Teoria cinetica dei gas

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Teoria cinetica dei gas

ipotesi di base del modello matematico

• un gas perfetto contiene una enorme quantita’ di componenti,

• le dimensioni dei componenti

• i componenti si urtano di continuo

• i componenti sono costantemente in moto

• gli urti tra i componenti del gas

• le leggi che regolano i processi di urto

in inglese “random” = “a caso “ , “ caotico”

identiche tra di loro

interagiscono soltanto tra loro e durante l’urto

disordinato e casuale

e le pareti del recipiente in cui sono contenute, sono perfettamente elastici

newtoniana sono quelle della meccanica

sono trascurabili rispetto alla loro distanza media atomi o molecole di gas perfetto

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muovendo verso la

una molecola di massa

m

quando la molecola raggiunge la parete di destra

dopo aver percorso un tratto

2l

,

della molecola lungo l’asse

x

e‘

v

_x

e la quantita’ di moto

q

_x e ’

la sua variazione di quantita’ di moto

m v

_x

la molecola tornera’ ad urtare la parete di destra e’ pari a

− 2m v

_x

parete destra del recipiente

e si sta la componente della velocita’

∆ t = 2l/ v

_x

dato che l’urto e’ perfettamente elastico

ossia dopo un tempo si trova in un volume cubico, di lato

l

rimbalza verso sinistra e,

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per il terzo principio della dinamica

v 2

parete

x

x x

F F m

= = l

in modulo

per il teorema dell’impulso :

molecola

x x

F q

t

= ∆

∆

v

2_x

m

= − l 2 v

2 v

x

m l

= −

se vi sono

N

molecole nel volume la forza sara’

N

volte maggiore la parete risentira’ di una forza uguale

ed opposta in verso

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v

2_x x

F N m

= l

2 2 2 2

v = + + v

_x

v

_y

v

_z

2

v

^x

= 3

v

2 x

3 F N m

= l

quindi e’ necessario ragionare in termini di valor medio della forza

se le componenti cartesiane della velocita’

della probabilita’

quindi

attenzione : le molecole nel volume

ma una distribuzione di velocita’ casuale

non hanno tutte la stessa velocita’

sono indipendenti tra loro la teoria

permette di dimostrare che

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la pressione sulla parete di superficie di area

l

² sara’

2 3

v 3 N m

= l

dove

V ⁼ l

³e’ il volume del cubo in cui e’ racchiusa la particella

v

2

3 PV = N m

2

F

x

P = l

²

2

v 1 3

N m

= l l v

²

3 N m

≡ V

dunque

v

2

3 P N m

= V

^{da cui}

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l’energia cinetica media di una molecola e’

v

2 c

2 E = m

quindi

v

2

3 PV = N m

per i gas perfetti

PV = nRT

^dunque

N E

_c

= nRT

3 2

N RT E _c n

2 = 3

da cui

2

2 v E

^c

= m 2

3 NE

^c

=

(7)

3 c 2

E ⁼ KT

dell’

energia cinetica media

si ottiene

disordinato

N

A

N

n = 1 T

N E R

A

c

2 = 3 K

N R

A

ma e poiche’

=

dovuta al moto delle molecole del gas

la temperatura e’ una misura

e del tutto

a caso

in conclusione

2 3 ^c

T E

= K

e cio’ significa che

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se per una molecola per una mole di gas perfetto

se i componenti sono puntiformi

3 U = 2 nRT

3

c

2 E = kT

3

c

2

A

E = N kT 3

2 RT

=

quindi l’ energia interna di

n

moli di gas perfetto al moto caotico traslazionale

sara’

si avra’

il solo contributo all’ energia interna

U

e’ dovuto

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tuttavia oltre al moto disordinato traslazionale

indipendenti, corrispondenti a gradi di liberta’ rotazionali e vibrazionali e’ possibile verificare sperimentale questo risultato

e se

3 U = 2 nRT

3

v

2 c = R 5

p v

2 c = c + = R R

ok, per i gas monoatomici

1 ( )

V V

c dQ

= n dT 1 dU

= n dT

molari

per cui

ma non vero, dei gas rarefatti

esistono altri moti disordinati, misurando i calori specifici

per la maggior parte dei gas biatomici

(10)

Teorema dell’equipartizione dell’ energia

ad ogni grado di liberta’ pertiene un contributo pari a

Teoria cinetica dei gas