~INO ZEULI a (~orino) (*) (**) A Bruno Einzi nel sue 70me compieanno.

Sulla p r o p a g a z i o n e di onde e l e t t r o m a g n e t i c h e in u n a colonna di plasma cilindrica circolare in¢lefinita,

s o g g e t t a ad agitazioue t e r m i c a e l e t t r o n i c a e a un campo m a g n e t i c o assiale uniforme.

~INO ZEULI a (~orino) (*) (**)

A B r u n o E i n z i nel sue 70me compIeanno.

Summary. - A s t u d y is m a d e about the w a y s of p r o p a g a t i o n o f electromagnetic waves in a c y l i n d r i c a l p l a s m a c o l u m n subject to termic a n d electro~ic agitation a n d to a n a x i a l u n i f o r m field; a n d it is p u t in evidence the possibility for four w a y s of p r o p a g a t i o n o/

waves according to the cylinder's axis. Then it is e x a m i n e d a p a r t i c u l a r case in w h i c h the w a y s of waves p r o p a g a t i o n are reduced to two.

1. - I n u n a ~ e m o r i a d e l l ' A c e a d e m i a delle Scienze di T o r i n o il D o t t e r 3IAUI~O FA~3RIZIO {~) h a r e c e n t e m e n t e p u b b l i c a t a u n a i n t e r e s s a n t e r i c e r c a , n e l l a quale, p a r t e n d o d a l l e e q u a z i o n i l i n e a r i z z a t e di CoI{EI,7 (2), h a s t u d i a t o la p r o p a g a z i o n e di onde e l e t t r o m a g n e t i c h e , d i p e n d e n t i d a u n a sola c o o r d i n a t a spaziale, in u n p ] a s m a o m o g e n e o soggetto a u n c a m p o m a g n e t i c o u n i f o r m e , nel q u a l e gli ioni si s u p p o n g o n o u n i f o r m e m e n t e dis~ribuiti e fermi, m e n t r e gti e l e t t r o n i sono soggetti ad a g i l a z i o n e l e r m i c a di e l e v a t a f r e q u e n z a .

I n q u e s t o lavoro, u t i l i z z a n d o le stesse e q u a z i o n i di CoI-IE~ mi r i f e r i s c o i n v e c e al ease d e l l a p r o p a g a z i o n e di onde e l e t t r o m a g n e t i c h e in u n a c o l o n n a di p l a s m a c i l i n d r i c a e i r c o l a r e i n d e f i n i t a , s o g g e t t a a u n e a m p o m a g n e t i e o uni- f o r m e , d i r e t t o s e c o n d o l ' a s s e z del eilindro.

(*) Lavoro svelte nell'ambilo del Gruppo di l'icerea n. 3 dol Cornilato per ]a Matematica del C.,-N.R.

(**) Entrata in l%edazione il 26 gennaio 1970.

(i) M. ]~ABRlZlO. L a propag~zione in, u n p l a s m a ~ caldo ~ soggetto ad u n campo magne- tico. Mere. Ace. Sc. Torln% C]asse di Scienze fisiche~ serie lV~ n. 9, 1969.

(.2) MH. COttEr, R a d i a t i o n in a p l a s m a L Cerenkov effect ¢ Phys. Rev. % vol. 123~

p. 711, 1961.

Cir. anche: M. CA)[us, P r o p a g a t i o n d'ondes dldctromagndtiques fe long d ' u n e c o l o ~ e de p l a s m a . Annales des Tgldcommul~ications~ sept-oct.~ 1969.

AnnaIi di Matematica 2o

202 TINO ZEULI: Sulla propagazione di onde elettromagnetiche, ece.

L e ineognite del problema, che sono il eampo ele~trico E, il campo ma- gnetieo H , la veloeit~ elettroniea v, e la variazione ~h di densita elettroniea, si s u p p o n g o n o dipendenti dalla coordinata z secondo ii fattore esponenziale e -;k~, dove k b il n u m e r o d'onda, ed inoltre variabile eel raggio r.

L a condizione che viene imposta al contorno consiste n e l l ' a n n u l l a r s i della e o m p o n e n t e radiale della veloeitg.

P e r la risoluzione del p r o b l e m a rieseo ad ottenere u n a equazione in eui incognita la sola veloeita elettroniea v. A m m e s s a la s i m m e t r i a assiale le componenti cilindriehe di v vengono espresse per mezzo di funzioni di B~sssEL contenenti un p a r a m e t r o ~. Dope cib si rieavano facilmente le altre ineognite del problema.

L a condizione al contorno p o r t a alia considerazione degli autovalori del p a r a m e t r o ~, che sono in relazione cogli zeri della funzione J~(~).

Inoltre, la eompatibilit/~ di tre equazioni lineari omogenee in tre costanti ineognite, derivanti dalle tre equazieni sealari eui devono soddisfare le com- ponenti della velocitY, d/~ luogo a u n ' e q u a z i o n e di dispersione ehe lega il numero d ' o n d a k alia pulsazione ~o. Ques~a equazione nel ease generale b di 4 ° grade in o~ 2 e quindi, in generare p e r ogni autovalore di ~ si hanno quat- tro modi di propagazione ondosa seeondo t ' a s s e del cilindro.

In assenza di campo magnetico applicalo l ' e q u a z i o n e di dispersione si riduce a u n ' e q u a z i o n e b i q u a d r a t i c a in co. In questo case si hanno general- mente due soli modi di propagazione e it eampo elettrico e il campo magnetieo risultano orLogonali fra lore.

2 . - Consideriamo allora un plasma omogenco in quiete delimitate da una superficie eilindrica circolare indefinita, i m m e r s e in un eampo m a g n e t i t e u n i f o r m e Be diretto seeondo l ' a s s e del cilindro.

S u p p o r r e m o che gli ioni siano u n i f o r m e m e n t e distribulti e in quiete, it ehe b lecito per frequenze a b b a s t a n z a elevate.

T r a s e u r e r e m o poi l ' e f f e t t o degli urti e l e t t r o n e - i o n e e s u p p o r r e m o inoltre, come n e l l ' o r d i n a r i a teoria del plasma, che 1' azione dcgli elettroni sia equiva- lente ed una pressione isotropica.

Ammesso che p e r effetto delF agitazione termica degli elettroni, nel pla- sma si propaghi un eampo etettromagnetico E, H, le equazioni linearizzate da eonsiderare sono:

(I} rot E : - - ~to ~ - , ~H

/2) rot H -- ¢ o ~ - - e~ov, 3E

TINO ZEULI: Sulla propagazione di onde elettromagnetiche, oct. 203

[3) div H = O,

(4) Eo div E = - - era,

d o v e no /~ la densit'~ m e d i a e l e t t r o n i e a in condizioni di quiete, m e n t r e n~ /~

la v a r i a z i o n e di d e n s i t h e l e t t r o n i c a d o v u t a a l l ' a z i o n e dei c a m p i ; v b la velo- eit/~ m e d i a degli elettroni, - - e la c a r i c a di u n e l e t t r o n e ; infine ~o e 1~o sono la c o s t a n t e d i e l e t t r i c a e la p e r m e a b i l i t h m a g n e t i c a net vuoto.

&lle p r e c e d e n t i e q u a z i o n i o c c o r r e a s s o c i a t e le e q u a z i o n i di EULERO linea- rizzate che sono

~V

mno ~i- + mv~ grad n l -+- *~oeE + enov /\ Bo = O,

(6)

nelle q u a l i m ~ la m a s s a d e l l ' e l e t t r o n e e Vo /~ u n a veloeitfi, e o n n e s s a con l ' a g i t a z i o n e t e r m i c a degli elettroni. Allora mVo2n~ r a p p r e s e n t a l ' e q u i v a l e n t e p r e s s i o n e isotropica, noeE ~ l' azione e l e t t r o s t a t i c a degli e l e t t r o n i e ~ enov A Be b l ' a z i o n e d e f i e t t e n t e di LORE~'~Z, d o v u t a aI e a m p o m a g n e t i e o a p p l i c a t o Be.

S u p p o n e n d o ehe te quantit/~ i n e o g n i f e E, H , v, n~ d i p e n d a n o dal t e m p o s e c o n d o il f a t t o r e e ~,~, le e q u a z i o n i p r e e e d e n t i d i v e n t a n o :

03

rot H w i~o~oE + e~oV = 0,

(3') div H = O,

(4')

0't

(6')

d o v e e r a le i n e o g n i t e sono da c o n s i d e r a r e s o l t a n t o f u n z i o n i det p u n t o .

0 s s e r v i a m o c h e l a (3') ~ c o n s e g u e n z a della (I') e cosl p u r e la (4') ~ con- s e g a e n z a d e l l a (2'j e d e l l a (6'}. P e r e i b nel s e g u i t o p o s s i a m o non c o n s i d e r a t e le e q u a z i o n i (3') e (4'). R i m a n g o n o in tal m o d e tre e q u a z i o n i vettoriali, cio~

le (1'), (2'), (5'), e u n a e q u a z i o n e scalare, la (6'), e q u i v a l e n t i a dieci e q u a z i o n i s c a l a r i in dieci incognite, che sono le nove c o m p o n e n t i spaziali dei vettori E, H , v, pifi l ' i n e o g n i t a densit~ n l .

204 TINo ZEULI: Sulia propagazione di onde elettrot77agnetiche, etc.

Trat~andosi della propaga~ione secondo l ' a s s e di u n cilindro circolare, che a s s u m e r e m o come asse z, con r i f e r i m e n t o a coordinate cilindriche r, ~, z, supporremo le q u a n t i t ~ i a e o g n i t e d i p e a d e n t i dalla eoordinata z secondo il fattore esponenziale e -~k= dove k b il n u m e r o d ' o n d a . P o r r e m o q u i n d i :

(7)

E+a, + E h),

(s)

(9)

dove a~-" grad r, e a+ = r grad~ sono i versori seeondo eui variano il raggio r e l ' a n o m a l i a % m e n t r e k - - g r a d z b il versore costante d e l l ' a s s e z.

A m m e t t e n d o la s i m m e t r i a rispetto a l l ' a s s e del cilindro le quantit~t Er, E~, E=, Hr, ..., V~, ..., s a r a n n o funzioni soltanto della distanza r d a l l ' a s s e . P e r quartto r i g u a r d a la eondizione al eontorno, sulla superfieie eilindriea del p l a s m a deve a n n u l l a r s i la componeate v~ della velocit/t. Detto allora R il raggio del cilindro, dovremo avere al eontorno

(10) v~--O, per r = R.

3 . - P e r risolvere la questione vediamo intanto come possiamo ridurei ad n n ' e q u a z i o n e in cui 6 incognita la sola velocit/~ elettronica v.

Invero, applieando ad ambo i m e m b r i della (5') l ' o p e r a t o r e differenziale rot rot, abbiamo

(11) ima) rot rot v + e r o t rot E + e rot rot (o A B0) -- 0.

Ma dalla (1') e (2') si r i e a v a :

rot rot E = - - i ~ o ~ ( i e o v E - - enov)

ed e l i m i n a n d o il vettore E , per mezzo della stessa (5'), tenendo eonto della (6') si h a :

e rot rot E = i~o~(noe 2 - - meoo)2)o - - i~o~ooJmCo grad div v - - e~0~o~O2o / \ B0.

Sostituendo nella (11) abbiamo la riehiesta equazione

gnuo rot rot v - - i~o~o~mv 2 grad div 0 "t- ip, oo~(noe: - - m~o~02)o + + e rotrot (v A Be) - - e~o~o~O~v A Be = O,

nella quale ~ incognito il solo vettore v.

TINO ZEULI: Sulla propagazione di onde eIettromagnetiche, ecc. 205 O s s e r v i a m o che u n a volta o t t e n u t o il v e t t o r e v, la (6') d~ s e n z ' a l t r o la v a r i a z i o n e n~ di densiti~ e l e t t r o n i c a , la (5') f o r n i s c e il c a m p o elettrico E ; i n f i n e la (1') dh i! c a m p o m a g n e t i c o H .

Essenclo l~ veloci~h v d e l l a f o r m a (9) con v~, % , v~ f u n z i o n i s o l t a n t o di r e Bo = Bok, la (12) dh luogo alle s e g u e n t i e q u a z i o n i s c a l a r i

(13)

/ dv~

i iaov~ -- i a , D 2 v £ + a2v~ ~- a 3 ~ = O, bov~ ~ b~D2v~ ~- ib2% - - ib3D2v 9 = O,

l d t d

= 0,

dove p e r s e m p l i c i t h si ~ loosto

(~4)

ao = ~O[~onoe 2 ÷ m ( k ~ - - ao~o~O~)],

al -- ~o~tom~ovo, a2 = eBo(k ~ - - ~oI-toO)2), a3 -~ ma)k(1 - - Z@toV2o),

(15)

b o = e B o ( ~ o ~ o ~ ~ - - k ~) = - - a 2 ,

bt = eBo , b2 = ao , b3 = m%

(16t

ed /) i n o l t r e

co = ~ o ~ [ n o e 2 + ~ o m ( @ 2 -

~2)],

cz = mcok(1 - - eo~ovo 2} -- aa, c3 : eBok,

d

2 Y z - -

l d ( dv~ t r d r r d r ] "

II s i s t e m a (13) si pub s o d d i s f a r e p o n e n d o

(18) vr = iA&(~r), v~ = BJl(~r), v~ --" CJo(~r),

206 TINO ZEULI: Sulla propagazione di onde etettromagnetiche, ecc.

dove Jo, J~ sono le funzioni di BESSEL di 1 ~ specie, r i s p e t t i v a m e n t e di ordine zero e uno, :¢ b u n p a r a m e t r o reale, ed A, B, C costanti in generale complesse.

P e r le equazioni differenziali delle funzioni di BEssEr~ e le relative formule ricorrenti risulta :

D 2 v ~ - - - - iAa2J~(~r), D 2 v ~ = - - B ~ J l ( ~ r ) ,

1 d iA~Jo(zr),

r d r (~v~) =

l d

r dr (rvv) - - B:cJo(~r),

d v ~

52v~ --- - - a2CJo(ar).

Sostituendo allora le (18) nelle (13), abbiamo che le costanti A, B, C devono verificare le equazioni:

(1.q)

(a~a 2 A- ao)A - - a2B -~ ct3~¢C ~-- O, (bo - - bl~2)A A- {b30:2 -{- b2)B : O, cx~A - - C3~B -f- (c1~ 2 + co)C - - O.

Questo b u n sistema di tre equazioni lineari omogenee in A, B , C. P e r la loro compatibilith dovr~ essere nullo il d e t e r m i n a n t e dei coefficienti. Ab.

biamo cosi la seguente condizione fra le costanti a~, b~, c~, e il p a r a m e t r o :¢:

(~o)

- ~ a3c3a2(bl~ 2 - - bo) - - a302a2(b30:2 -31- b2) : 0.

Dovendo essere sul contorno v r - - 0 per r - - R , e quindi J l ( a R ) - 0, si sa t h e i valori di~:¢ sono daft da:

(21) :¢ --- ~j - - ~I)[R, (j - - 1, 2, 3, ...),

dove le ~}1) sono gli zeri positivi in ordine crescente della funzione Jl(~). P e r ogni autovalore ~i di ~ la (20) costituisce d u n q u e una relazione tra la pulsa- zione to e i l nuu~ero d ' o n d a k.

V e r i f i c a t a questa relazione si ha che le costanti A, B, C saranno date da A - - Co(b3o: 2 + b2)(Cl~Z 2 -~- Co),

(22) B = Co(b,~ 2 - - bo)(c~a 2 "4" co),

C = Co[{33ff.(bl~ 2 - - bo) - - c2%( ~)3~2 --~ b2)], con Co costante arbitraria.

TINO ZEULI: Sulla propagazione di onde elettromagnetiche, ecc. 207 Dalla (6') si rieava era il seguente valore della densit~ n~:

ino no (Aa - - k O)e-~k'Jo(~r)

(23) nl -- - - div v =

tO tO

e dalle (5') si hanno i seguenti valori delle componenti del campo elettrieo (a meno del fattore esponenziale e -~k~)

(24)

eE~ = -~ (to - - v2o~2)A + ~ VotC~¢v - - e B o B Jl(~r), e E , = i(eBoA - - mo~B)Jl(~r),

i m

eE.. = - - - - [v2k~A + @2 _ v2k2)C]Joi~r).

O3

I n [ i a e dalla (1') tenendo conto della (24), si ricavano, per le componenti del campo magnetieo H , i valori

(25)

H~ - - ~tot~)e ik (eBoA - - mtoB)Jl(ar),

t t g = e ~ o ( k m A - - e k B ~ ° B ~ + m ~ C ) J l ( ~ r ) ,

0~

H , - - ePo~ (eBoA - - m~,B)Jo(~r).

Concludendo, se per un dato valore aj de1 p a r a m e t r o a, il n u m e r o d ' o n d a k e la pulsazione to verificano l ' e q u a z i o n e di dispersione (20), si avriz nella colonna di p l a s m a u n a propagazione ondosa nella direzione del suo asse, in eui le c o m p o n e n t i della velocit~ v degli elettroni, la variazione di densit~

elettronica nl, e le eomponenti de1 campo elettrico E e del eampo magnetico H, saranno e s p r e s s e r i s p e t t i v a m e n t e dalle (18), (23), (24) e (25), [a meno del fattore esponenziale e~(~-k~)], dove le eostanti A, B, C sono date dalle (22), con

Co costante arbitraria, d i p e n d e n t e dall'arapiezza delle oscillazioni.

4 . - L ' e q u a z i o n e di dispersione (20) si pub ordinare rispetto alla pulsa-

zione % e per questo poniamo per semplicith

(26) P2 '--" ~tO~Oe 2 "~ m(a 2 + U), 1'3 = ~.o~'oe "~ -4- m(So~toV~o k~ + ~ ) .

208 TINO ZEULI: SuIIa propagazione di onde elettromagnetiche, ecc.

E s c l u d e n d o a l l o r a la r a d i c e t o - - 0 , a b b i a m o 1' e q u a z i o n e (27) SotLom ~o - - (pi + p2 + p~ + me Bo%~to)~ + 3 3 3 8 2 23 3 6

+ zo~o { (pip2 + p2pz + p3p~)m + e2B~eot~top~ + ..{_ e2B~eo~to(2k2 _~_ ~2),~, __ m3k292(1 _ ~@toV02)2 } ¢0~ _ - - { p~p2p3 + e~B~k2(k ~ + 0:2)eol~om +

-]- e2B2~op, o(2k2 + ~z)p3 - - - - e2B2omk2o:2(1 - - ~ouov2o)zo~o - - __ m2k2~20 - - eo~toVo2)Zp2 } tO u --it-

+ e2B2ok2(k2 + ~2){p3 - - m~ (1 - - zot~oV 2) } = 0, t h e 6 di 4 ° g r a d o in to ~.

D a l l e (26) si r i c a v a :

P~ + P2 + p3 - - 3[~onoe 2 -4- ~I(k 2 -]- ~¢2)(¢o[~oV~ -[- 2), pap2 + p2p3 + psp~ = 3[t2on2oe4 + t-to.oe2m)(k2+ o¢2)(2eolXoV~ + 4) +

~- ~2(k2 -~- ~,2)2(~0~0v ~ --~ 1) + ~,~2k~o~o'/)2k2 + ~,2)(~0~,0v~2 -~ k2), p~p2pz = [t~onoe 2 + m(~ot~oV~,~ z + kz)][t~onoe z +

S o s t i t u e n d o n e l l a (27) e p o n e n d o : Ao = %~o~m ~,

2 23 3 A~ = 3p~onoe 2 + m(k ~ + ~)(~o~oV 2 + 2) + me Bo%1% ,

~ - ~o~o { [3~o~,o2e ~ + t~ome~m(k ~ + ~,~)(2~ot~oV~ + 4) + _~ 9~2(k2 _].. ~2)2(~0~.10V2 ..If_ 1) + ~)~2(Eo~oV2k2 "~ ~'2)(~O~LoV2~"2 -'I-- k2)] }~ -~

+ e~B~ot~o[t~o, oe ~ + m(~ot~oV~o k~ + ~)] +

+ e2B~*o~to(2k 2 + ~2)m - - m~kZ~(1 - - ,ol~oV~)~ I, As = [~onoe 2 + m(eot~oV~ + k2)l[~to~oe ~ +

+ m(k 2 + 6¢2)][~0~J0 e2 -t- m[eottov2k 2 + ~)] +

TINO ZEULI: Sulla propagazione di onde etettromagnetiche, ecc. 209

"Jr- e2B2]£2(k 2 -[- ~2)~o~o?n -[- e2B~o~to(2k z -k vc2j[~o~/oe 2 -1- m ( e o ~ o V 2k2 -4- ~2)] _ __ ezB2mk2cz2(l ~ eo~oV2)eollo __ ~,~b2k2¢z2(1 - - ~0~0~.~)2[~t0}10(~2 ..~._ ,{t/(k 2 . ~ ~2)],

A4 - e2 B2k:(k 2 + ~2)[t~onoe2 -{- m~opov2rk 2 "+- a2)].

L a d e t t a e q u a z i o n e a s s u m e la f o r m a

(28) Ao¢o 8 - - A l t ~ 6 --1- A2co 4 - - A3co 2 "3 I- A4 - - 0, d o v e i c o e f f i c i e n t i A o , A~ e A4 sono e v i d e n t e m e n t e positivi.

Si r i c o n o s c e inoltre, f a t t e le o p p o r t u n e r i d u z i o n i che a n c h e A2 > 0, A3 > 0.

I c o e f f i e i e n t i d e l i a (28) p r e s e n t a n o d u n q u e q u a t t r o variazioni di s e g n o ; d e t t e 2 2 le radici della (28) c o r r i s p o n d e n t i a u n d a t e v a l o r e di :¢

a l l o r a to 2, co~, 0)3, 0) 4

e a u n a s s e g n a t o v a l o r e del n u m e r o d ' o n d a k, si ha

:q_ ~ ~ A~

% % + ¢ o I - 1 - % = ~ > 0 , 2co20, 2 2 A 4 (~4 "-- > 0.

1 2 3 Aoo

Se q u e s t e r a d i c i sono r e a l i esse sono t u t t e positive, q u i n d i in g e n e r a l e si h a n n o q u a t t r o m o d i di p r o p a g a z i o n e .

Se l ' e q u a z i o n e (28) si o r d i n a i n v e c e r i s p e t t o al n u m e r o d ' o n d a k, si ha u n ' e q u a z i o n e di 3 ° g r a d e in k 2. I n q u e s t o case, p e r u n d a t e a u t o v a l o r e del p a r a m e t r o a e p e r u n a d a t a p u l s a z i o n e co si hanno, g e n e r a l m e n t e , tre modi di p r o p a g a z i o n e .

5. - I n a s s e n z a di c a m p o m a g n e t i c o a p p l i c a t o , Be = 0, d a l l e (14), (15) e (16) r i s u l t a

(29) a2 = 0, be - - 0, bl = 0,

e le e q u a z i o n i (13) si r i d u c o n o alle s e g u e n t i :

[30)

~3 " ' - 0 )

' dv~

/ iaovr - - ialDzvr --1- ct3 -dr = 0,

i

.! ib2v~ - - ib3D2v~ - - O,

( icov - i J,2vz + o2 (,'vr) = o.

' r

alla

d2v9 l d v ~ (b2 1 ) v = d r -t- r d~ ~ 2 - b3 -~ ~2 9 O, I n q u e s t o case la (302) e q u i v a l e

Annafi di Matematiea 27

210 TINO ZEULI: Sulla propagazione di onde eIettromagnetiche, ecc.

c h e porge

= c' l/ r ) ,

con C' c o s t a n t e a r b i t r a r i a , t h e pub porsi a n c h e u g u a t e a zero. P o r r e m o a l l o r a C ' - - O , s u p p o u e n d o cio~ n u l l a la e o m p o n e n t e t r a s v e r s a l e d e l l a velociti~ elet- t r o n i e a .

L e p o n e n d o (31)

a l t r e d u e e q u a z i o n i (30~), (302), si possono s o d d i s f a r e come p r i m a

e i m p o n e n d o ehe sia

v~ = i A J l ( a r ) , v~ - - CJo(~r)

l

t c2~A + (c1~ ~ + co)C = O, Q u e s t e c o n d i z i o n i sono q u e l l e eui si r i d u c o n o le (191) e h e sia

(33) (al~ 2 + ao)(ci~ 2 + Co) - - a3c2~ 2 = O.

Q u e s t a e quazione, p e r u n d a t o v a l o r e di a, p e r m e t t e di n u m e r o d ' o n d a k in f u n z i o n e d e l l a p u l s a z i o n e o), e viceversa.

I valori di ~z s a r a n n o s e m p r e d a t i d a l l a (21).

Dopo cib a v r e m o

(34) A = Co(cl~ 2 -~ Co), C = - - Coc2~,

(35) n l = ~o ( A s - - k C ) e - ~ J o ( ~ r ) ,

o)

0)

(36) E~ : 0,

eE: = - - ~ - - {v~ko;A -{- (0) 2 - - v~k2)C } Jo(er),

H~---0,

(37) H~ -" ~J~ (kA + aC)J~(~r),

V~to H~--O.

e (19s), e r i c h i e d o n o

d e t e r m i n a r e il

TINO ZEULI: Sutla propagazione di onde elettromagnetiche, ecc, 211 I n q u e s t o case il c a m p o e l e t t r i e o e i! c a m p o m a g n e t i c o r i s u l t a n o d u n q u e o r t o g o n a l i fra lore.

L ' e q u a z i o n e di d i s p e r s i o n e (33) d i v e n t a

¢o2[i~onoe 2 + ~o~tomv~ 2 + m k 2 ^-- ~ol~om~o2].

" [~0"0 e2 + ~o~omv 2k2 -t- m~ 2 - - ~o~tom~o2J - -

z~$2¢o2k2~2(l - - e@toV2o} 2 - - 0 .

T r a s e u r a n d o la r a d i c e c 0 2 - - - 0 e o r d i n a n d o r i s p e t t o ad ~2 si o t t i e n e : (38) ~ m 2 c o 4 - - eoi~om[2i~onoe 2 + m(so~ov2o + l)(k ~ + 0~2)](1) 2 --~

+ [lXonoe 2 + m(~o~toV~ 2 + k2)][~to~%e 2 + m(eol~oV2k ~ + 0¢~)] - - m2k%¢2(1 - - ~ot~oV2) 2 = 0 ,

che i~ d e l i a f o r m a

A o ~ ) 4 ~ A 10) 2 " ~ A2 - - 0

con .40 > 0, A~ > 0, A2 > 0. Vi sono q u i n d i in q u e s t o case, in g e n e r a l e , d u e modi di p r o p a g a z i o n e p e r u n d a t e v a l o r e di a e p e r ogni a s s e g n a t o v a l o r e del n u m e r o d ' o n d a k.