abbia z 1 = 2 come radice. Per tale valore di α trovare le altre due radici di P (z) esprimendole in forma algebrica.

Analisi Matematica 1- 2014-2015, Canali 2 e 3 F. Albertini, G. Colombo

Esercizi sui complessi

1. Determinare il numero complesso α tale che il polinomio

P (z) = z ³ − (6 + 2i)z ² + (7 + 5i)z + α

abbia z 1 = 2 come radice. Per tale valore di α trovare le altre due radici di P (z) esprimendole in forma algebrica.

2. Esprimere in forma trigonometrica e algebrica le soluzioni dell’equazione z ⁴

z ⁴ + 1 = 1 − i

√

3 , z ∈ C e disegnarle nel piano di Gauss.

3. Determinare e disegnare nel piano di Gauss l’insieme n

z ∈ C : 

|z − i| ² + (z − i) ²   ≥ 

|z − i| ² − (z − i) ²   o

.

4. Si esprima in forma trigonometrica ed algebrica il numero complesso

z = Im 1 2πi

1 i − 2

! e

^πi .

Si esprimano poi in forma algebrica le radici quarte di z ⁻¹ . 5. Esprimere in forma algebrica le soluzioni dell’equazione

z ⁴ − 2 √

3z ² + 4 = 0.

6. Determinare le quattro soluzioni dell’equazione

z ² = −2i|z| ² log |z|

(sugg.: calcolarne prima il modulo e poi l’argomento).

7. Risolvere la disequazione

z − 1 1 + i    

≥ Re(z + 1) e disegnarne le soluzioni nel piano complesso.

8. Si considerino la funzione f : C → C, f (z) = z ³ + i e l’insieme A = {z ∈ C : |z − i| ² = 1}.

(i) Si disegni A;

(ii) Si determini l’insieme



f ⁻¹ (3i + 2) 

∩ A e se ne scrivano gli elementi in forma algebrica.

9. Sia f (z) = 2iz ² , z ∈ C. Sia A = {α(1+i) : α ∈ R}. Si determinino l’insieme A 1 = {f (z) : z ∈ A}

e l’insieme A ₂ = {z ∈ C : f (z) ∈ A} e li si rappresentino nel piano di Gauss.

1

10. Si consideri la funzione

f (z) = i¯ z ³ − 3 + i, z ∈ C.

Si determinino e si disegnino nel piano di Gauss gli insiemi A = f (z) : z ∈ C, Re (z) = 0 , B = z ∈ C : f(z) = i − 11 . 11. Rappresentare le soluzioni z ∈ C della disequazione

|z − 1| ² −    

z − z 2

2

− 1     

≤ Imz + 4

nel piano complesso.

12. Calcolare tutte le soluzioni z ∈ C dell’equazione z ⁵ = −16z

esprimendole prima in forma trigonometrica/esponenziale e poi in forma algebrica; disegnarle infine sul piano di Gauss.

13. Risolvere l’equazione

 z ² z − (z − 2i)
  = 

zz − z(z − 2i)   e disegnare le soluzioni nel piano complesso.

Svolgimento. Si ha, per il primo membro,  z ² z − (z − 2i)


 = |z| 

z z − (z − 2i)
  = |z| 

z z − (z + 2i)
  = |z| 

z(2i Imz − 2i)   mentre per il secondo

 zz − z(z − 2i)   = |z| 

 z − (z − 2i)   = |z| 

 2i − 2i Imz   , per cui z = 0 ` e una soluzione. Se z 6= 0 l’equazione diventa

|z| 

2 Imz − 2   = 

2 Imz − 2  ,

che ha per soluzioni {z ∈ C : |z| = 1} e {z ∈ C : Imz = 1}. Il disegno segue.

Figura 1: Le soluzioni dell’esercizio 12.

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