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Academic year: 2021

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(1)

Equazioni Differenziali 2

o

test — 5.2.2010

Sia u ∈ C(R

n

) una soluzione in senso distribuzionale di ∆u = 0 in R

n

, cio` e Z

Rn

u(x)∆φ(x) dx = 0 (1)

per ogni φ ∈ C

0∞

(R

n

), e sia

φ(x) =  |x − ¯ x|

2

− r

2

|x − ¯ x| < r

0 |x − ¯ x| ≥ r

per ¯ x ∈ R

n

ed r > 0 fissati.

a) Denotata con v



la mollificata di una funzione v, provare che Z

Rn

u(x)∆φ



(x) dx = Z

Rn

φ(y)∆u



(y) dy

e dedurne che

r Z

∂B(¯x,r)

u



dσ = n Z

B(¯x,r)

u



dx.

b) Detta ψ(r) := R

B(¯x,r)

u dx, provare che (r

−n

ψ(r))

0

= 0 e dedurre che u ` e armonica.

c) Quanto dimostrato ` e un caso particolare del teorema (di Weyl) che afferma che ogni soluzione distribuzionale u ∈ L

1loc

(Ω) di ∆u = 0 in un aperto Ω ` e armonica in Ω.

Facoltativo: dove si incontrano le principali difficolt` a nell’estendere la dimostrazione data al caso

generale?

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