IL NUMERO D'ORO

(1)

Tullia Norando

Il Il piacere piacere di di insegnare, insegnare , il il piacere piacere di di imparare

imparare la matematica la matematica

S. Giovanni

S. Giovanni Valdarno Valdarno Montevarchi

Montevarchi – – Figline Figline Valdarno Valdarno

21 21 – – 23 23 febbraio febbraio 2008 2008

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Numeri

Natura

Arte Proporzioni

Valore

estetico

(3)

Rapporto tra misure semplici

Canone

Scala naturale

Uguaglianza tra due rapporti

Palladio Euclide Leonardo

Tracciato regolatore Tracciato costruttore

Modulor – Le Corbusier

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(5)

La scala pitagorica si basa sui rapporti semplici: 2:1 3:2 4:3

che corrispondono rispettivamente alle consonanze fondamentali:

ottava, quinta, quarta

(6)

Metodi per definire l’altezza di una stanza a pianta rettangolare di lati e media aritmetica tra e :

medio geometrico tra e :

medio armonico tra e :

(7)

Della sezione aurea Euclide tratta una prima volta nel Libro II .

Nella proposizione II. 11 viene posto il seguente problema:

Dividere una retta data in modo tale che il rettangolo

compreso da tutta la retta e da una delle parti sia

uguale al quadrato della parte rimanente

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Questo stesso problema della costruzione della sezione aurea viene riconsiderato da Euclide nel libro VI . All’inizio dello stesso libro si parla di sezione aurea sotto termini di retta divisa in estrema e media ragione.

Assegnato il segmento AB dicesi parte aurea di AB il segmento medio proporzionale tra l’intero segmento e la parte rimanente

Significa che bisogna determinare il segmento AX che sia medio proporzionale del segmento AB, ovvero tale che

AB:AX=AX:XB

(9)

A queste figure Euclide applica la proposizione che afferma:

“Nei parallelogrammi equivalenti ed aventi gli angoli rispettivamente uguali, i lati intorno agli angoli uguali sono inversamente

proporzionali”

quindi sussiste la proporzione KH:HG = AH:HB,

tenendo conto che KH= AB ed HG=AH risulta

AB:AH = AH:HB.

Quindi H è il punto cercato.

(10)

La stessa costruzione permette di rispondere anche al problema inverso

“Costruire un segmento del quale si conosca la sezione aurea”

Basta prolungare il segmento AB di un segmento BC uguale alla sua sezione aurea AH

Si tratta della proprietà del comporre delle proporzioni AB:AH = AH:HB.

(AB+AH):AB = (AH+HB):AH

AC:AB=AB:BC

(11)

Costruzione di Euclide Riportata da L.B. Alberti

Costruzione di Erone

riportata da Luca Pacioli

(12)

!

(13)

"

(14)

# $ %

& !

(15)

'

Griglia A3-A4-A5

Griglia Aurea

(16)

(

(17)

)

φφφφ è la misura della sezione aurea del segmento unitario

( ^φ )

φ

φ = : 1 − :

1 Ovvero φφφφ è la soluzione positiva dell’equazione x ² =1 − x

Φ = Φ =

Φ = Φ = 1/ φφφφ è la soluzione positiva dell’equazione x ² =1 + x

5 1 0,618 φ = 2 ⁻ ≅

1 5

1, 618 2

Φ = + ≅

(18)

)

Un segmento unitario è diviso in due parti di cui la sezione aurea è la parte maggiore.

In modo approssimativo le misure sono

Il numero aureo e il suo reciproco sono numeri irrazionali

(19)

" *

Algoritmo noto ai babilonesi per calcolare

n. x(n) radice 2

1,414213562

0 1

1 1,5

2 1,416666667 3 1,414215686 4 1,414213562

2

(20)

+

Una successione numerica in cui il rapporto tra ogni termine e il consecutivo converge ad un numero reale

n. F(n) F(n)/F(n+1) F(n+1)/F(n)

1 1 1 1

2 1 0,5 2

3 2 0,666666667 1,5

4 3 0,6 1,666666667

5 5 0,625 1,6

6 8 0,615384615 1,625

7 13 0,619047619 1,615384615

8 21 0,617647059 1,619047619

9 34 0,618181818 1,617647059

10 55 0,617977528 1,618181818

11 89 0,618055556 1,617977528

12 144 0,618025751 1,618055556

13 233 0,618037135 1,618025751

14 377 0,618032787 1,618037135

15 610 0,618034448 1,618032787

16 987 0,618033813 1,618034448

17 1597 0,618034056 1,618033813

18 2584 0,618033963 1,618034056

19 4181 0,618033999 1,618033963

20 6765 0,618033985 1,618033999

21 10946 0,61803399 1,618033985

22 17711 0,618033988 1,61803399

23 28657 0,618033989 1,618033988

24 46368 0,618033989 1,618033989

Una storia di conigli

(21)

+

La successione di Fibonacci ha molte altre proprietà e applicazioni.

Ralph Elson Elliot elaborò una teoria di previsione dei mercati finanziari nota come

Teoria delle onde di Elliot

Invece di giocare in borsa, si potrebbe provare il gioco dei numeri di telefono , della

somma, o delle potenze …

(22)

+ !

(23)

Realizzato da Federico Nicolosi - LS Vittorio Veneto - MI

progetto

(24)

( , -. /0, -. .

(25)

Il valore estetico

Test

1871 G.T. Fechner Metodo della scelta Metodo della

produzione

Metodo dell’uso Argomenti di

contestazione Ordine

Orientazione Colore

Casualità del campione dimensione

Conclusioni

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Il valore estetico

Teorie estetiche

Optical feeling Movimenti oculari Ipotesi perimetrica Sensazioni fisiche

Contaminazioni culturali Valori estetici misurabili

Messa in discussione di tutte

le figure geometriche pure

(27)

Il problema della misura

Bisogna essere Φ Φ Φ Φ edeli : Errori nel rilievo della misura:

Difetti di costruzione

Deformazioni successive

Imprecisione della misura

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Il corpo umano

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