2.1 Inviluppo complesso di un segnale

2 R APPRESENTAZIONE C OMPLESSA DI UN S ^EGNALE

In questo capitolo si ricorda i concetti di inviluppo complesso di un segnale, per poter poi introdurre le modulazioni di ampiezza e d’angolo.

Quindi viene confrontata l’occupazione di banda teorica con quella generata per via numerica con e senza oversampling, di un segnale modulato d’angolo.

2.1 Inviluppo complesso di un segnale

Per completezza si mostra come si può associare l’informazione ad un segnale. Un segnale può essere modulato in ampiezza, angolo o in entrambi. L’inviluppo complesso di un segnale [3] in banda passante riportato in banda base, purché sia a media temporale nulla (è sempre possibile comunque sottrarre in un secondo momento la costante), può essere definito come segue:

= | |

= + ,

si tratta di una funzione complessa, quindi definita da una parte reale ed una immaginaria. A radiofrequenza si ha

= | | cos[2 + { }] = cos{2 } − sin{2 },

essendo come noto le relazioni tra l’inviluppo complesso e il segnale a radiofrequenza bassa banda pari a

= [2

] ⊗ ℎ

e = -

,

dove ℎ

è un filtro passa basso di banda

e è un segnale bassa banda di banda non superiore a

. Inoltre risulta che a partire dal segnale a radiofrequenza è possibile ricavare la parte in fase e in quadratura rispettivamente nel seguente modo:

= [2 cos 2 ] ⊗ ℎ

,

= [−2 sin 2 ] ⊗ ℎ

. Infatti si ricorda che valgono le seguenti semplici condizioni:

- / =

; 23 / =

;

= cos 5 + sin 5.

Tutte queste considerazioni valgono anche per un processo stocastico, però la condizione di media temporale nulla adesso si estende a tutte le realizzazioni di e quindi deve anche valere per ogni realizzazione la seguente condizione:

67 = 0 : < −

.

Si ricorda, che gli spettri e le densità di potenza in banda base sono rispettivamente:

67 = <26 +

: | | <

0 = >? ,

@ = <4@ +

: | | <

0 = >? .

Da notare il fattore 4, in quanto la potenza a radiofrequenza come noto è pari alla metà della potenza del segnale in banda base, oltre al fatto che la banda a radiofrequenza raddoppi.

La densità spettrale di potenza può essere calcolata a partire dalla media statistica delle densità di potenza di tutte le sue realizzazioni. Questo modo tuttavia richiede la conoscenza di tutte le realizzazione, che può essere aggirato, calcolando semplicemente la media temporale della funzione di autocorrelazione e quindi usando il teorema di Winier-Khintchine, ossia la trasformata di Fourier dell’autocorrelazione. Nel seguente modo:

-BBBB C = lim

J

K{ + C }L ,

@ = ℱO-BBBB C P.

2.2 Modulazione d’ampiezza dell’inviluppo complesso

In questo paragrafo si vuole presentare come sia possibile inserire un segnale informativo nel modulo e quindi nell’ampiezza, di un inviluppo complesso.

Un segnale si dice modulato in ampiezza se nel tempo varia solo il modulo dell’inviluppo complesso, modulato d’angolo se varia solo l’argomento dello stesso e modulato di ampiezza e fase se variano entrambi.

Nella modulazione di ampiezza è possibile scrivere l’inviluppo complesso nel

Con 5

fase iniziale generica della portante. Si ricorda che il segnale modulante per definizione è sempre in banda base.

Qualsiasi modulazione di ampiezza gode della proprietà di avere gli spettri degli inviluppi a simmetria hermitiana a meno di una costante di fase, essendo il segnale modulante reale, infatti:

67

= R = R

− = 67

−

. In particolare la modulazione AM si può scrivere nel seguente modo:

3 = [1 + 3

] + 0,

dove 3

è l’indice di modulazione di ampiezza. A radiofrequenza il segnale diviene:

= U

[1 + 3

] cos 2

+ 5

,

in cui U

è l’ampiezza della portante e 5

la fase iniziale. E’ evidente che se l’indice di modulazione è 0 < 3

≤ 1, allora il termine a moltiplicare il coseno è sempre maggiore di zero. In queste condizioni risulta, che la demodulazione possa essere svolta con un semplice rivelatore di picco, che è sensibile solo al modulo dell’inviluppo complesso, senza introdurre errori. Nel caso in cui l’indice di modulazione è maggiore di uno, si verifica il fenomeno della sovramodulazione del segnale, che introduce una rotazione di fase pari a . In questo caso per una corretta demodulazione, è necessario valutare anche la fase del segnale.

In frequenza il segnale AM assume la seguente forma:

67 = U

[W + 3

U ].

Dove W è la delta di Dirac con ampiezza infinita ed area unitaria. A radiofrequenza si ha il doppio della banda, oltre alla simmetria hermitiana degli spettri, come già detto, a meno della costante di fase 5

e le ampiezze divise per due.

Per calcolare la potenza di un processo è consigliabile poggiarsi sul teorema di Wiener-Khintchine, secondo il quale la densità spettrale di potenza (dsp) è pari alla trasformata di Fourier della media temporale della funzione di autocorrelazione.

Per la AM la funzione di autocorrelazione e la dsp sono rispettivamente pari a -BBBB C = U

1 + 3

-BBBB C ,

@ = U

[W + 3

@ ].

La potenza invece è pari a

X =

X =

U

1 + 3

X ,

con X la potenza del segnale informativo. A partire dalla potenza, si definisce l’efficienza di modulazione, come il rapporto tra la potenza associata all’informazione e la potenza totale impiegata:

Y =

[\,]

. Risulta che tale rapporto è sempre minore di

%

in quanto 3

è sempre inferiore all’unità e quindi anche 3

X . Ovviamente a parità di X conviene aumentare 3

fino all’unità.

E’ evidente che la presenza della portante semplifichi la demodulazione, ma comporti un consumo di potenza aggiuntivo.

Nella modulazione DBS (Double Sideband-Suppressed Carrier) la portante viene appunto soppressa per impiegare meglio la potenza disponibile.

Infatti il segnale modulante è pari a

3 = + 0,

e quindi il suo inviluppo complesso e il rispettivo segnale a radiofrequenza sono:

= U

,

= U

cos 2

+ 5

.

Questo tipo di segnale richiede un demodulatore coerente, quindi sensibile sia all’ampiezza che alla fase dell’inviluppo complesso.

In frequenza lo spettro ha la seguente forma:

67 = U

U .

Come ogni modulazione di ampiezza, lo spettro è soggetto a simmetria hermitiana a meno della costante di fase 5

.

La funzione di autocorrelazione e la dsp sono rispettivamente pari a -BBBB C = U

-BBBB C ,

@ = U

@ . Da cui si può calcolare la potenza, che è pari a:

X =

X =

U

X .

2.3 Modulazione d’angolo dell’inviluppo complesso e banda di Carson

In questo paragrafo si presenta la tecnica di inserzione di un segnale informativo nella fase di un inviluppo complesso, per poi quindi valutarne la banda generata.

Si ricorda perciò brevemente i concetti base delle due principali modulazioni d’angolo: la FM (frequency modulation) e la PM (phase modulation). Queste due modulazioni analogiche, hanno la caratteristica di essere particolarmente robuste con il rumore e consentono un notevole risparmio energetico, a spese di una maggiore occupazione di banda. Inoltre la tecnica di generazione di un segnale modulato d’angolo incide profondamente sulla banda occupata, mentre per le modulazioni d’ampiezza questo problema è certamente più limitato e marginale.

L’inviluppo complesso di un segnale modulato d’angolo è il seguente:

= U

, che a radiofrequenza può essere definito in questo modo:

= U

cosO^

P = U

cos 2

+ 5 , dove l’informazione è associata a 5 e ed U

è la costante di ampiezza.

In particolar modo la fase istantanea è:

^

= 2

+ 5 ,

ove

è la portante e 5 è la deviazione di fase, se l’informazione è associata a quest’ultima si ha la PM. Mentre nella FM l’informazione è associata alla deviazione di frequenza. Infatti la frequenza istantanea è pari a:

_

=

^

=

+

5 =

+

(t),

ove

è la portante e

la deviazione di frequenza. Da questa equazione si nota subito che la relazione tra la PM e la FM sia una trasformazione lineare come l’integrazione. Infatti

5 = 2 J

L . Se il segnale modulate è un sinusoide pari a

=

sin 2 b + ^

(il segnale modulante è sempre un segnale passa basso e quindi

= b), l’inviluppo complesso del segnale, ponendo | | = 1, sia FM che PM sarà pari a

=

=

,

con ^ una fase iniziale opportuna: per la PM ^ = ^

, per la FM ^ = ^

−

a seguito dell’integrazione e quindi la trasformazione del coseno in seno. Inoltre i è l’indice di modulazione, che per definizione è pari alla massima deviazione di fase per la PM e al rapporto tra la massima deviazione di frequenza e la banda del segnale modulante per la FM, in formule

i = j ∆5 = l

, : = XR

∆'

g

=

, : = qR , con r∆5 = max |5 | ∆ = max |

| ,

ove l

è la costante di modulazione di fase e l

è la costante di modulazione di frequenza.

Per valutare l’occupazione della banda, si calcolano i coefficienti della serie di Fourier dell’inviluppo complesso, in quanto il segnale modulato è periodico, che è pari a

= ∑ 6

.

Ricordando che per il segnale modulante b =

=

, i coefficienti sono pari a 6

= b J

L =

J

Ly , con il cambio di variabile y = 2 b .

Risulta che i coefficienti sono proporzionali alle funzioni di Bessel del primo tipo di ordine n, infatti z

i =

J

Ly e quindi

6

∙ z

i .

Le funzioni di Bessel del primo tipo hanno il seguente andamento in figura 2-1. In particolare solo quella di ordine zero parte da 1.

Figura 2-1

A un i fissato, si ha quindi le cosiddette righe di Bessel che vanno a definire la banda di Carson, ossia la banda di un segnale modulato d’angolo. In realtà la banda di un segnale modulato d’angolo è infinita (come del resto sono i coefficienti), ma considerando la banda essenziale al 98% della potenza, risulta che le righe significative a destra e a sinistra rispetto la portante sono pari a } = ~1 i•, solo per i maggiore di 0.5.

Guardando il grafico delle funzioni di bessel, l’occupazione della banda dipende fortemente dall’indice di modulazione tale per cui se è piccolo praticamente è rilevante solo la riga centrale, mentre se è maggiore di 1, al suo crescere si ha maggiore peso nelle righe laterali rispetto alla riga centrale (J

); questo lo si può vedere dall’andamento delle funzioni di Bessel rispetto a i. In particolare se i 2.405, si ha la cancellazione della riga centrale, perché si trova il primo zero di J

La banda di Carson dunque è pari al numero di righe di Bessel significative distanziate tra loro la banda del segnale modulante, sia a destra che a sinistra rispetto la portante per cui si ha:

b

≅ 2b} ≅ 2b ∙ i 1 2 ∙ ∆ b ,

essendo b ∙ i ∆ sia per la FM che deriva dalla definizione di i, che per la PM, in

modo approssimato, in quanto

∆ = max [

5 ] =

max …

† <

2 b

= K

b

= b ∙ ∆5.

Per comprendere in modo intuitivo perché lo spettro di un segnale modulato d’angolo sia in realtà a banda infinita, si può fare lo sviluppo in serie si Fourier dell’inviluppo complesso e poi applicare la trasformata di Fourier come segue:

4

= ∑

= 1 + 5 −

5

−

5

+ ⋯, qO

P = W + 5 −

5 ⊗ 5 −

5 ⊗ 5 ⊗ 5 + ⋯.

Come noto la convoluzione tra due spettri uguali genera un spettro di larghezza di banda pari al doppio e con altezza massima l’area del segnale al quadrato. Da ciò e dalla definizione di indice di modulazione, si osserva che all’aumentare dell’ampiezza massima del segnale modulante aumenta la banda di Carson, cioè le righe significative di Bessel aumentano in ampiezza e in numero.

D’altra parte se aumenta la banda del segnale modulante, si intuisce, dalla serie di Fourier che le righe si allontano. Tuttavia nella FM l’indice di modulazione diminuisce, diminuendo di conseguenza il numero delle righe significative, mentre nella PM questo non si verifica.

Si pongono all’attenzione alcuni grafici, generati attraverso simulazioni MATLAB, riguardo l’occupazione di banda di un segnale generato numericamente, tramite tecnica DDS (direct digital synthesizer).

In figura 2-2, si ha portante a 100 KHz, segnale modulante a 10 KHz, frequenza di

campionamento 400 KHz e con 10 bit di risoluzione e costante di modulazione pari a

0.5.

Figure 2-2

In figura 2-3, portante a 100 KHz, segnale modulante a 10 KHz, frequenza di campionamento 400 KHz e con 10 bit di risoluzione e costante di modulazione a 1.

Figure 2-3

Infine in figura 2-4, portante a 100 KHz, segnale modulante a 1 KHz, frequenza di

campionamento 400 KHz e con 10 bit di risoluzione e costante di modulazione a 1.

Figure 2-4

Da grafici si nota come, aumentando la costante di modulazione, sia per la PM che per la FM, le righe più significative aumentano in numero e modulo, mantenendo intatte le distanze tra le stesse.

Tuttavia aumentando la banda di modulazione, l’indice di modulazione decresce per la FM, abbassando le ampiezze e avvicinando le righe tra di loro in frequenza.

Mentre per la PM, all’aumentare della banda modulante, l’indice di modulazione rimane costante, con il solo l’effetto di avvicinare le righe tra loro.

A titolo di confronto si mostra lo spettro per la modulazione FM al variare di i ( pari

a 0.2, 1, 5 e 10 ) e con banda del segnale modulante constante, in figura 2-5. Essendo

l’indice di modulazione di un segnale FM pari a i

, si fa variare in questo

grafico solo l’ampiezza del segnale modulante.

Figure 2-5

D’altra parte facendo diminuire la banda del segnale modulante si ottiene lo stesso

effetto di innalzare l’indice di modulazione per la FM, ma con effetti diversi sullo

spettro con si può vedere in figura 2-6, con righe più vicini ed di maggior numero. In

figura, i varia per i valori 5, 10, 15 e infinito.

Figure 2-6

2.4 Funzioni di Bessel del primo tipo di ordine n e Spettro

Per completezza si presentano le proprietà delle funzioni di Bessel del primo tipo di ordine n, che ha la seguente forma:

z

i

J

Ly , con le seguenti caratteristiche:

a) ∑ z

i 1 b) z

0 = <1, • = 0 0, • ≠ 0

c) z

i = −1

z

i • ≥ 0.

L’inviluppo complesso di un segnale modulato d’angolo, attraverso la serie di Fourier con i coefficienti 6

z

i , è pari a

= U

∑ 6

\“‹”•

w

= U

∑ z

i

, da cui si ottiene lo spettro, attraverso la trasformata di Fourier,

67 = U

– z

i W − •b

w

wh

e quindi la densità spettrale di potenza (DSP) pari a

@— = U

∑ z

i

W − •b .

La potenza del segnale si ricava, integrando in frequenza @— che è pari a U

in banda base, tenendo conto del punto a.

Prendendo un segnale con indice di modulazione basso, tale che sia significativa solo la prima riga a destra e a sinistra (corrisponde a i < 0.5), si ha che:

= U

∑

z

i

= U

[1 + 2z

i sin 2 b + ^ ] ≅ U

[1 + isin 2 b + ^ ],

approssimando z

i con

z

i ≈ ™i2š

•! ; • ≥ 0, i ≤ 0.5

Risulta che lo spettro del segnale FM sia simile al segnale AM, ad eccetto di un

termine di fase dovuto al punto c. Ad un analizzatore di spettro che considera solo il

modulo, le due modulazioni sarebbero indistinguibili. E’ riportato in figura 2-7 un esempio.

Figure 2-7

Inoltre si mostrano in figura 2-8, gli effetti del punto c nello spettro a banda estesa di

una modulazione d’angolo. Le righe dispari a sinistra della portante hanno fase

opposta rispetto a quella a destra. In termini di modulo non cambia nulla.

2.5 Demodulazione di un segnale modulato d’angolo

A conclusione del secondo capitolo si ricordano brevemente le diverse tecniche di demodulazione di un segnale modulato d’angolo.

Non si prende in considerazione la demodulazione di segnali modulati in ampiezza, in quanto tale tecnica è in parte contenuta nella demodulazione d’angolo.

Le principali tecniche per stimare la frequenza istantanea sono tre.

La tecnica più semplice è certamente quella che si basa su il discriminatore di Foster- Seeley. Questo consiste nel trasferimento verso il parametro di ampiezza della componente di informazione inizialmente contenuta nell’angolo. La derivata del segnale modulato sinusoidale genera una modulazione di ampiezza che è proporzionale al segnale modulante ( inizialmente presente nell’angolo ); infatti:

I

%& `

`

sin{2

+ l

} =

+ l

cos{2

+ l

}.

Applicando il segnale derivato al rivelatore di inviluppo, che è sensibile esclusivamente al modulo di un segnale, è possibile recuperare l’informazione.

Tuttavia questa tecnica non è adatta a sistemi che richiedono elevate prestazioni in termini di errore di fase, in quanto in analogico la derivata viene effettuata con filtri, i cui fianchi non sono mai lineari, mentre in digitale la derivata viene effettuata con rapporti incrementali finiti, che introducono errori numerici notevoli.

Altra tecnica è il conteggio degli attraversamenti degli zeri o di una certa soglia (pulse counting) in salita per valutare la frequenza istantanea. Questo tipo di demodulazione tuttavia è a larga banda e quindi richiede prima l’uso di un filtro analogico per selezionare il segnale che si vuole demodulare. Se il filtro è stretto, è inevitabile l’introduzione del ritardo di gruppo sul segnale informativo.

Infine come tecnica di estrazione dell’informazione da un segnale modulato d’angolo, si ha la demodulazione moltiplicativa in fase e in quadratura del segnale.

Tuttavia per demodulare coerentemente il segnale è necessario prima stimare la frequenza e fase della portante, tramite un circuito di recupero come ad esempio un PLL (phase looked loop).

Una volta ottenuto il segnale in banda base, è possibile quindi calcolare la fase

istantanea nel seguente modo:

œ• ž tan

¢£ ̃

: - ̃ ’ 0 tan

¢£ ̃

: - ̃ ; 0

,

dove ̃ è il segnale ricevuto riportato in banda base e œ• la fase stimata che contiene il segnale informativo ( tuttavia bisogna dare particolare attenzione alla funzione tan

, in quanto ha un andamento asintotico).

Tuttavia dalla stima della fase, si ricava già l’informazione. Quindi per demodulare è sufficiente usare lo stesso anello ad aggancio di fase.

Il PLL tuttavia, in analogico, ha l’incertezza dovuta alla frequenza di uscita del VCO controllato dal segnale errore. Infatti si ha che:

¤‚¥

¦

∙ ?

,

dove ?

è il segnale errore in uscita dal filtro d’anello e ¦

è la costante del VCO, che in realtà, è dipendente da numerosi parametri tra cui la temperatura. Nel mondo numerico questo problema può essere superato attraverso l’uso di un DDS che viene descritto nel capitolo successivo.

Oltre a ciò, il filtro d’anello in analogico può introdurre ritardo di gruppo sul segnale errore. Questo filtro è molto critico in analogico, in quanto deve filtrare esclusivamente il segnale informativo, perciò deve essere a banda sufficientemente stretta. In digitale tale filtro può essere implementato con un filtro FIR, che permette invece, un ritardo di gruppo nullo.

Si mostra in figura 2-9 lo schema del PLL.

Figura 2-9

elevate prestazioni, ma richiede un software complesso, in particolare per

l’implementazione del filtro FIR.