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abbia z 1 = 2 come radice. Per tale valore di α trovare le altre due radici di P (z) esprimendole in forma algebrica.

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Analisi Matematica 1- 2014-2015, Canali 2 e 3 F. Albertini, G. Colombo

Esercizi sui complessi

1. Determinare il numero complesso α tale che il polinomio

P (z) = z 3 − (6 + 2i)z 2 + (7 + 5i)z + α

abbia z 1 = 2 come radice. Per tale valore di α trovare le altre due radici di P (z) esprimendole in forma algebrica.

2. Esprimere in forma trigonometrica e algebrica le soluzioni dell’equazione z 4

z 4 + 1 = 1 − i

3 , z ∈ C e disegnarle nel piano di Gauss.

3. Determinare e disegnare nel piano di Gauss l’insieme n

z ∈ C :

|z − i| 2 + (z − i) 2

|z − i| 2 − (z − i) 2 o

.

4. Si esprima in forma trigonometrica ed algebrica il numero complesso

z = Im 1 2πi

1 i − 2

! e

23

πi .

Si esprimano poi in forma algebrica le radici quarte di z −1 . 5. Esprimere in forma algebrica le soluzioni dell’equazione

z 4 − 2 √

3z 2 + 4 = 0.

6. Determinare le quattro soluzioni dell’equazione

z 2 = −2i|z| 2 log |z|

(sugg.: calcolarne prima il modulo e poi l’argomento).

7. Risolvere la disequazione

z − 1 1 + i

≥ Re(z + 1) e disegnarne le soluzioni nel piano complesso.

8. Si considerino la funzione f : C → C, f (z) = z 3 + i e l’insieme A = {z ∈ C : |z − i| 2 = 1}.

(i) Si disegni A;

(ii) Si determini l’insieme



f −1 (3i + 2) 

∩ A e se ne scrivano gli elementi in forma algebrica.

9. Sia f (z) = 2iz 2 , z ∈ C. Sia A = {α(1+i) : α ∈ R}. Si determinino l’insieme A 1 = {f (z) : z ∈ A}

e l’insieme A 2 = {z ∈ C : f (z) ∈ A} e li si rappresentino nel piano di Gauss.

1

(2)

10. Si consideri la funzione

f (z) = i¯ z 3 − 3 + i, z ∈ C.

Si determinino e si disegnino nel piano di Gauss gli insiemi A = f (z) : z ∈ C, Re (z) = 0 , B = z ∈ C : f(z) = i − 11 . 11. Rappresentare le soluzioni z ∈ C della disequazione

|z − 1| 2

z − z 2

2

− 1

≤ Imz + 4

nel piano complesso.

12. Calcolare tutte le soluzioni z ∈ C dell’equazione z 5 = −16z

esprimendole prima in forma trigonometrica/esponenziale e poi in forma algebrica; disegnarle infine sul piano di Gauss.

13. Risolvere l’equazione

z 2 z − (z − 2i)  =

zz − z(z − 2i) e disegnare le soluzioni nel piano complesso.

Svolgimento. Si ha, per il primo membro, z 2 z − (z − 2i) 

= |z|

z z − (z − 2i)  = |z|

z z − (z + 2i)  = |z|

z(2i Imz − 2i) mentre per il secondo

zz − z(z − 2i) = |z|

z − (z − 2i) = |z|

2i − 2i Imz , per cui z = 0 ` e una soluzione. Se z 6= 0 l’equazione diventa

|z|

2 Imz − 2 =

2 Imz − 2 ,

che ha per soluzioni {z ∈ C : |z| = 1} e {z ∈ C : Imz = 1}. Il disegno segue.

Figura 1: Le soluzioni dell’esercizio 12.

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