n
moli di gas perfetto al moto caotico traslazionalesara’
si avra’
il solo contributo all’ energia interna
U
e’ dovutotuttavia oltre al moto disordinato traslazionale
indipendenti, corrispondenti a gradi di liberta’ rotazionali e vibrazionali e’ possibile verificare sperimentale questo risultato
e se
3
U = 2 nRT
3
v
2
c = R 5
p v
2
c = c + = R R
ok, per i gas monoatomici
1 ( )
V V
c dQ
= n dT 1 dU
= n dT
molari
per cui
ma non vero, dei gas rarefatti
esistono altri moti disordinati, misurando i calori specifici
per la maggior parte dei gas biatomici
Teorema dell’equipartizione dell’ energia
ad ogni grado di liberta’ pertiene un contributo pari a