Espressione generica dell energia cinetica di rotazione: 1. Se la rotazione avviene intorno ad un asse principale d inerzia, allora:

ENERGIA CINETICA DI ROTAZIONE





i

i i

v m

K

2 1

i

i

R

v  

2 2 2

2

( )

2 1 2

1  

 ^ 



i i

i i i

i

R m R

m K

Espressione generica dell’energia cinetica di rotazione:

2

2 1 I  K 

Se la rotazione avviene intorno ad un asse principale d’inerzia, allora:

 ^

 I P 

da cui:

I K P

2



ENERGIA CINETICA DI ROTOTRASLAZIONE

Nel caso generale in cui il corpo rigido ruota attorno ad un asse passante per il suo centro di massa e nel contempo trasla rispetto all’osservatore, si ha:

2 2

2 1 2

1



r

t

K M v I

K

K    

TEOREMA LAVORO-ENERGIA CINETICA

CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA PER UN CORPO RIGIDO In un corpo rigido l’energia potenziale interna rimane costante;

cioè:

int

 0 L

Per il teorema dell’energia cinetica:

ext ext

i

f

K L L L L

K

K      



Se le forze esterne sono conservative:

f ext i

ext ext

ext

U U U

L    



,

.

,

K U c o s t

U

K









2 .

1 2

1

t s o c U

I v

M

E 



 



UN ESEMPIO NOTEVOLE DI MOTO ROTOTRASLATORIO:

ROTOLAMENTO PURO

In genere il moto rotatorio e quello traslatorio di un corpo sono indipendenti l’uno dall’altro.

Esiste tuttavia un interessante caso particolare: il rotolamento puro.

Moto di una ruota - Il punto sul bordo della ruota descrive una curva detta cicloide.

Rotolamento puro (rotolamento senza strisciamento)  E’ il moto di un oggetto che rotola su una superficie in modo tale che non vi sia moto relativo tra la parte dell’oggetto che tocca la superficie e la superficie stessa.

Esso è un particolare moto rototraslatorio caratterizzato da una velocità di trascinamento del punto istantaneo di contatto tra corpo e superficie pari a zero

Moto di rotolamento puro



Presenza di attrito radente statico tra corpo e superficie

Questa forza d’attrito non compie lavoro sul corpo perché il punto d’applicazione della forza non si muove.

Una ruota ideale soggetta ad una forza risultante nulla continua a rotolare (purché non strisci) mantenendo costanti le sue velocità traslazionale e rotazionale.

(a) Moto puramente traslatorio. (b) Moto rotatorio intorno a C. (c) Moto di puro rotolamento (vB = 0).

Rototraslazione generica: (a) + (b)

x R v

x R x

v

v 



ˆ   ˆ  (

  ) ˆ x

v x

x v

v 



ˆ  0 ˆ 

ˆ

x R v

x R x

v

v 



ˆ   ˆ  (

  ) ˆ

Rotolamento puro: (a) + (b) tale che v_B = 0; quindi:

R v

 

da cui:

x v

v 



ˆ

v ^

 ( v

  R ) x ˆ  2 v

x ˆ

Descrizione alternativa: il corpo in puro rotolamento ruota istante per istante intorno ad un asse passante per B (punto istantaneo di contatto) e perpendicolare al diametro BT. Tale asse è chiamato asse istantaneo di rotazione. La velocità angolare della rotazione intorno a B è uguale alla velocità  della rotazione intorno al centro di massa.

ENERGIA CINETICA DEL MOTO DI ROTOLAMENTO PURO

2 2

2 2

2

2 1 2

1 2

1 2

1 M v

I

 M  R I



K    

Per il teorema di Huygens-Steiner:

C

B

M R I

I 



con I_B momento di inerzia del corpo rispetto all’asse istantaneo di rotazione.

Quindi:

2

2

1 I



K 

EQUILIBRIO DI UN CORPO RIGIDO

Condizione necessaria e sufficiente affinché un corpo rigido in una data posizione sia in equilibrio è che in tale posizione siano nulli la risultante ed il momento risultante delle forze esterne applicate al corpo stesso.

Prima equazione cardinale:

0 

 dt 

v M d

Seconda equazione cardinale:

0 

 dt 

P

d

EQUILIBRO DI UN CORPO APPOGGIATO AD UN PIANO ORIZZONTALE RIGIDO:

CONSIDERAZIONI DINAMICHE

Si definisce perimetro di appoggio la poligonale che definisce il contorno della base di appoggio di un corpo su un piano. La reazione vincolare è confinata in tale perimetro.

Il sistema a è in equilibrio. Il sistema b non è in equilibrio. Il sistema c è in equilibrio, a causa della presenza del vincolo in A.

EQUILIBRO DI UN CORPO APPOGGIATO AD UN PIANO ORIZZONTALE RIGIDO:

CONSIDERAZIONI ENERGETICHE

Richiamo delle condizioni di equilibrio per una particella

(a) Funzione energia potenziale di una data particella. (b) Componente x della forza associata all’energia potenziale sopra descritta.

Condizioni di equilibrio per un corpo rigido

(a) (b) (c)

(a) Equilibrio stabile: il baricentro del corpo si innalza se il cubo viene inclinato da una forza orizzontale F. (b) Equilibrio instabile: il baricentro di un cubo bilanciato su un vertice si abbassa se il corpo viene inclinato da una forza F. (c) Equilibrio indifferente: il baricentro della sfera non si alza né si abbassa se sulla sfera agisce una forza orizzontale F.

Definizioni generali

Equilibrio stabile: se spostato di poco dalla posizione di equilibrio il corpo torna spontaneamente nella posizione iniziale.

Il baricentro del corpo vincolato si trova nella più bassa posizione consentita dal vincolo (minima energia potenziale gravitazionale).

Equilibrio instabile: se spostato di poco dalla posizione di

equilibrio il corpo tende ad allontanarsi dalla posizione iniziale.

Il baricentro del corpo vincolato si trova nella più alta posizione consentita dal vincolo (massima energia potenziale

gravitazionale).

Equilibrio indifferente: qualsiasi spostamento permesso dal

vincolo porta sempre ad una posizione di equilibrio. Il vincolo è tale da non consentire variazioni di quota del baricentro (energia potenziale gravitazionale costante).