Introduzione
La caratteristica distintiva di qualsiasi operazione nei mercati …nanziari è l’esistenza di rischio, di incertezza. È quindi fondamentale comprendere che cos’è il rischio, come può essere modellato, da cosa dipende e come deve essere a¤rontato. Il presente volume, molto compatto, si occupa di questo argomento, con un approccio basato sull’idea di scelta razionale.
Questo manuale è rivolto a studenti della laurea magistrale o di master di secondo livello che intendano specializzarsi in …nanza. La trattazione è rigorosa e concisa. È quindi necessaria attenzione e concentrazione per una comprensione reale degli argomenti trattati. Si presuppone una buona conoscenza della matematica e della statistica, a livello di laurea triennale. È però molto più importante essere in grado di e¤ettuare ragionamenti logici e collegare concetti discussi in paragra… e capitoli diversi. Ho cercato di prediligere la semplicità alla generalità, limitandomi, in alcuni casi, a presentare un argomento con uno o più esempi numerici. Le numerose proposizioni non sono quasi mai state dimostrate.
La mia esperienza didattica mi ha insegnato che è estremamente di¢ cile comprendere concetti non banali senza vederli in qualche modo “applicati” a casi reali o realistici.
Questo mio punto di vista è probabilmente condiviso dagli autori di quasi tutti i manuali di economia …nanziaria, i quali, tipicamente, inseriscono nel testo alcuni esempi numerici e, alla …ne di ogni capitolo, una serie di esercizi. Ho scelto anch’io, convintamente, questa strada. Tuttavia, mi è capitato di incontrare un certo numero di studenti che, sebbene iscritti a una laurea magistrale, hanno non poche di¢ coltà a e¤ettuare le manipolazioni matematiche spesso necessarie per risolvere gli esercizi. Non difettano della conoscenza teorica, ma della pratica. Per questo motivo, ho scritto una soluzione molto dettagliata degli esercizi di …ne capitolo e della maggior parte degli esempi numerici inseriti nel testo, pubblicata da Giappicchelli con il titolo “Rischio, informazione, equilibrio. Esercizi di economia …nanziaria”.
Questo volume è diviso in quattro capitoli. Nel primo capitolo viene illustrata la teoria della scelta razionale in presenza di rischio e di incertezza. Il secondo capitolo si occupa di modellare l’acquisizione di informazione e di studiare come un investitore razionale debba reagire alla nuova informazione modi…cando opportunamente le sue credenze. Nel terzo capitolo viene descritta e misurata l’avversione al rischio degli investitori e viene
VII
proposto un ordinamento delle lotterie sulla base del loro rischio. In…ne, il quarto capitolo studia la scelta razionale di portafoglio, di assicurazione e di risparmio.
Il Dizionario Devoto Oli de…nisce fondamento un « presupposto elementare neces- sario» . Questo è esattamente ciò che il presente libro intende fornire: una conoscenza approfondita di alcuni argomenti di economia …nanziaria che devono essere noti a tutti coloro che intendano specializzarsi in …nanza. Ciascun docente può poi decidere quali argomenti aggiungere al proprio corso. Mi permetto di suggerirne due, il primo per coerenza con i contenuti del volume e il secondo per l’interesse generalmente suscita- to nei miei studenti: la determinazione dei prezzi dei titoli in un contesto di equilibrio economico generale e la …nanza comportamentale.
Capitolo 1
Teoria delle decisioni
1.1 Preferenze e utilità
La teoria della scelta razionale presuppone che ciascun agente economico, d’ora in poi individuo o investitore, abbia delle preferenze sulle azioni a sua disposizione e scelga l’azione da lui preferita.
In un problema caratterizzato da certezza, a ogni azione è associata una conseguenza.
In questo caso, un individuo razionale sceglie l’azione che conduce alla conseguenza da lui preferita.
Sia X l’insieme di tutte le possibili conseguenze e una relazione binaria di preferenza debole, da interpretarsi come « almeno altrettanto buono di» , « non peggiore di» . È una relazione soggettiva: individui diversi hanno tipicamente preferenze diverse.
A¢ nché le preferenze siano sempre in grado di determinare la scelta razionale, è necessario che soddis… due assiomi.
De…nizione 1.1 è completa se, date due conseguenze x e y, o x y o y x o entrambi.
De…nizione 1.2 è transitiva se, date tre conseguenze, x, y e z, se x y e y z, si ha x z:
Se x y e y x, l’individuo è indi¤erente tra x e y : x y. Se x y e non è vero che y x, l’individuo preferisce x a y : x y.
Questi due assiomi garantiscono che il problema di scelta razionale sia ben de…nito, cioè abbia una soluzione. L’investitore è sempre in grado di individuare l’azione per lui ottima. Se due o più azioni sono ottime, daranno luogo a conseguenze tra le quali è indi¤erente.
Può essere utile descrivere le preferenze mediante una funzione di utilità. Ai …ni pratici, se valgono gli assiomi di completezza e di transitività, è possibile.
1
Proposizione 1.1 Se è completa e transitiva ed esiste un numero …nito o un’in…nità numerabile di conseguenze, esiste una funzione di utilità sulle conseguenze u : X ! R tale che
x y , u (x) u (y) : (1.1)
Dall’eq. (1.1), si ottiene poi che x y , u (x) > u (y) e x y , u (x) = u (y).
La prop. 1.1 dice che un individuo razionale, il quale sceglie l’azione da lui preferita, deve scegliere l’azione che conduce alla conseguenza alla quale è associata l’utilità più elevata. Sinteticamente, diremo che un individuo razionale massimizza la sua utilità.
Nel mondo reale, il numero di conseguenze è …nito. Per questo, ai …ni pratici, la prop. 1.1 è su¢ ciente. Tuttavia, i modelli economico–…nanziari ipotizzano spesso che il rendimento di un titolo possa essere descritto come una variabile casuale continua.
In questo caso, gli assiomi di completezza e di transitività non sono da soli su¢ cienti a garantire l’esistenza di una funzione di utilità. Per questo motivo, viene aggiunto un terzo assioma.
De…nizione 1.3 è continua se, per ogni successione f(xn; yn)g1n=1, con xn yn per ogni n; x = lim
n!1xn e y = lim
n!1yn; si ha x y:
Questo assioma richiede che non ci siano « salti» nelle preferenze. La prop. 1.1 vale ora senza che venga posto alcun vincolo al numero di conseguenze.
Proposizione 1.2 Se è completa, transitiva e continua, esiste una funzione di utilità sulle conseguenze u : X ! R tale che
x y , u (x) u (y) : (1.2)
La funzione di utilità che descrive le preferenze dell’investitore non è unica, in quanto qualsiasi trasformazione monotona crescente di una funzione di utilità è essa stessa una funzione di utilità.
Proposizione 1.3 Sia u : X ! R una funzione di utilità che descrive le preferenze di un certo individuo. La funzione ^u : X ! R è anch’essa una funzione di utilità che descrive le preferenze di quell’individuo se e solo se
u (x) = f (u (x)) , con f : R ! R crescente.^
L’esistenza di una molteplicità di funzioni di utilità fa sì che, se u(x) > u(y), possiamo dire solamente che l’individuo preferisce x a y, ma non di quanto.
1.2 Lotterie semplici e composte
In questo lavoro, siamo interessati alla teoria della scelta razionale in presenza di rischio o di incertezza, nota anche come teoria delle decisioni.
CAPITOLO 1. TEORIA DELLE DECISIONI 3
In una scelta caratterizzata dall’esistenza di rischio, a ogni azione è associata una pluralità di conseguenze, in base a una distribuzione di probabilità data. Una scelta tra azioni è quindi una scelta tra lotterie.
Sia X un insieme di possibile conseguenze, tale che (i) per ogni coppia x 2 X e y 2 X, con x 6= y, si ha
x \ y = ;:
Le conseguenze sono eventi tra di loro disgiunti. Per ogni coppia x 2 X e y 2 X, si ha quindi P (x [ y) = P (x) + P (y).
(ii) se è l’evento universale, il quale contiene tutti gli eventi che possono veri…carsi, si
ha S
x2X
x = :
L’insieme delle conseguenze è esaustivo: una di esse deve necessariamente veri…carsi. Si ha quindi P S
x2Xx = 1.
Una lotteria semplice è una distribuzione di probabilità sull’insieme delle conseguenze.
Consideriamo per esempio un investitore che abbia acquistato 10:000 euro di obbligazioni governative con un orizzonte temporale di un anno. Il tasso di interesse è del 15%, mentre la probabilità di default è del 7%. Tale investitore possiederà la lotteria seguente, espressa in termini di guadagni e di perdite.
P PPPPPP
0:93
0:07
1:500
10:000
In alcuni casi, è necessario considerare lotterie composte, cioè lotterie di lotterie. Ipo- tizziamo a tale proposito che un individuo abbia investito 10:000 euro nell’acquisto di un titolo, espresso in valuta locale, caratterizzato da un tasso di interesse del 20% e da una probabilità di default del 2%. Il tasso di cambio odierno è 12 (un euro vale dodici unità della valuta locale), mentre tra un anno c’è una probabilità 0:6 che sia 13 e 0:4 che sia 15. Tale investitore possiederà la lotteria seguente, espressa in termini di guadagni e di perdite, in euro.
Q !!!!!! aaaaaa
0:98
0:02
XXXXXX
0:6
0:4
1:077
400
10:000
La teoria delle decisioni ipotizza che l’individuo sia interessato unicamente alle possibili conseguenze delle sue azioni e alle probabilità a esse associate, e non al modo, alla
procedura che conduce a tali conseguenze. Le relazioni di preferenza debole, indi¤erenza e preferenza, faranno riferimento d’ora in poi alle lotterie e non più alle conseguenze.
De…nizione 1.4 L’assioma di riduzione di lotterie composte richiede che
PPPPPP
p
1 p
``````q
1 q c1
c2
``````r
1 r c1
c2
XXXXXXXXXXX
pq +(1 p)r
p(1 q) + (1
p)(1 r) c1
c2
Per semplicità, nella de…nizione abbiamo considerato una lotteria costituita da due sole lotterie semplici, ciascuna con due sole conseguenze. L’assioma deve però essere considerato valido anche nel caso di lotterie più complesse.
Nell’esempio precedente, in base a tale assioma, si ha
!!!!!! aaaaaa
0:98
0:02
XXXXXX
0:6
0:4
1:077
400
10:000
HHHHHH
0:588 0:392
0:02
1:077
400
10:000
1.3 Assioma di indipendenza
L’assioma di riduzione di lotterie composte permette di individuare, per ogni lotteria, per quanto complessa, una lotteria semplice tale che un individuo razionale è indi¤erente tra le due lotterie. Utilizzando l’assioma di transitività, la scelta tra lotterie può quindi essere sempre ricondotta a una scelta tra lotterie semplici.
Sia L l’insieme delle lotterie semplici e P = (x1; x2; : : : ; xN; p1; p2; : : : ; pN) una di queste lotterie.
pppppppppppppppppppppppppppppppp
HHHH
HH
p1
p2
pN xN
x1
x2
La relazione fa ora riferimento alle lotterie. Le de…nizioni di completezza e di transi- tività coincidono con quelle viste in precedenza (deff. 1.1 e 1.2). Diamo ora una nuova de…nizione di continuità.
CAPITOLO 1. TEORIA DELLE DECISIONI 5
De…nizione 1.5 Sia P + (1 ) Q una lotteria composta che, con probabilità , ha come esito la lotteria P e, con probabità 1 , la lotteria Q. La relazione è continua se per ogni P; Q; S 2 L, gli insiemi
f 2 [0; 1] j P + (1 ) Q S g e f 2 [0; 1] jS P + (1 ) Q g sono chiusi.
Anche in questo caso, l’assioma di continuità richiede che non ci siano « salti» nelle preferenze. Spiegheremo meglio il signi…cato di questa espressione nel par. 1.4.
Se è completa, transitiva e continua, una proposizione simile alla prop. 1.2 ci assicura che le preferenze sulle lotterie potranno essere descritte da una funzione di utilità sulle lotterie U :L ! R tale che
P Q , U(x1; x2; : : : ; xN; p1; p2; : : : ; pN) U (x1; x2; : : : ; xN; q1; q2; : : : ; qN) : P e Q sono distribuzioni di probabilità sull’insieme X delle conseguenze. Alcune di queste probabilità potrebbero essere nulle. Quando vedremo qualche esempio di lotteria, eviteremo di scrivere le conseguenze che si veri…cano con una probabilità uguale a zero.
La funzione U è de…nita nell’insieme delle lotterie, mentre la funzione u del para- grafo precedente era de…nita nell’insieme delle conseguenze. Poiché un individuo è interessato alle conseguenze di una lotteria, sarebbe auspicabile poter scrivere la fun- zione U (x1; x2; : : : ; xN; p1; p2; : : : ; pN) in termini di u(x1) ; u(x2) ; : : : ; u(xN) e delle rispet- tive probabilità. In assenza di ulteriori ipotesi sulle preferenze, non è però possibile.
Introduciamo a tale proposito l’assioma di indipendenza.
De…nizione 1.6 soddisfa l’assioma di indipendenza se, per ogni P; Q; S 2 L e per ogni 2 [0; 1]; si ha
P Q , P + (1 )S Q + (1 )S:
Gra…camente, si deve avere
P Q
, PPPPPP P
1 S PPPPPP
Q
1 S
L’assioma vale anche se sostituiamo con o con ; in quest’ultimo caso, però, non può essere zero.
Le due lotterie composte del lato destro di tale assioma danno, con la stessa proba- bilità, 1 , la stessa lotteria, S. Inoltre, con la stessa probabilità, , la prima lotteria dà P e la seconda Q. L’assioma di indipendenza richiede che, nella scelta tra le due lotterie, trascuriamo le parti comuni e concentriamo l’attenzione solo sulle di¤erenze, in grassetto nella …gura: se preferiamo P a Q, dovremo preferire la prima lotteria alla seconda; viceversa se preferiamo Q a P .
Questo assioma ci permette talvolta di sempli…care il problema di scelta. Consideria- mo a tale proposito le lotterie P e Q introdotte nel paragrafo precedente. Nel gra…co che segue, P0 è equivalente, in termini di conseguenze e di probabilità, a P . Per l’assioma di riduzione di lotterie composte, si ha quindi P P0. Per l’assioma di transitività, P è quindi preferita a Q se e solo se P0 è preferita a Q. Il ramo superiore delle lotterie P0 e Q descrive la parte comune delle due lotterie. Per l’assioma di indipendenza, l’individuo confronta le lotterie in grassetto, e preferisce P a Q se e solo se preferisce una lotteria che gli fa guadagnare 1:500 euro con una probabilità vicina al 95% e gli fa perdere 10:000 euro con una probabilità di poco superiore al 5% a una lotteria che gli fa guadagnare 1:077 euro con una probabilità del 60% e gli fa perdere 400 euro con una probabilità del 40%.
P0 PPPPPP
0:02
0:98
10:000
PPPPPP PPPPPP PPPPPP
0:949
0:051
1:500
10:000
QPPPPPP
0:02
0:98
10:000
PPPPPP PPPPPP PPPPPP
0:6
0:4
1:077
400
1.4 Utilità attesa
L’assioma di indipendenza non è utile solamente a sempli…care il confronto tra lotterie, ma permette anche di riscrivere la funzione di utilità sulle lotterie in termini di utilità attesa:
U (x1; x2; : : : ; xN; p1; p2; : : : ; pN) = PN i=1
piu (xi) : (1.3) Vale infatti la proposizione seguente.
Proposizione 1.4 (von Neumann e Morgenstern) Se è completa, transitiva, con- tinua e soddisfa l’assioma di indipendenza, può essere rappresentata in termini di utilità attesa, cioè esiste una funzione di utilità sulle conseguenze u : X ! R tale che, date due lotterie P = (x1; x2; : : : ; xN; p1; p2; : : : ; pN) e Q = (x1; x2; : : : ; xN; q1; q2; : : : ; qN), si ha
P Q ,
XN i=1
piu(xi) XN i=1
qiu(xi): (1.4)
L’eq. (1.4) vale anche se sostituiamo con o con ; il segno del lato destro diventerà, rispettivamente, = e >.
Data l’importanza di questa proposizione, può essere utile dare un’idea di come possa essere dimostrata. De…niamo dapprima le lotterie migliori e peggiori che è possibile immaginare: LM L e L Lm per ogni L 2 L. Escludendo il caso in cui l’individuo sia indi¤erente tra tutte le lotterie, si avrà LM Lm. È facile veri…care che l’assioma di indipendenza richiede che valga la condizione seguente, peraltro molto intuitiva.
CAPITOLO 1. TEORIA DELLE DECISIONI 7
PPPPPP
1
1 1
LM
Lm
PPPPPP
2
1 2
LM
Lm
, 1> 2
L’individuo preferisce la lotteria che dà la lotteria migliore, LM, con la probabilità più elevata e la lotteria peggiore, Lm, con la probabilità più bassa.
Consideriamo ora una lotteria P , con LM P Lm. Se nella prima lotteria in …gura poniamo 1= 0, questa lotteria sarà peggiore di P , mentre se 1= 1, sarà migliore. Per quanto detto sopra, se aumentiamo 1, miglioriamo la lotteria. L’assioma di continuità richiede che se ci muoviamo con continuità da 1 = 0 a 1 = 1, e quindi passiamo da una lotteria peggiore di P a una migliore, dovrà esistere almeno un valore P che renda l’individuo indi¤erente tra le due lotterie (assenza di « salti» nelle preferenze):
PPPPPP
P
1 P
LM
Lm
P
Questo valore di P è unico. Se poniamo U (P ) = P, avremo una funzione di utilità:
quanto migliore è la lotteria per l’individuo, tanto più elevato dovrà essere il valore di che garantisce il soddisfacimento della condizione di indi¤erenza nella …gura sopra. Si può in…ne dimostrare che questa funzione di utilità ha la proprietà dell’utilità attesa. Si veda, per esempio, Mas Colell et al (1995, pp. 177-178).
Questa dimostrazione permette di ottenere una funzione di utilità sulle conseguen- ze u : X ! R con la proprietà dell’utilità attesa nel caso di un individuo razionale.
Una conseguenza è infatti una lotteria P degenere, che dà quella conseguenza con una probabilità uguale a uno. È quindi su¢ ciente che, per ogni conseguenza, l’individuo ci comunichi il valore di che lo rende indi¤erente tra ricevere con certezza quella con- seguenza e partecipare a una lotteria che con probabilità gli dà la lotteria LM e con probabilità 1 la lotteria Lm.
La funzione di utilità così ottenuta non è però unica. Vale infatti la proposizione seguente.
Proposizione 1.5 Sia u : X ! R una funzione di utilità con la proprietà dell’utilità attesa che descrive le preferenze di un certo individuo. La funzione ^u : X ! R è anch’es- sa una funzione di utilità con la proprietà dell’utilità attesa che descrive le preferenze di quell’individuo se e solo se
^
u (x) = au (x) + b, con a > 0.
Una trasformazione lineare crescente di una funzione di utilità con la proprietà dell’uti- lità attesa è quindi anch’essa una funzione di utilità con la proprietà dell’utilità attesa.
L’esistenza di una molteplicità di funzioni di utilità fa sì che, anche in questo caso, se u(x) > u(y), possiamo dire solamente che l’individuo preferisce x a y, ma non di quanto.
Il teorema di von Neumann e Morgenstern gioca un ruolo cruciale in questo volume.
Qualsiasi scelta …nanziaria verrà infatti interpretata come una scelta tra lotterie. In base a tale teorema, un individuo razionale, il quale sceglie la lotteria che preferisce, sceglierà la lotteria alla quale è associata l’utilità attesa più elevata. Sinteticamente, diremo che, in presenza di rischio, un individuo razionale massimizza la sua utilità attesa.
Vale la pena di fare un’ultima osservazione. Abbiamo …nora considerato un insieme di conseguenze X …nito. È però possibile che X sia un sottoinsieme del campo dei numeri reali. In questo caso, de…niremo una lotteria tramite una funzione di densità f (x) e l’eq. (1.4) diventerà
P Q ,
Z
u(x)fP(x) dx Z
u(x)fQ(x) dx (1.5)
1.5 Critiche e teorie alternative
La teoria delle decisioni intende caratterizzare la scelta razionale in presenza di rischio o di incertezza. Si tratta quindi di una teoria di tipo normativo, che fornisce delle prescrizioni su come dovrebbe comportarsi un agente economico razionale. Gli assiomi di completezza, di transitività e di continuità delle preferenze sono quasi universalmente accettati. L’assioma di indipendenza è invece stato spesso criticato, anche dal punto di vista normativo.
Consideriamo a tale proposito il cosiddetto paradosso di Allais. Date le quattro lotterie seguenti, ci viene chiesto di scegliere tra la lotteria P e la lotteria Q e tra la lotteria S e la lotteria T . Le conseguenze sono espresse in milioni di euro.
P 1 1M QHH
HHHH
0:10 0:89
0:01 5M
1M
0
S PPPPPP
0:11
0:89 1M
0 T PPPPPP
0:10
0:90 5M
0
In base all’assioma di riduzione di lotterie composte (R), nei gra…ci seguenti, P0 P , Q0 Q, S0= S e T0 T . L’assioma di indipendenza (I) permette poi di sempli…care la scelta tra P0 e Q0 e tra S0 e T0.
P0 PPPPPP
0:89
0:11
1M
1M
Q0 PPPPPP
0:89
0:11
1M
PPPPPP PPPPPP PPPPPP
10=11
1=11
5M
1M
()I 1M PPPPPP
10=11
1=11 5M
0
CAPITOLO 1. TEORIA DELLE DECISIONI 9
S0 PPPPPP
0:89
0:11 0
1M
T0 PPPPPP
0:89
0:11 0
PPPPPP PPPPPP PPPPPP
10=11
1=11
5M
0
()
I
1M PPPPPP
10=11
1=11 5M
0
Tenendo conto della transitività delle preferenze, possiamo concludere che, se valgono gli assiomi che caratterizzano il teorema di von Neumann e Morgenstern,
P Q , S T: (1.6)
Non c’è nulla di paradossale in questo risultato, visto come una serie di passaggi logici.
Tuttavia, Allais e molti altri dopo di lui hanno provato a chiedere a una pluralità di individui quali fossero le loro preferenze e la maggior parte di essi ha detto di preferire P a Q e T a S, violando quindi la condizione (1.6). Esiste dunque uno iato tra pre- scrizioni della teoria e comportamento della maggior parte degli individui. Per questo motivo, si parla di paradosso. In merito all’interpretazione di questo risultato, esistono però due punti di vista, quasi opposti. Alcuni economisti, tra i quali Allais, ritengono che la coppia di preferenze P Q e T S sia perfettamente razionale e che l’assioma di indipendenza non abbia alcun valore normativo. Questo richiede di abbandonare il teorema di von Neumann e Morgenstern e di costruire una teoria alternativa. In e¤etti, esistono molte teorie di non massimizzazione dell’utilità attesa, che non verranno però qui presentate, in quanto la maggior parte degli economisti che si sono occupati di economia
…nanziaria hanno continuato a utilizzare la teoria dell’utilità attesa, accettando quindi, almeno implicitamente, il secondo punto di vista. Possiamo citare a questo proposito Savage. Nell’esperimento, ha manifestato le stesse preferenze della maggior parte degli individui. Tuttavia, una volta che gli è stato mostrato che tali preferenze violano un assioma nel quale crede, ha deciso di cambiare le sue preferenze, confessando di aver commesso un errore. Il secondo punto di vista accetta quindi l’idea che, in alcuni casi, eventualmente anche in molti casi, le scelte degli individui violino le prescrizioni della teoria. In questi casi, la teoria dimostra di avere uno scarso valore positivo (positivo = ciò che è), senza però che ciò intacchi in alcun modo il suo valore normativo (normativo = ciò che dovrebbe essere). Si è sviluppata a tale proposito un’enorme letteratura di economia comportamentale, la quale ha individuato una serie di aspetti psicologici che giocano un ruolo cruciale nelle decisioni degli individui e li conducono spesso a e¤ettuare scelte che sono considerate irrazionali dalla teoria delle decisioni. Questa letteratura è straordinar- iamente importante per comprendere l’e¤ettivo comportamento degli individui. Esistono anche delle teorie di tipo positivo, come la teoria dei prospetti di Kahneman e Tver- sky, le quali intendono descrivere e talvolta prevedere il comportamento degli individui, non necessariamente razionali. In questo volume non presenteremo questa letteratura, la quale merita però di essere studiata, in quanto permette talvolta di spiegare alcune
« anomalie …nanziarie» , ovvero risultati empirici che sono incompatibili con la teoria dell’utilità attesa.
Consideriamo ora un secondo esempio nel quale la maggior parte degli individui ha preferenze che violano l’assioma di indipendenza, noto come paradosso di Zeckhauser.
Ipotizziamo di essere costretti a giocare alla roulette russa con una rivoltella il cui tam- buro può contenere al massimo 6 proiettili. Dovremo premere il grilletto una sola volta.
Sia N il numero di proiettili inseriti nel tamburo. Prima di giocare, ci viene data l’oppor- tunità di eliminare una delle pallottole contenute nel tamburo della rivoltella in cambio di un corrispettivo monetario. Siano x e y gli ammontari massimi che saremmo disposti a pagare per eliminare una pallottola se, rispettivamente, N = 1 e N = 4. La nostra ricchezza iniziale è W0. Ipotizziamo che (i) nel caso in cui sopravviviamo, le nostre prefe- renze sono monotone nella ricchezza; (ii) nel caso in cui moriamo, non siamo interessati alla nostra ricchezza (per esempio, non abbiamo alcun erede); (iii) preferiamo vivere piuttosto che morire.
Mostriamo che il teorema di von Neumann e Morgenstern richiede che x < y, cioè che dovremmo essere disposti a pagare di più per eliminare una pallottola quando nel tamburo ci sono quattro pallottole rispetto a quando ce ne è una sola. Sia a tale proposito Vk la conseguenza « vivere con una ricchezza W0 k» e M la conseguenza « morire» . Per de…nizione di ammontare massimo che siamo disposti a pagare per eliminare una pallottola dal tamburo, dovremmo essere indi¤erenti tra pagare quella cifra, riducendo in tal modo la probabilità di morire, e non pagarla. Tenendo conto della (ii), si deve avere
1 u(Vx) = 1
6u(M ) +5 6u(V0), 1
2u(M ) +1
2u(Vy) =2
3u(M ) + 1
3u(V0) ) u(Vy) = 1
3u(M ) +2 3u(V0).
Sottraendo membro a membro la seconda equazione dalla prima, si ottiene u(Vx) u(Vy) =1
6(u(V0) u(M ))(iii)> 0:
Da u(Vx) > u(Vy), per la (i), x < y.
Avremmo potuto ottenere lo stesso risultato anche utilizzando gli assiomi. Per de…nizione di x e di y,
Vx PPPPPP
1=6
5=6 M
V0
PPPPPP
1=2
1=2 M
Vy
PPPPPP
2=3
1=3 M
V0
La seconda relazione di indi¤erenza può essere sempli…cata utilizzando gli assiomi di riduzione di lotterie composte e di indipendenza.
PPPPPP
1=2
1=2 M
Vy
PPPPPP
1=2
1=2 M
PPPPPP PPPPPP PPPPPP
1=3
2=3 M
V0
()I Vy PPPPPP
1=3
2=3 M
V0
CAPITOLO 1. TEORIA DELLE DECISIONI 11
Vx e Vy sono indi¤erenti a due lotterie le cui uniche conseguenze sono M e V0. Dalla (iii), è ovvio che dovremo preferire la lotteria che dà V0 con la probabilità più elevata, cioè Vx. Formalmente, Vx Vy se e solo se
PPPPPP
5=6
1=6
PPPPPP
1=5
4=5 M
V0
V0
PPPPPP
5=6
1=6
PPPPPP
1=5
4=5 M
V0
M
()
I
V0 M
condizione che per noi è soddisfatta (ipotesi (iii)). Si ha in…ne Vx Vy , x < y.
Anche in questo caso, non c’è nulla di paradossale nel risultato. Si parla però di paradosso in quanto la maggior parte degli individui a¤erma che sarebbe disposta a pagare di più per eliminare una pallottola quando si tratta dell’unica pallottola presente nel tamburo rispetto a quando ce ne sono quattro. Il motivo, psicologico oppure razionale a seconda dei punti di vista, è che nel primo caso l’individuo acquista la certezza di sopravvivere, mentre nel secondo ottiene solo un aumento della probabilità di continuare a vivere o, ciò che è lo stesso, una riduzione della probabiltà di morire. Per decidere se questa motivazione debba essere considerata razionale, può essere utile capire perché il teorema di von Neumann e Morgenstern richiede che x < y. Ipotizziamo di dover decidere se pagare una cifra z per eliminare una pallottola nei casi N = 1 e N = 4. Ragioniamo in termini di costi e di bene…ci. Data l’ipotesi (ii), pagare z ci danneggia solamente quando non moriremo. Di conseguenza, se N = 1, ci danneggia con probabilità uno, mentre se N = 4, ci danneggia con probabilità 0:5. Il bene…cio è quello di aumentare la probabilità di sopravvivere di 1=6, cioè del 16:67%, ed è quindi uguale in entrambi i casi. Se N = 1, il costo di pagare z è maggiore, e quindi dovremmo essere disposti a pagare di meno per eliminare una pallottola rispetto al caso N = 4. Possiamo essere convinti o meno di questo ragionamento. L’analisi del caso in cui N = 6, nel quale se non paghiamo siamo certi di morire, e quindi saremmo forse disposti a pagare una cifra ancora più alta per eliminare una pallottola, può aiutarci o meno a convincerci. In ogni caso, la conclusione è sempre la stessa. Se riteniamo che sia razionale avere x > y, dobbiamo abbandonare la teoria dell’utilità attesa. In questo volume, continueremo a utilizzarla, attribuendole un valore normativo. È però utile essere consci delle critiche e dei possibili limiti.
1.6 Utilità attesa soggettiva
In una scelta caratterizzata dalla presenza di incertezza, un agente economico razionale deve scegliere tra diversi atti. A ciascun atto possono essere associate più conseguenze, in base allo stato del mondo che si veri…cherà. Gli stati del mondo sono esaustivi: uno di essi deve necessariamente veri…carsi. Sono poi eventi disgiunti: non possono veri…carsi contemporaneamente due stati del mondo diversi. Una conseguenza rappresenta invece
