Prova scritta di Meccanica Razionale - 28.08.2018
Cognome e Nome . . . . N. matricola . . . .
C.d.L.: AMBLT CIVLT Anno di Corso: 2 altro
FILA 1
Esercizio 1. Nel riferimento cartesiano Oxyz si consideri il sistema materiale costituto da un triangolo rettangolo isoscele omogeneo ABC, di massa m, da un quadrato omogeneo ODEF , di massa 2m e da due aste DC e AF omogenee, di massa m (vedi figura). Sapendo che OA = OC = OD = OF = L, si chiede di calcolare:
1. le coordinate del baricentro del sistema (punti 2);
2. la matrice d’inerzia I
Odel sistema rispetto al riferimento Oxyz (punti 10).
O
x y
D
C
A B
E F
1
Esercizio 2. In un piano verticale Oxy, si consideri un’asta AB, omogenea e pesante, di massa m e lunghezza 2l, avente il baricentro G scorrevole sull’asse positivo Oy. Oltre alla forza peso, sull’asta agiscono la forza elastica, di costante elastica k = 2mg/l, ~ F
A= −k(A − A
′), con A
′proiezione di A sull’asse Ox, ed una coppia di momento costante ~ M = 1
2 mgl ~k.
O x
y
G
A B
A
′θ
ξ
Scelti come parametri lagrangiani l’angolo θ che l’asta AB forma con l’asse Oy e l’ordinata ξ del baricentro G, si chiede:
1. determinare l’espressione della funzione potenziale di tutte le forze attive agenti sull’asta (punti 3);
2. determinare le configurazioni di equilibrio ordinarie dell’asta (punti 4);
3. studiare la stabilit`a delle configurazioni di equilibrio ordinarie dell’asta (punti 2);
4. scrivere l’espressione dell’energia cinetica dell’asta (punti 2);
5. scrivere le equazioni differenziali del moto dell’asta (punti 4);
6. calcolare il momento della quantit` a di moto ~ K
Odell’asta rispetto al polo O (punti 3);
7. determinare eventuali integrali primi di moto dell’asta (punti 2).
Avvertenze:
1. Non `e consentita la consultazione di testi e appunti.
2. Durata della prova: 150 minuti.
3. Ammissione alla prova orale con punteggio 16/30.
2
Soluzioni Esercizio 1
1. coordinate del baricentro: G = (−L 15; −L
15) 2. matrice d’inerzia rispetto ad O:
I11= I22=11 6 mL2 I33=11
3 mL2 I12= −7
12mL2 Esercizio 2
1. potenziale U delle forze attive:
U=1
2mgLθ − mgξ −mg
L (ξ − Lcosθ)2+ c 2. unica posizione di equilibrio accettabile che risulta instabile:
(ξe, θe) : (
√3 − 1 2 L,11
6 π) 3. energia cinetica:
T= 1
2m[ ˙ξ2+1 3L2θ˙2] 4. equazioni differenziali del moto:
ξ¨+ 2g
Lξ − 2gcosθ + g = 0 1
3L¨θ+ 2g
Lξ sinθ − 2gsinθcosθ −g 2 = 0
5. integrale primo di moto (esiste perch`e le forze sono conservative e i vincoli sono fissi):
T+ V = E con
V = −U 6. momento della quantit`a di moto rispetto al polo O:
K~O=1 3mL2˙θ~k
